فيديو السؤال: إيجاد احتمال اتحاد حدثين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان في فضاء عينة لها نواتج متساوية الاحتمال. إذا علمت أن ﺃ يحتوي على ستة نواتج، واحتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أرباع، واحتمال ﺏ يساوي نصفًا، وإجمالي عدد النواتج يساوي ٢٠، فأوجد احتمال وقوع أحد الحدثين فقط؛ ﺃ أو ﺏ.

سنبدأ برسم شكل فن لتمثيل هذا السيناريو. نحن نحاول إيجاد احتمال وقوع أحد الحدثين فقط؛ ﺃ أو ﺏ. هذا يعني أننا نريد وقوع الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ، وليس كلا الحدثين. يكتب احتمال وقوع الحدث ﺃ فقط على الصورة: احتمال ﺃ فرق ﺏ؛ لأن هذا هو احتمال وقوع الحدث ﺃ دون وقوع الحدث ﺏ. وتنص قاعدة الفرق للاحتمالات على أن ذلك يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكننا تصور ذلك على شكل فن. إنه الدائرة ﺃ بأكملها ناقص الجزء الذي يتقاطع مع الدائرة ﺏ.

وبالمثل، فاحتمال وقوع الحدث ﺏ فقط يكتب على الصورة: احتمال ﺏ فرق ﺃ يساوي احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. إذا علمنا احتمال ﺃ واحتمال ﺏ واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ، يمكننا عندئذ حساب احتمال وقوع أحد الحدثين فقط. علينا جمع احتمال ﺃ فرق ﺏ واحتمال ﺏ فرق ﺃ.

حسنًا، علمنا من السؤال أن ﺃ يحتوي على ستة نواتج وأن إجمالي عدد النواتج يساوي ٢٠. هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺃ هو ستة على ٢٠، ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة على ١٠ أو ثلاثة أعشار. علمنا أيضًا أن احتمال ﺏ يساوي نصفًا. لكن السؤال لم يخبرنا باحتمال ﺃ تقاطع ﺏ. نحن نعلم قيمة احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. وتنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن إعادة ترتيب ذلك؛ بحيث يكون لدينا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ مساويًا لاحتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن هذا يساوي ثلاثة أعشار زائد نصف ناقص ثلاثة أرباع.

ولجمع الكسور وطرحها، علينا إيجاد مقام مشترك. في الحالة لدينا، المضاعف المشترك الأصغر لـ ١٠ واثنين وأربعة هو ٢٠. إذن لدينا ستة على ٢٠ زائد ١٠ على ٢٠ ناقص ١٥ على ٢٠. وهذا يساوي واحدًا على ٢٠. احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي واحدًا على ٢٠. في سياق هذا السؤال، هذا يعني أن ناتجًا واحدًا من أصل ٢٠ ناتجًا يقع في كل من الحدث ﺃ والحدث ﺏ.

لدينا الآن جميع القيم الثلاث المطلوبة للإجابة عن السؤال. احتمال ﺃ فرق ﺏ يساوي ثلاثة أعشار ناقص واحد على ٢٠. وهذا يساوي ستة على ٢٠ ناقص واحد على ٢٠، ما يساوي خمسة على ٢٠. وعلى الرغم من أنه يمكن تبسيط ذلك إلى ربع، لكننا سنترك المقام مساويًا لـ ٢٠ كما هو. في سياق هذا السؤال، توجد خمسة نواتج في الحدث ﺃ فقط. وهذا منطقي؛ لأنه يوجد إجمالي ستة نواتج في الحدث ﺃ.

احتمال ﺏ فرق ﺃ يساوي نصفًا ناقص واحد على ٢٠. وبما أن نصفًا يساوي ١٠ على ٢٠، فاحتمال ﺏ فرق ﺃ يساوي تسعة على ٢٠. إذن تقع تسعة نواتج في الحدث ﺏ فقط.

إذن، احتمال وقوع أحد الحدثين فقط، ﺃ أو ﺏ، يساوي خمسة على ٢٠ زائد تسعة على ٢٠. هذا يساوي ١٤ على ٢٠. وهذا يتوافق مع شكل فن، الذي يوضح أن ١٤ ناتجًا من أصل ٢٠ ناتجًا يقع في الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ فقط. يمكن تبسيط الكسر ١٤ على ٢٠ إلى سبعة أعشار، أو كتابته في صورة عدد عشري؛ أي ٠٫٧. وهذا هو احتمال وقوع أحد الحدثين فقط؛ ﺃ أو ﺏ.

وتكملة للسيناريو المذكور في السؤال، علينا إضافة خمسة خارج الدائرتين في شكل فن. وذلك لأن إجمالي عدد النواتج في فضاء العينة يساوي ٢٠. خمسة زائد واحد زائد تسعة يساوي ١٥، وبطرح ذلك من ٢٠، نحصل على خمسة. إذن توجد خمسة نواتج لا تقع في الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ.