فيديو الدرس: مرافقات الأعداد المركبة الرياضيات

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية استخدام خصائص الأعداد المترافقة لإيجاد قيمة مقدار.

١٦:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية استخدام مرافق عدد مركب لإيجاد قيم المقادير. سنبدأ بتعريف مرافق العدد المركب قبل تناول خصائصه وكيفية الاستفادة منها لمساعدتنا في حل المعادلات التي تتضمن أعدادًا مركبة. وخلال هذا الفيديو، سنحاول - كلما أمكن - استخلاص نتائج عامة يمكن استخدامها في مسائل الأعداد المركبة الأكثر تعقيدًا.

لكل عدد مركب عدد مركب آخر مرتبط به يعرف بالمرافق. يشير تعريف كلمة مرافق إلى امتلاك سمات مشتركة، لكنها مقابلة أو عكسية في جوانب معينة. بعيدًا عن الرياضيات، تعني كلمة ‪”‬‏مرافق‪”‬‏ التجاور أو الاقتران، وهو ما يشير إلى وجود علاقة خاصة بين العدد المركب ومرافقه. دعونا نتناول التعريف. العدد المركب الذي يكون على الصورة: ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ يكون مرافقه المشار إليه بالرمز ‪𝑧‬‏ بار أو ‪𝑧‬‏ ستار هو ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. بعبارة مبسطة، يتم إيجاد مرافق العدد المركب بتغيير إشارة الجزء التخيلي من ذلك العدد.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا عدد مركب ثلاثة زائد اثنين ‪𝑖‬‏، فمرافقه المركب هو ثلاثة ناقص اثنين ‪𝑖‬‏. وبالمثل، مرافق العدد المركب أربعة ناقص ستة ‪𝑖‬‏ هو أربعة زائد ستة ‪𝑖‬‏. ويكون المرافق المركب للمرافق هو أربعة ناقص ستة ‪𝑖‬‏. نلاحظ أنه يمكننا تعميم ذلك بقولنا: إن المرافق المركب للمرافق هو ببساطة العدد الأصلي. وهو ‪𝑧‬‏.

ماذا عن العدد الحقيقي البحت؟ هل له مرافق؟ الإجابة هي نعم. فالعدد الحقيقي يكون على الصورة ‪𝑎‬‏. وهذا، في الواقع، عدد مركب. لكنه في الحقيقة على الصورة ‪𝑎‬‏ زائد صفر ‪𝑖‬‏. فالجزء التخيلي يساوي صفرًا. وبما أننا نغير إشارة الجزء التخيلي لإيجاد المرافق، فإن مرافق هذا العدد هو ‪𝑎‬‏ ناقص صفر ‪𝑖‬‏. لكن ذلك يساوي ‪𝑎‬‏ أيضًا. إذن مرافق العدد الحقيقي هو ببساطة ذلك العدد. وما يميز المرافق هو أنه يشترك في جميع خصائص أي عدد مركب آخر. فيتميز بخاصية التوزيع في الجمع والضرب. سنرى الآن كيف يبدو ذلك.

إذا كان ‪𝑠‬‏ يساوي ثمانية زائد اثنين ‪𝑖‬‏، فما قيمة ‪𝑠‬‏ زائد ‪𝑠‬‏ ستار؟

تذكر أن ‪𝑠‬‏ ستار هو مرافق العدد المركب ‪𝑠‬‏ الذي يساوي ثمانية زائد اثنين ‪𝑖‬‏. وبالتالي، يمكننا القول: إن المرافق المركب للعدد ‪𝑧‬‏، الذي يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، هو ‪𝑧‬‏ ستار يساوي ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. يشتمل العدد المركب المعطى على جزء حقيقي وهو ثمانية، وجزء تخيلي وهو اثنان. يعني ذلك أن مرافقه المركب هو ثمانية ناقص اثنين ‪𝑖‬‏. ويعني كذلك أن مجموع العددين يساوي ثمانية زائد اثنين ‪𝑖‬‏ زائد ثمانية ناقص اثنين ‪𝑖‬‏. نجمع ذلك من خلال جمع الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين كل على حدة، وهو ما نعتبره عادة تجميعًا للحدود المتشابهة. ثمانية زائد ثمانية يساوي 16. واثنان ‪𝑖‬‏ ناقص اثنين ‪𝑖‬‏ يساوي صفرًا. وبذلك يكون ‪𝑠‬‏ زائد ‪𝑠‬‏ ستار يساوي 16.

لاحظ كيف أن مجموع العدد المركب ومرافقه عدد حقيقي. يكون ذلك منطقيًّا تمامًا إذا نظرنا إلى الصيغة العامة. ‏‪𝑧‬‏ زائد ‪𝑧‬‏ ستار يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. و‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏ يساوي صفرًا. وبالتالي نجد أن مجموع العدد المركب ومرافقه المركب يساوي اثنين ‪𝑎‬‏. أو بدلًا من ذلك، يمكننا القول: إن مجموع العدد المركب ومرافقه يساوي اثنين مضروبًا في الجزء الحقيقي من هذا العدد.

وبالمثل، الفرق بينهما يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. نفك القوس الثاني بضرب كل حد في سالب واحد. فنحصل على ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏. هذه المرة، ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا، وهو ما يجعل الناتج يساوي اثنين ‪𝑏𝑖‬‏. يمكننا بالتالي القول: إن الفرق بين أي عدد مركب ومرافقه يساوي اثنين ‪𝑖‬‏ مضروبًا في الجزء التخيلي من ذلك العدد المركب.

سنلقي نظرة الآن على مثال مفصل لمعادلة تتضمن مجموع عدد مركب ومرافقه والفرق بينهما.

أوجد العدد المركب ‪𝑧‬‏ الذي يحقق المعادلتين. ‏‪𝑧‬‏ زائد ‪𝑧‬‏ ستار يساوي سالب خمسة. و‪𝑧‬‏ ستار ناقص ‪𝑧‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑖‬‏.

تذكر أن ‪𝑧‬‏ ستار يمثل مرافق العدد المركب ‪𝑧‬‏. ويكون العدد ‪𝑧‬‏ بالصورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان. و‪𝑧‬‏ ستار يكون على الصورة ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. وغيرنا إشارة الجزء التخيلي. توضح المعادلة الأولى مجموع هذين العددين. ويمكننا التعبير عن هذا المجموع باستخدام الصيغة العامة للعدد المركب. وهي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. ويبسط ذلك إلى اثنين ‪𝑎‬‏ أو اثنين مضروبًا في الجزء الحقيقي من ‪𝑧‬‏.

ونعلم، في الواقع، أن مجموع هذين العددين يساوي سالب خمسة. إذن يمكننا القول: إن سالب خمسة يساوي اثنين مضروبًا في الجزء الحقيقي من ‪𝑧‬‏. ونوجد الحل بقسمة الطرفين على اثنين. فنصل إلى أن الجزء الحقيقي من ‪𝑧‬‏ يساوي سالب خمسة على اثنين.

توضح لنا المعادلة الثانية الفرق بين هذين العددين. وهو ما يساوي ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏. نفك القوس الثاني بضرب كل حد في سالب واحد. فنحصل على ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏، وهو ما يساوي سالب اثنين ‪𝑏𝑖‬‏. ويساوي ذلك سالب اثنين ‪𝑖‬‏ مضروبًا في الجزء التخيلي من ‪𝑧‬‏. نعلم أن ذلك يساوي ثلاثة ‪𝑖‬‏. وبالتالي يكون ثلاثة ‪𝑖‬‏ يساوي سالب اثنين ‪𝑖‬‏ مضروبًا في الجزء التخيلي من ‪𝑧‬‏. لحل هذه المعادلة، نقسم الطرفين على سالب اثنين ‪𝑖‬‏. وبما أن ‪𝑖‬‏ مقسومًا على ‪𝑖‬‏ يساوي واحدًا، نجد أن الجزء التخيلي من ‪𝑧‬‏ يساوي سالب ثلاثة على اثنين.

ومن المفيد أن نلاحظ هنا أنه كان بإمكاننا، بدلًا من ذلك، ضرب الطرفين في سالب واحد. وكان ذلك ليعطينا ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ ستار يساوي سالب ثلاثة ‪𝑖‬‏. وهو ما يعطينا الحل نفسه. وبالتالي، فإن العدد المركب ‪𝑧‬‏، الذي يحقق المعادلتين المعطاتين، له جزء حقيقي هو سالب خمسة على اثنين، وجزء تخيلي هو سالب ثلاثة على اثنين. إذن، الحل هو سالب خمسة على اثنين ناقص ثلاثة على اثنين ‪𝑖‬‏.

من المفترض أن تكون قادرًا الآن على إدراك السبب الذي يجعل دراسة تعريف مجموع العدد المركب ومرافقه والفرق بينهما أمرًا موفرًا للوقت حقًّا. سنتناول الآن حاصل ضرب العدد المركب ومرافقه.

أوجد مرافق العدد المركب واحد زائد ‪𝑖‬‏، ثم أوجد حاصل ضرب هذا العدد في مرافقه.

تذكر أنه يتم إيجاد مرافق العدد المركب بتغيير إشارة الجزء التخيلي من ذلك العدد. وذلك يعني أن مرافق العدد المركب واحد زائد ‪𝑖‬‏ هو واحد ناقص ‪𝑖‬‏. ما نريده هو إيجاد حاصل ضرب واحد زائد ‪𝑖‬‏ وواحد ناقص ‪𝑖‬‏. نوجد حاصل ضرب هذين العددين كما نفعل مع أي مقدارين من حدين.

وقد تفيدنا طريقة ‪𝐹𝑂𝐼𝐿‬‏ في ذلك. يشير الحرف ‪𝐹‬‏ إلى الحدين الأولين. نضرب الحد الأول في القوس الأول في الحد الأول في القوس الثاني. واحد في واحد يساوي واحدًا. ويشير الحرف ‪𝑂‬‏ إلى الطرفين. نضرب الطرفين. واحد مضروبًا في سالب ‪𝑖‬‏ يساوي سالب ‪𝑖‬‏. ويشير الحرف ‪𝐼‬‏ إلى الوسطين. نضرب الوسطين. ‏‪𝑖‬‏ مضروبًا في واحد يساوي ‪𝑖‬‏. وأخيرًا، يشير الحرف ‪𝐿‬‏ إلى الحدين الأخيرين. نضرب الحدين الأخيرين في القوسين. ‏‪𝑖‬‏ مضروبًا في سالب ‪𝑖‬‏ يساوي سالب ‪𝑖‬‏ تربيع. و‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. بما أن سالب ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑖‬‏ يساوي صفرًا، فإن ذلك يساوي واحدًا ناقص سالب واحد، وهو ما يعطينا اثنين. إذن حاصل ضرب هذا العدد في مرافقه يساوي اثنين.

يمكننا تعميم هذه النتيجة. وسنعرف لاحقًا أن هناك عدة تطبيقات لمرافق العدد المركب.

لنفترض أن ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ عدد مركب مرافقه ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. حاصل ضربهما هو ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ مضروبًا في ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. إذا فككنا هذين القوسين كما فعلنا مسبقًا، فسنحصل على ‪𝑎‬‏ تربيع ناقص ‪𝑎𝑏𝑖‬‏ زائد ‪𝑎𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ تربيع ‪𝑖‬‏ تربيع. وبالطبع، سالب ‪𝑎𝑏𝑖‬‏ زائد ‪𝑎𝑏𝑖‬‏ يساوي صفرًا. قد تلاحظ أن ذلك يشبه الفرق بين مربعين. نعوض عن ‪𝑖‬‏ تربيع بسالب واحد. ونجد أن حاصل ضرب هذا العدد المركب في مرافقه يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. إذن ‪𝑧‬‏ مضروبًا في ‪𝑧‬‏ ستار يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع. في آخر مثالين سنتناولهما في هذا الفيديو، سنحل مسائل أكثر تعقيدًا تتضمن مجاميع وحواصل ضرب أعداد مركبة ومرافقاتها.

‏‪𝑧‬‏ يساوي خمسة ناقص ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة، و‪𝑤‬‏ يساوي جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ جذر خمسة. أولًا، احسب ‪𝑧‬‏ ستار و‪𝑤‬‏ ستار. ثانيًا، أوجد ‪𝑧‬‏ ستار زائد ‪𝑤‬‏ ستار، و‪𝑧‬‏ زائد ‪𝑤‬‏ ستار. ثالثًا، أوجد ‪𝑧‬‏ ستار ‪𝑤‬‏ ستار، و‪𝑧𝑤‬‏ ستار.

في هذه المسألة، لدينا عددان مركبان. وعلينا إيجاد مرافقيهما. تذكر أنه لإيجاد مرافق عدد مركب، نغير إشارة الجزء التخيلي منه. يعني ذلك أن المرافق المركب لخمسة ناقص ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة هو خمسة زائد ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة. لا داعي للقلق من وجود ‪𝑖‬‏ قبل جذر ثلاثة. صحيح أن ذلك غير وارد في الصيغة العامة. لكن من المنطقي كتابته عند التعامل مع الجذور.

وإذا قررنا، بدلًا من ذلك، كتابة جذر ثلاثة مضروبًا في ‪𝑖‬‏، فقد يبدو ذلك كما لو كنا نوجد الجذر التربيعي لثلاثة ‪𝑖‬‏ بدلًا من الجذر التربيعي لثلاثة مضروبًا في ‪𝑖‬‏. وبما أن ‪𝑤‬‏ يساوي جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ جذر خمسة، فمرافقه هو جذر اثنين ناقص ‪𝑖‬‏ جذر خمسة.

فيما يخص الجزء الثاني من المسألة، مطلوب منا إيجاد قيمتين. فعلينا إيجاد مجموع المرافقين. وعلينا أيضًا إيجاد مرافق مجموع العددين المركبين الأصليين. لنبدأ بإيجاد مجموع المرافقين. يساوي ذلك خمسة زائد ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة زائد جذر اثنين ناقص ‪𝑖‬‏ جذر خمسة. يمكننا إيجاد المجموع هنا من خلال تجميع الحدود المتشابهة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ‪𝑧‬‏ ستار زائد ‪𝑤‬‏ ستار يساوي خمسة زائد جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ مضروبًا في جذر ثلاثة ناقص جذر خمسة. ويمكننا أيضًا إيجاد قيمة ‪𝑧‬‏ زائد ‪𝑤‬‏ ستار.

هذه المرة، نجمع ‪𝑧‬‏ و‪𝑤‬‏ أولًا قبل إيجاد المرافق. وهو مرافق خمسة ناقص ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة زائد جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ جذر خمسة. مرة أخرى، نفعل ذلك بجمع الجزأين الحقيقيين ثم الجزأين التخيليين. فنحصل على خمسة زائد جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ مضروبًا في سالب جذر ثلاثة زائد جذر خمسة. ونغير إشارة الجزء التخيلي لإيجاد المرافق. فنحصل على خمسة زائد جذر اثنين ناقص ‪𝑖‬‏ مضروبًا في سالب جذر ثلاثة زائد جذر خمسة. وفي الحقيقة، إذا ضربنا الجزء التخيلي في سالب واحد، فسنجد أن ذلك يساوي خمسة زائد جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ مضروبًا في جذر ثلاثة ناقص جذر خمسة. لاحظ أن ‪𝑧‬‏ ستار زائد ‪𝑤‬‏ ستار يساوي ‪𝑧‬‏ زائد ‪𝑤‬‏ ستار.

فيما يخص الجزء الثالث من المسألة، علينا إيجاد حاصل ضرب مرافق كل من ‪𝑧‬‏ و‪𝑤‬‏. وهذا يساوي خمسة زائد ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة مضروبًا في جذر اثنين ناقص ‪𝑖‬‏ جذر خمسة. بضرب الحد الأول في كل قوس، نحصل على خمسة جذر اثنين. وبضرب الطرفين، نحصل على سالب خمسة ‪𝑖‬‏ جذر خمسة. وضرب الوسطين، ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة في جذر اثنين، يعطينا ‪𝑖‬‏ جذر ستة. وضرب الحدين الأخيرين يعطينا ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة مضروبًا في سالب ‪𝑖‬‏ جذر خمسة، وهو ما يساوي سالب ‪𝑖‬‏ تربيع مضروبًا في جذر 15. وبما أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد، يصبح هذا الحد الأخير موجب جذر 15. بتجميع الحدود المتشابهة، نجد أن حاصل ضرب مرافقي ‪𝑧‬‏ و‪𝑤‬‏ يساوي خمسة جذر اثنين زائد جذر 15 زائد ‪𝑖‬‏ مضروبًا في جذر ستة ناقص خمسة جذر خمسة.

بعد ذلك، نوجد حاصل ضرب ‪𝑧‬‏ و‪𝑤‬‏ ثم نوجد مرافقه. هذه المرة، حاصل الضرب هو خمسة ناقص ‪𝑖‬‏ جذر ثلاثة مضروبًا في جذر اثنين زائد ‪𝑖‬‏ جذر خمسة. بفك هذه الأقواس، نحصل على خمسة جذر اثنين زائد جذر 15 ناقص ‪𝑖‬‏ مضروبًا في جذر ستة ناقص خمسة جذر خمسة. يتبين من ذلك أن مرافق هذا العدد أيضًا هو خمسة جذر اثنين زائد جذر 15 زائد ‪𝑖‬‏ مضروبًا في جذر ستة ناقص خمسة جذر خمسة.

رأينا في هذا المثال أنه فيما يخص العددين المركبين ‪𝑧‬‏ و‪𝑤‬‏، مجموع مرافقيهما يساوي مرافق مجموعهما. وعرفنا أيضًا أن حاصل ضرب مرافقيهما يساوي مرافق حاصل ضربهما. وهذه في الواقع قاعدة عامة تسري على جميع الأعداد المركبة.

أوجد حل: اثنان ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ بار يساوي خمسة في ‪ℂ‬‏.

لدينا هنا عدد مركب. ويمكننا القول إن هذا العدد يمكن أن يكون على الصورة: ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ عددان حقيقيان. و‪𝑧‬‏ بار هو مرافقه. وهو ما يساوي ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. يستخدم الحرف ‪ℂ‬‏ للإشارة إلى مجموعة الأعداد المركبة. لنعوض عن ‪𝑧‬‏ و‪𝑧‬‏ بار في المعادلة.

عندما نفعل ذلك، نجد أن اثنين مضروبًا في ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏ يساوي خمسة. بعد ذلك نفك القوسين بضرب الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين في العدد الموجود بالخارج. فيما يتعلق بالقوس الأول، لدينا اثنان مضروبًا في ‪𝑎‬‏ واثنان مضروبًا في ‪𝑏𝑖‬‏. وفيما يتعلق بالقوس الثاني، لدينا سالب واحد مضروبًا في ‪𝑎‬‏ زائد سالب واحد مضروبًا في سالب ‪𝑏𝑖‬‏. نحصل بذلك على اثنين ‪𝑎‬‏ زائد اثنين ‪𝑏𝑖‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ يساوي خمسة. وبالطبع، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. فنجد أن ‪𝑎‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑏𝑖‬‏ يساوي خمسة.

هذا عدد حقيقي بحت. ويمكننا أن نصفه بأنه عدد مركب الجزء التخيلي منه يساوي صفرًا. وبمجرد التوصل إلى ذلك، يمكن أن نساوي الجزأين الحقيقي والتخيلي. نلاحظ أن ‪𝑎‬‏ لا بد وأن يساوي خمسة. وثلاثة ‪𝑏‬‏ لا بد وأن يساوي صفرًا. في الحقيقة، إذا كان ثلاثة ‪𝑏‬‏ يساوي صفرًا، فيجب أن يكون ‪𝑏‬‏ يساوي صفرًا أيضًا. نحاول إيجاد قيمة ‪𝑧‬‏. وأثبتنا أن ‪𝑎‬‏، وهو الجزء الحقيقي من ‪𝑧‬‏، يساوي خمسة. و‪𝑏‬‏، وهو الجزء التخيلي، يساوي صفرًا. إذن يمكننا القول: إن ‪𝑧‬‏ يساوي خمسة زائد صفر ‪𝑖‬‏، لكن ليس علينا كتابة الجزء التخيلي. وبالتالي نقول: إن ‪𝑧‬‏ يساوي خمسة.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن العدد المركب الذي يكتب على الصورة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏ يكون مرافقه المركب ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑏𝑖‬‏. ويشار إلى المرافق عادة بـ ‪𝑧‬‏ ستار أو ‪𝑧‬‏ بار في بعض الأحيان. وعرفنا أيضًا أنه فيما يتعلق بالعددين المركبين ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين، توجد مجموعة من القواعد التي تربط الأعداد المركبة بمرافقاتها. وأخيرًا، تعلمنا أن العدد المركب لا يساوي مرافقه إلا في حالة واحدة فقط، وهي أن يكون جزؤه التخيلي يساوي صفرًا، أي أن يكون عددًا حقيقيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.