فيديو السؤال: حساب كتلة جسم يقع في مركز المدار الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أيو أحد أقمار جاليليو الأربعة لكوكب المشتري. يدور أيو دورة واحدة كاملة حول المشتري كل 1.77 يوم. بافتراض أن مدار أيو دائري، ونصف قطره يساوي 422000 كيلومتر، احسب كتلة المشتري. استخدم القيمة 6.67 في 10 أس سالب 11 مترًا مكعبًا لكل كيلوجرام ثانية مربعة لثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية، لأقرب منزلتين عشريتين.

قد يبدو حساب كتلة كوكب أمرًا معقدًا. لكن يمكننا حسابها باستخدام عمليات حسابية بسيطة للغاية نعرفها بالفعل. لنبدأ بتذكر صيغة السرعة المدارية لمدار دائري. ‏‪𝑣‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝐺𝑀‬‏ مقسومًا على ‪𝑟‬‏؛ حيث ‪𝑣‬‏ السرعة المدارية. ‏‪𝐺‬‏ ثابت الجذب العام. و‪𝑀‬‏ كتلة الجسم الكبير عند مركز المدار. وهو المشتري في هذه الحالة. و‪𝑟‬‏ نصف قطر المدار، ويساوي المسافة بين مركزي جاذبية المشتري وأيو.

ولأننا نريد إيجاد كتلة المشتري، دعونا نحل هذه الصيغة لإيجاد قيمة ‪𝑀‬‏. أولًا، علينا تربيع كلا الطرفين لإلغاء الجذر فوق ‪𝑀‬‏. بعد ذلك، نضرب كلا الطرفين في ‪𝑟‬‏ مقسومًا على ‪𝐺‬‏. الآن بعد التبسيط، ‪𝑀‬‏ يساوي ‪𝑟𝑣‬‏ تربيع مقسومًا على ‪𝐺‬‏. ونعلم من المعطيات قيمتي ‪𝑟‬‏، ‪𝐺‬‏، لكننا لا نعرف بعد قيمة ‪𝑣‬‏، لذا علينا حسابها.

لفعل ذلك، تذكر أن السرعة تساوي المسافة المقطوعة على الزمن. ونحن نعلم الزمن الذي يستغرقه أيو ليتم دورة واحدة كاملة. وهذه هي فترته المدارية، ويرمز لها بالحرف الكبير ‪𝑇‬‏. ولأننا نفترض أن المدار دائري ونعلم نصف قطر هذه الدائرة، يمكننا حساب محيط المدار الدائري لأيو. إذن، المسافة تساوي محيط الدائرة، اثنين ‪𝜋𝑟‬‏.

لكن لحساب ‪𝑣‬‏، علينا أولًا التعبير عن ‪𝑟‬‏ و‪𝑇‬‏ بالوحدات الأساسية للنظام الدولي. تذكر أن الكيلومتر الواحد يساوي 1000 متر. إذن، ‪𝑟‬‏ يساوي 422 مليون متر، أو 4.22 في 10 أس ثمانية متر. ولتحويل ‪𝑇‬‏ من وحدة اليوم إلى وحدة الثانية، تذكر أنه توجد 60 ثانية في الدقيقة، و 60 دقيقة في الساعة، و 24 ساعة في اليوم. إذن، بحذف الوحدات وإجراء عملية الضرب، نجد أن الفترة المدارية لأيو تساوي 1.53 في 10 أس خمسة ثانية.

الآن، بالتعويض بهذه القيم في صيغة حساب ‪𝑣‬‏، نجد أن ‪𝑣‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ في 4.22 في 10 أس ثمانية متر مقسومًا على 1.53 في 10 أس خمسة ثانية. وبذلك، نجد أن السرعة المدارية لأيو تساوي 1.73 في 10 أس أربعة متر لكل ثانية. الآن بإمكاننا إيجاد كتلة المشتري. هيا نكتب هذه الصيغة بالأسفل ونعوض بقيم ‪𝑟‬‏ و‪𝑣‬‏ و‪𝐺‬‏. إذن، ‪𝑀‬‏ يساوي 4.22 في 10 أس ثمانية متر، في 1.73 في 10 أس أربعة متر لكل ثانية الكل تربيع، على 6.67 في 10 أس سالب 11 مترًا مكعبًا لكل كيلوجرام ثانية مربعة.

وبذلك، نجد أن كتلة المشتري، بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين، تساوي 1.90 في 10 أس 27 كيلوجرامًا.