فيديو السؤال: إيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

هذه نهاية دالة كسرية عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. وبما أنها دالة كسرية، فهي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. وبما أننا نعرف شيئًا عن نهايات الدوال كثيرة الحدود، فإننا قد نسارع باستخدام الحقيقة التي مفادها أن نهاية خارج القسمة للدوال هي خارج القسمة لنهايات هذه الدوال، في حال وجود هذه النهايات. إذا حاولنا تطبيق هذا القانون، فإننا نحصل على نهاية ستة ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية على نهاية ﺱ ناقص ستة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية.

والآن، ما هي نهاية ستة ﺱ تربيع عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية؟ كلما ازدادت قيمة ﺱ، ازدادت قيمة ﺱ تربيع. وتزداد قيمة ستة ﺱ تربيع بلا حدود. إذن، قيمة هذه النهاية هي ما لا نهاية.

والآن، ماذا عن النهاية في المقام، أي نهاية ﺱ ناقص ستة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية؟ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، يكون ﺱ ناقص ستة دائمًا على بعد ست خطوات إلى الوراء. إذن ﺱ ناقص ستة يتجه أيضًا إلى ما لا نهاية. وبذلك، يصبح لدينا ما لا نهاية في المقام أيضًا. وتتبقى لدينا الصيغة غير المعينة: ما لا نهاية على ما لا نهاية. وهذه الصيغة لا تعطينا أي معلومات حول النهاية التي نبحث عنها. فالنهاية يمكن أن تكون ما لا نهاية. ويمكن أن تكون صفرًا، أو أي عدد حقيقي آخر.

وبالمناسبة، قد تميل إلى حذف علامات ما لا نهاية من البسط والمقام ليكون الناتج واحدًا. لكن للأسف لا يمكنك قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية وحسب من أجل الحصول على ناتج صحيح. إذا حصلنا على صيغة غير معينة مثل ما لا نهاية على ما لا نهاية، أو ما لا نهاية ناقص ما لا نهاية، أو صفر على صفر، فإننا نستنتج من ذلك أن علينا إيجاد النهاية بطريقة أخرى. إذن لم تفلح الطريقة التي طبقنا فيها قانون خارج القسمة للنهايات تطبيقًا مباشرًا. ولذا، علينا أن نفكر بطريقة أكثر ذكاء هنا.

لإيجاد نهاية دالة كسرية عند ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية، يمكننا قسمة البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير الموجود في المقام أولًا قبل تطبيق قانون خارج القسمة للنهايات. في الدالة الكسرية هنا، المقام هو الدالة الكثيرة الحدود ﺱ ناقص ستة. وأعلى قوة للمتغير ﺱ في هذا المقام هي ﺱ، أو ﺱ أس واحد. وحيث إننا حددنا أعلى قوة للمتغير ﺱ في المقام، فما علينا فعله الآن هو أن نقسم كلًّا من البسط والمقام عليها. إذن، البسط الآن ستة ﺱ تربيع على ﺱ. والمقام ﺱ ناقص ستة على ﺱ.

يمكننا تبسيط كل من البسط والمقام. ستة ﺱ تربيع على ﺱ هي ستة ﺱ. ويمكننا تقسيم الكسر الموجود في المقام، وكتابة ﺱ على ﺱ ناقص ستة على ﺱ. وبالطبع، يمكن تبسيط ﺱ على ﺱ إلى واحد. حسنًا، كيف يمكن أن يكون هذا مفيدًا؟ أرى أنه الآن عند تطبيقنا لقانون خارج القسمة للنهايات، لن نحصل على صيغة غير معينة. لنتأكد ما إذا كنا على صواب.

من خلال تطبيق هذا القانون، لدينا نهاية ستة ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية على نهاية واحد ناقص ستة على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية. وكما قلنا من قبل، فإننا ننظر إلى النهاية في البسط أولًا. مع اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، سيقترب بالتأكيد حاصل ضرب ستة في ﺱ من ما لا نهاية. وبذلك، يصبح لدينا ما لا نهاية في البسط.

فماذا عن المقام، حيث لدينا نهاية واحد ناقص ستة على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية؟ ستقل قيمة ستة على ﺱ كلما ازدادت قيمة ﺱ. إذن، سيقترب واحد ناقص ستة على ﺱ أكثر فأكثر من واحد. وبالطبع، يمكننا إثبات أن النهاية في المقام هي واحد بالأسلوب الرياضي عن طريق استخدام الحقيقة التي مفادها أن نهاية الفرق بين دالتين هي الفرق بين نهايات هاتين الدالتين، وأن نهاية دالة ثابتة هي الثابت نفسه، وأن نهاية حاصل ضرب عدد في دالة هو حاصل ضرب هذا العدد في نهاية هذه الدالة، وأن نهاية دالة مقلوب واحد على ﺱ عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية هي صفر. وبذلك، تكون قيمة النهاية في المقام واحد ناقص صفر، وهي واحد كما قلنا.

حسنًا، من خلال هذه العملية وجدنا أن نهاية ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية هي ما لا نهاية على واحد. قد لا يكون واضحًا أن هذا الناتج أفضل بأي حال من الأحوال عن الناتج ما لا نهاية على ما لا نهاية الذي حصلنا عليه من قبل. لكن في هذه الحالة، ما نميل إلى فعله يفي بالغرض فعليًّا. يمكننا القول إن ما لا نهاية على واحد يساوي ما لا نهاية. وهذا هو جوابنا. نهاية ستة ﺱ تربيع على ﺱ ناقص ستة عند اقتراب ﺱ من ما لا نهاية هي ما لا نهاية. وذلك لأنه على عكس ما لا نهاية على ما لا نهاية، فإن ما لا نهاية على واحد ليست صيغة غير معينة.

فالصيغ غير المعينة التي ستمر علينا في الغالب تكون كالتالي: صفر على صفر، وما لا نهاية على ما لا نهاية، وصفر في ما لا نهاية، وواحد أس ما لا نهاية، وما لا نهاية ناقص ما لا نهاية، وصفر أس صفر، وما لا نهاية أس صفر. ويمكن للصيغ غير المعينة هذه أن تظهر عندما تحاول إيجاد قيمة نهاية ما. على سبيل المثال، رأينا في السابق أننا قد حصلنا على الصيغة غير المعينة ما لا نهاية على ما لا نهاية. وهي تسمى صيغًا غير معينة نظرًا لأنها لا تعطي أي إشارة للقيمة الفعلية للنهاية.

قد تعتقد ببساطة أن ما لا نهاية على ما لا نهاية يفترض تبسيطه إلى واحد. لكننا عندما حاولنا إيجاد قيمة النهاية، حصلنا على الصيغة غير المعينة ما لا نهاية على ما لا نهاية. وقد اتضح أن النهاية لها قيمة غير منتهية. وبالمثل، قد تظن أنك إذا حصلت على الصيغة صفر على صفر عندما تحاول إيجاد نهاية دالة ما، فإن نهاية هذه الدالة هي واحد. لكن، مرة أخرى، هذا ليس صحيحًا بالضرورة. وينطبق الأمر نفسه على الصيغ غير المعينة الأخرى. فالقيمة الواضحة ليست بالضرورة هي قيمة النهاية التي أنتجت تلك الصيغة غير المعينة.