تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تمثيل دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام

سوزان فائق

يوضح الفيديو كيفية تمثيل دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام وخصائصها.

٠٩:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على تمثيل دوال قاطع التمام، والقاطع، وظل التمام؛ بيانيًّا. هنشوف إزّاي هنعرف نرسمهم، وإيه الخواص بتاعتهم. بترتبط منحنيات دوال قاطع التمام، والقاطع، وظل التمام؛ بمنحنيات دالة الجيب، وجيب التمام، والظل. لأن دالة قاطع التمام، بتساوي مقلوب دالة الجيب. ودالة القاطع، بتساوي مقلوب جيب التمام. وظل التمام، مقلوب الظل.

الجدول اللي قدامنا ده، بيمثّل دالة قاطع التمام، ودالة القاطع، ودالة ظل التمام. التمثيل البياني بتاعهم، وخواصهم. أول حاجة ص تساوي قتا 𝜃. اللي هي بتساوي واحد على جا 𝜃. هنستخدم الـ جا 𝜃، لرسم دالة قاطع التمام. جا 𝜃، اللي هتبقى لونها بنفسجي دي. واللي لونها أزرق دي، هتبقى دالة قاطع التمام. في خواص دالة الـ جا 𝜃، نقط التقاطع للدالة مع محور 𝜃 دي، بتمثّل قيم ص تساوي صفر.

طيب لمّا الـ ص هتساوي واحد على جا 𝜃، اللي هي قيمة الـ قتا، يبقى واحد على صفر. يبقى معنى كده إن الدالة غير معرّفة عند النقط دي. ودي السبب في خطوط التقارب اللي عندنا. يبقى المجال اللي هو بيمثّل قيم 𝜃، هتبقى الدالة مش معرّفة عند النقط دي. اللي هي بنقول عليها 𝜃 لا تساوي مية وتمانين في الـ ن. حيث الـ ن ده عدد صحيح.

أول واحدة لو الـ ن تساوي صفر، اللي هي صفر وصفر. يبقى الـ 𝜃 لا تساوي القيمة دي. لأن فيه خط تقارب، اللي هو المحور الرأسي اللي عندنا، اللي عند صفر وصفر. طيب بعد كده عند النقطة 𝜃 تساوي مية وتمانين، والـ ص هتساوي صفر. القيمة دي ما فيش تعريف للدالة. يبقى الـ 𝜃 استحالة هتاخد المية وتمانين درجة.

المدى عندنا هيبقى ص أصغر من أو تساوي سالب واحد، اتحاد ص أكبر من أو تساوي الواحد. ومش هتاخد القيم اللي في النص ما بين السالب واحد للواحد. السعة بتبقى غير معرّفة. لأن ما عندناش قيم عظمى أو صغرى لدالة الـ ص، اللي هي قتا 𝜃. طول الدورة اللي هي بداية ما بتبدأ الدالة تكرر نفسها. والدالة هنا عندنا هتبتدي تكرر نفسها عند تلتمية وستين درجة، زيّ بالظبط دالة الـ جا 𝜃.

دالة القاطع اللي هي ص تساوي قا 𝜃، اللي هي تساوي واحد على جتا 𝜃. هنرسم جتا 𝜃، ونستخدمها في إن إحنا نعرف رسم دالة القاطع، والخواص. القيم اللي كانت جتا 𝜃 بتقطع فيها محور الـ 𝜃، كانت بتساوي صفر. دلوقتي في دالة القاطع، هتبقى واحد على صفر. يبقى قيم 𝜃 غير معرّفة عند القيم دي، اللي هي هتساوي تسعين، ميتين وسبعين. دي قيم الـ 𝜃 لا تساويها؛ لأنها عند خطوط التقارب. وخطوط التقارب إحنا ما بنقطعش خط التقارب أبدًا. إحنا بنقرّب له، لكن ما بنقطعوش.

يبقى المجال، اللي هو قيم الـ 𝜃 اللي بتاخدها، 𝜃 لا تساوي تسعين درجة، زائد المية وتمانين درجة في الـ ن. لو جينا عشان نتأكد إن أول قيمة سليمة. تسعين زائد مية وتمانين في صفر، هتبقى تسعين. تاني قيمة تسعين زائد مية وتمانين … الـ ن بتساوي اتنين في اتنين، يبقى ميتين وسبعين، دي قيم خطوط التقارب.

بعد كده المدى هيبقى ص، اللي هي القيم على محور الرأسي. ص أصغر من أو تساوي سالب واحد، اتحاد ص أكبر من أو تساوي الواحد. اللي عرّفنا القيم دي، هو دالة جتا 𝜃، إنها محدودة ما بين السالب واحد للواحد. والـ قا هو المقلوب بتاعها، فهتاخد باقي القيم.

بعد كده السعة غير معرّفة، زيّ بالضبط الـ جا 𝜃. الـ جتا 𝜃، لمّا هنجيب المقلوب للدالة، هتبقى القيم للدالة العظمى والصغرى مش موجودة. فبالتالي هتبقى سعة الدالة القاطع غير معرّفة. طول الدورة، اللي هو القيمة اللي بتبتدي الدالة تكرر نفسها. هنا الدالة هتكرر نفسها زيّ الـ جتا 𝜃، عند التلتمية وستين درجة.

هنشوف الدالة التالتة، اللي هي دالة ظل التمام، اللي هي ص تساوي ظتا 𝜃 هتساوي واحد على ظا 𝜃. الرسم بتاعها زيّ ما إحنا شايفين، هنستخدم دالة الظل، علشان نرسم ظل التمام. الدالة اللي لونها بنفسجي دي، هي دالة الظل. دالة ظل التمام هي اللي لونها أزرق دي.

المجال بتاعها، بما إن دالة ظل التمام عندها نفس خطوط التقارب بتاعة دالة الظل. فالمجال بتاعها هيبقى نفس خطوط التقارب لدالة الظل، اللي هي 𝜃 لا تساوي مية وتمانين ن. اللي هو الـ ن العدد الصحيح. المدى بيبقى مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. السعة غير معرّفة، لأن ما فيش قيم عظمى وقيم صغرى. طول الدورة، الدالة بتكرر نفسها كل تلتمية وستين درجة.

يبقى دالة القاطع، وقاطع التمام، وظل التمام؛ رسوماتها زيّ ما إحنا راسمينها كده. بس عملنا الدالة اللي جايّة منها، اللي هي دالة الجيب ودالة جيب التمام والظل، خطوط متقطّعة. لأنها مش في الرسم الأساسي بتاع دالة القاطع، ودالة قاطع التمام، وظل التمام. إحنا بس بنستخدمهم علشان الرسم. لكن هم مش جزء من الدوال اللي إحنا رسمناها.

نقلب الصفحة وناخد مثال. في المثال: اوجد طول دورة الدالة: ص تساوي اتنين قا 𝜃. ثم مثّل هذه الدالة بيانيًّا. علشان نحسب طول دورة الدالة، فإحنا عندنا قانون: طول دورة الدالة بتساوي تلتمية وستين درجة، على القيمة المطلقة للـ ب. حيث التلتمية وستين درجة دي، طول دورة الدالة الرئيسية. والـ ب دي، عدد حقيقي مضروب في الزاوية 𝜃.

يبقى الدالة دي تلتمية وستين درجة. وقيمة الـ ب عندنا كانت واحد. يبقى تساوي تلتمية وستين درجة. يبقى طول دورة الدالة ص تساوي اتنين قا 𝜃، هو تلتمية وستين درجة.

عايزين نرسم الدالة دي. بما إن الـ ص تساوي قا 𝜃، هي مقلوب ص تساوي جتا 𝜃. فإنه لتمثيل ص تساوي اتنين قا 𝜃، هنستفيد من تمثيل ص تساوي اتنين جتا 𝜃، بالخطوات التالية. أول حاجة هنرسم الدالة ص تساوي اتنين جتا 𝜃. الرسم اللي قدامنا ده، اللي بالخط المتقطع، هيبقى ص تساوي اتنين جتا 𝜃.

تاني خطوة عندنا، هنرسم خطوط التقارب الرأسية. عند تقاطع الدالة ص تساوي اتنين جتا 𝜃، مع محور 𝜃. اللي هي هنيجي عند النقط اللي فيها الـ ص بتساوي صفر، هنرسم خطوط رأسية كده. اللي هي خطوط التقارب للدالة اتنين قا 𝜃. دي خطوط التقارب لها. بعد كده هنمثّل الدالة ص تساوي اتنين قا 𝜃. هنرسمها فوق وتحت الدالة جتا 𝜃، بالشكل ده. طبعًا هي بتروح عند خطوط التقارب، لكن ما بتقطعهاش. يبقى كده عرفنا إزّاي هنرسم دالة الـ ص تساوي اتنين قا 𝜃.

في الفيديو ده عرفنا إزّاي هنرسم دوال قاطع التمام، ودوال القاطع، ودوال ظل التمام، وإيه خواصهم.