نسخة الفيديو النصية
في دراسة عن العلاقة بين تقديرات الطلاب في مادتي الرياضيات والعلوم، وجدت النتائج الآتية لستة طلاب. أوجد معامل ارتباط سبيرمان. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
حسنًا، يطبق معامل ارتباط سبيرمان على ما يعرف باسم «البيانات الثنائية المتغير». هذا يعني بيانات تمثل كل نقطة فيها بمتغيرين. في الحالة لدينا، يمكننا قول إن كل نقطة في مجموعة البيانات التي لدينا تتكون من تقديرين لأحد الطلاب. المتغيران المتضمنان هما تقدير الطالب في مادة الرياضيات وتقديره في مادة العلوم. لدينا إذن مجموعة بيانات ثنائية المتغير، ومن ثم يمكننا حساب معامل ارتباط سبيرمان.
من المثير للاهتمام أن هذا المعامل ليس من الضروري أن يتعامل مباشرة مع البيانات المعطاة. وإنما يصف ما يسمى بالرتبة النسبية لهذه البيانات. لمعرفة ما يعنيه ذلك، دعونا نضف صفين آخرين إلى الجدول. يمثل هذا الصف رتب تقديرات الطلاب في مادة الرياضيات، وهذا الصف يمثل رتب تقديراتهم في مادة العلوم. ولملء هذين الصفين، سنحدد عددًا لكل حرف يعبر عن التقدير. وسنكتبه بحيث يكون أدنى تقدير في كل صف مناظرًا لأدنى رتبة. هذا يعني أن أدنى تقدير في أي صف محدد يناظر الرتبة واحدًا، والتقدير الأدنى التالي يناظر الرتبة اثنين، وهكذا.
وبالنظر إلى قائمة تقديرات الرياضيات، نلاحظ على الفور وجود صعوبة. في الواقع، يوجد تساو بين أدنى ثلاثة تقديرات في مادة الرياضيات. ومن الناحية العملية، هذه التقديرات هي أول وثاني وثالث أدنى تقديرات. لكن بما أن جميع هذه التقديرات الثلاثة متساوية، فلن يكون من المنطقي تحديد رتبها على أنها واحد واثنان وثلاثة. لكن ما سنفعله هو حساب متوسط قيم هذه الرتب الثلاثة. متوسط واحد واثنين وثلاثة هو اثنان. لذا سنقول إن رتبة كل تقدير ﺩ من تقديرات الرياضيات هي اثنان.
بالنظر إلى التقدير الأدنى التالي في مادة الرياضيات، نجد أنه يوجد التقديران ﺏ. وهما رابع وخامس أدنى تقديرين في مجموعة الرياضيات. لكن بدلًا من أن نعين لهما رتبتين مختلفتين؛ لأنهما نفس التقدير، سنعين لهما متوسط قيمتي الرتبتين أربعة وخمسة. متوسط أربعة وخمسة هو ٤٫٥. وأخيرًا: لدينا سادس أدنى تقدير أو أعلى تقدير، وهو ﺃ. بما أننا نرتب من الأدنى إلى الأعلى، فستكون رتبة هذا التقدير هي ستة.
لقد انتهينا الآن من تحديد رتب تقديرات مادة الرياضيات، ويمكننا الانتقال إلى تحديد رتب تقديرات مادة العلوم. مرة أخرى، سنحدد للتقديرات الأدنى رتبًا أدنى. لذا يمكننا أن نبدأ بالتقدير الأدنى ﻑ. ورتبته واحد. والتقدير الأدنى التالي هو التقدير ﺟ الذي حصل عليه ثلاثة طلاب. وستكون لهذه التقديرات الرتب الثانية والثالثة والرابعة من الرتب الأدنى. بحساب متوسط قيم تلك الرتب، يكون الناتج ثلاثة. بعد ذلك، لدينا التقدير ﺏ. ويحصل هذا التقدير على الرتبة الأدنى الخامسة. وأخيرًا: يوجد التقدير ﺃ والذي يحصل على الرتبة الأدنى السادسة.
والآن بعد أن عرفنا الرتب النسبية لكل نقطة من نقاط مجموعة البيانات هذه، نجد أننا في الواقع قد حسبنا الأعداد التي يقيسها معامل ارتباط سبيرمان. على وجه التحديد، يقيس هذا المعامل الفروق بين رتب تقديرات مادة الرياضيات ورتب تقديرات مادة العلوم. وهو ما يمكننا فعله، إذن هو إضافة صف آخر إلى الجدول. هذا الصف، ﻑ، يمثل الفروق بين رتب تقديرات مادتي الرياضيات والعلوم. إذن بالنسبة إلى نقطة البيانات الأولى؛ أي تقديرات الطالب الأول، نجد أن ذلك الفرق يساوي اثنين ناقص ثلاثة أو سالب واحد. وبالنسبة إلى الطالب الثاني، نجد أن الفرق يساوي ٤٫٥ ناقص ثلاثة؛ أي ١٫٥. سنستمر في ملء الصف. ستة ناقص خمسة يساوي واحدًا. ٤٫٥ ناقص ستة يساوي سالب ١٫٥. اثنان ناقص ثلاثة يساوي سالب واحد. واثنان ناقص واحد يساوي واحدًا.
في هذه المرحلة، يمكننا أن نسترجع صيغة معامل ارتباط سبيرمان. إنه يساوي واحدًا ناقص ستة في المجموع، وهذا ما يعنيه الرمز 𝛴، لجميع الفروق ﻑ تربيع مقسومًا على ﻥ؛ حيث ﻥ هو عدد نقاط البيانات في مجموعة البيانات، في ﻥ تربيع ناقص واحد. نلاحظ إذن أنه لحساب هذا المعامل، نحتاج إلى معلومتين. أولًا: علينا معرفة مجموع كل قيم ﻑ تربيع. وثانيًا: علينا معرفة عدد النقاط في مجموعة البيانات لدينا. ولأن لدينا في هذه الحالة تقديرات ستة طلاب، نعلم أن ﻥ يساوي ستة. لمساعدتنا في إيجاد مجموع قيم ﻑ تربيع، يمكننا تكوين صف واحد أخير في الجدول.
لملء هذا الصف، سنقوم فقط بتربيع القيم في الصف ﻑ. سالب واحد تربيع يساوي موجب واحد. ١٫٥ تربيع يساوي ٢٫٢٥. واحد تربيع يساوي واحدًا، وهكذا مع جميع القيم. لحساب مجموع قيم ﻑ تربيع، سنجمع جميع قيم الصف الأخير. واحد زائد ٢٫٢٥ زائد واحد زائد ٢٫٢٥ زائد واحد زائد واحد يساوي ٨٫٥. بمعرفة هذه القيمة الآن، يمكننا التعويض بها في صيغة معامل ارتباط سبيرمان. بالتعويض بـ ٨٫٥ عن مجموع ﻑ تربيع وبستة عن ﻥ، نحصل على هذا المقدار للمعامل. لاحظ أنه في الكسر يحذف العامل المشترك ستة من كل من البسط والمقام. بالإضافة إلى ذلك، بما أن ستة تربيع يساوي ٣٦، يمكننا إعادة كتابة الكسر ليصبح ٨٫٥ على ٣٥. هذا كله يساوي العدد العشري ٠٫٧٥٧١٤٢، وهكذا مع توالي الأرقام.
لكننا نعلم أننا نريد تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. بما أن الرقم الموجود في الخانة العشرية الرابعة أقل من خمسة، فإننا سنقرب إجابتنا إلى ٠٫٧٥٧. وهذا هو معامل ارتباط سبيرمان، لأقرب ثلاث منازل عشرية.
