نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺃ يساوي المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ ستة، سبعة، وﺏ يساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين؛ خمسة، صفر، فما مدور ﺏ في ﺃ؟
في هذا السؤال، لدينا مصفوفتان؛ المصفوفة ﺃ والمصفوفة ﺏ. ومطلوب منا إيجاد تعبير يتضمن هاتين المصفوفتين. علينا إيجاد المصفوفة التي تمثل مدور ﺏ مضروبًا في ﺃ. وهناك طريقتان مختلفتان لإيجاد هذا التعبير. أولًا، يمكننا إيجاد التعبير مباشرة. ونفعل ذلك بالتعويض بالمصفوفتين ﺏ وﺃ في هذا التعبير. وعليه، يصبح لدينا مدور المصفوفة ﺏ في ﺃ يساوي مدور المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين؛ خمسة، صفر مضروبًا في المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ ستة، سبعة.
والآن، علينا إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين داخل القوسين. وإحدى طرق فعل ذلك هي ملاحظة أن المصفوفة الأولى تكون من الرتبة واحد في اثنين، والمصفوفة الثانية تكون من الرتبة اثنان في واحد. ونعرف أنه لكي نتمكن من إيجاد حاصل ضرب مصفوفتين، لا بد أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى، وهو اثنان، مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، وهو اثنان أيضًا. بعد ذلك، المصفوفة الناتجة عن عملية الضرب هذه ستحتوي على عدد صفوف المصفوفة الأولى، وهو واحد، وعدد أعمدة المصفوفة الثانية، وهو واحد أيضًا.
إذن، نعرف أن حاصل ضرب هاتين المصفوفتين يجب أن يعطينا مصفوفة من الرتبة واحد في واحد. ويمكننا إيجاد هذه المصفوفة بضرب المصفوفتين معًا. لنفعل ذلك، علينا ضرب العنصرين المتناظرين من صف المصفوفة الأولى، في عمود المصفوفة الثانية. وبما أن المصفوفة الأولى في حاصل الضرب هذا تحتوي على صف واحد فقط، والمصفوفة الثانية تحتوي على عمود واحد فقط، فسنحصل على عنصر واحد فقط لأن لدينا مصفوفة من الرتبة واحد في واحد. وعنصر هذه المصفوفة يساوي خمسة في ستة زائد صفر مضروبًا في سبعة. تذكر أنه علينا هنا إيجاد مدور هذه المصفوفة. وإذا أوجدنا قيمة هذا العنصر، سنحصل على ٣٠. إذن، علينا إيجاد مدور المصفوفة التي رتبتها واحد في واحد، والتي عنصرها الوحيد هو ٣٠. ويمكننا فعل ذلك بتذكر أن مدور المصفوفة يبدل جميع صفوف المصفوفة بالأعمدة المناظرة.
لكن المصفوفة التي لدينا مكونة من صف واحد وعمود واحد فقط. لذا عند التبديل بينهما، نحصل في النهاية على المصفوفة نفسها، أي المصفوفة التي رتبتها واحد في واحد؛ ٣٠. في الحقيقة، مدور أي مصفوفة من الرتبة واحد في واحد لا يغير المصفوفة. وهذا يكفي للإجابة عن هذا السؤال. إذن، يمكننا التوقف هنا. لكن هناك طريقة أخرى للإجابة.
نتذكر أنه إذا كانت المصفوفتان ﺏ وﺃ لهما رتبتان بحيث يمكننا ضرب المصفوفة ﺏ في المصفوفة ﺃ، فإن مدور ﺏ في ﺃ يساوي مدور ﺃ مضروبًا في مدور ﺏ. بعبارة أخرى، إذا كان بإمكاننا ضرب المصفوفتين ﺏ وﺃ، فيمكننا توزيع المدور على حاصل الضرب بإيجاد مدور كل مصفوفة منهما وإعادة ترتيب صيغة الضرب. هذا يعني أنه يمكننا الإجابة عن السؤال بإيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة، وذلك بإيجاد مدور ﺃ ومدور ﺏ كل على حدة، ثم إيجاد حاصل ضرب هاتين المصفوفتين.
لنبدأ إذن بإيجاد مدور المصفوفة ﺃ. وهو مدور المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ ستة، سبعة. وتذكر أنه لإيجاد مدور هذه المصفوفة، علينا كتابة هذين الصفين بهذه المصفوفة على صورة عمودين مناظرين لها في المصفوفة الجديدة. ويمكننا فعل ذلك صفًّا تلو الآخر. دعونا نبدأ بالصف الأول، ونلاحظ أنه يحتوي على العنصر ستة فقط. وبما أن هذا هو الصف الأول من المصفوفة ﺃ، فسيكون هو العمود الأول من مدور المصفوفة ﺃ.
يمكننا فعل الأمر نفسه مع الصف الثاني من المصفوفة ﺃ، الذي يحتوي على العنصر سبعة فقط. علينا كتابة الصف الثاني من المصفوفة ﺃ على صورة العمود الثاني من مدور هذه المصفوفة. ومن ثم، فإن العمود الثاني سيحتوي على العنصر سبعة فقط، وهو ما يعني أن مدور المصفوفة ﺃ يساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين؛ ستة، سبعة. وجدير بالذكر أنه عند إيجاد مدور مصفوفة، نبدل بعديها. والمصفوفة ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، لذا فإن مدورها سيكون مصفوفة من الرتبة واحد في اثنين.
يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد مدور المصفوفة ﺏ. إذن علينا أخذ صفوف المصفوفة ﺏ وكتابتها على صورة الأعمدة المناظرة بمدور ﺏ. لكن إذا بدأنا بالصف الأول من ﺏ، فسنجد أن ﺏ يحتوي على صف واحد فقط. هذا يعني أن مدور المصفوفة ﺏ سيحتوي على عمود واحد فقط. إذا كتبنا هذا الصف على صورة عمود، فسنلاحظ أن مدور ﺏ سيكون المصفوفة التي من الرتبة اثنان في واحد؛ خمسة، صفر.
يمكننا الآن التعويض بمدور المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺏ في الصيغة لدينا. وهذا يعطينا المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين؛ ستة، سبعة مضروبة في المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ خمسة، صفر. ويمكننا الآن إيجاد حاصل الضرب هذا. وعليه، يصبح لدينا هذه المصفوفة التي من الرتبة واحد في واحد وعنصرها الوحيد هو ستة في خمسة زائد سبعة في صفر، والتي يمكننا إيجاد قيمته لنجد أنه يساوي أيضًا قيمة العنصر الوحيد للمصفوفة التي رتبتها واحد في واحد، وهو ٣٠.
وبهذا نكون قد تمكنا من توضيح طريقتين مختلفتين لإيجاد مدور المصفوفة ﺏ في المصفوفة ﺃ، حيث المصفوفة ﺃ هي المصفوفة التي رتبتها اثنان في واحد؛ ستة، سبعة، والمصفوفة ﺏ هي المصفوفة التي رتبتها واحد في اثنين؛ خمسة، صفر. وتمكنا من إثبات أن مدور ﺏ في ﺃ يساوي المصفوفة التي رتبتها واحد في واحد، وعنصرها الوحيد هو ٣٠.
