نسخة الفيديو النصية
قذف جسم لأعلى مستوى مائل خشن طوله ٣٠٠ سنتيمتر وارتفاع أعلى نقطة فيه ٢٨٠ سنتيمترًا من سطح الأرض. إذا كان معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى ٠٫٤١، فأوجد لأقرب منزلتين عشريتين أقل سرعة يجب أن يقذف بها الجسم ليصل إلى قمة المستوى. اكتب إجابتك بوحدة السنتيمتر لكل ثانية. وذلك مع العلم بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
حسنًا، لدينا في هذا السؤال مستوى مائل خشن أقصى ارتفاع له هو ٢٨٠ سنتيمترًا، في حين أن طول المستوى نفسه يساوي ٣٠٠ سنتيمتر. ونتخيل هنا وضع جسم عند قاعدة هذا المستوى المائل ثم قذفه لأعلى في اتجاه المستوى لكي يصل إلى قمة المستوى. بمعلومية أن معامل الاحتكاك، الذي سنسميه ﻡﻙ، بين الجسم والمستوى يساوي ٠٫٤١، وأن عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، علينا إيجاد أقل سرعة لازمة لقذف هذا الجسم لأعلى المستوى المائل بحيث يصل إلى قمته. ونلاحظ أنه مطلوب منا كتابة الإجابة بوحدة السنتيمتر لكل ثانية.
لكي نبدأ في الحل، دعونا نفرغ بعض المساحة. حسنًا، سنفترض أن أقل سرعة؛ أي السرعة الابتدائية للجسم التي نحاول إيجاد قيمتها، تسمى ﻉ صفر. وسنرسم شكلًا آخر يكون فيه الجسم على المستوى المائل. هذه المرة، بما أن الجسم يتحرك لأعلى المستوى المائل، فإن السرعة المتجهة للجسم في هذه اللحظة من الزمن ستكون في هذا الاتجاه. وبالتفكير في القوى المؤثرة على الجسم، سنجد أن هناك قوة الوزن، ﻙ في ﺩ، وهي التي تؤثر رأسيًّا لأسفل. وتوجد قوة رد الفعل ﺭ التي تؤثر عموديًّا في الاتجاه المعاكس للمستوى المائل. وأخيرًا، بما أن هذا المستوى خشن، فإنه توجد أيضًا قوة احتكاك. ولأنه في هذه اللحظة يتحرك الجسم لأعلى المستوى، وتؤثر قوة الاحتكاك في الاتجاه المضاد لحركة الجسم؛ فإننا نعلم أن قوة الاحتكاك، التي سنرمز لها بـ ﺡﻙ، تشير في اتجاه أسفل المستوى المائل.
الآن وقد حددنا القوى لدينا على الرسم، يمكننا إنشاء إطار إحداثيات؛ حيث يشير الاتجاه الموجب للمحور ﺱ في اتجاه أعلى المستوى المائل، ويشير الاتجاه الموجب للمحور ﺹ في اتجاه عمودي على المستوى. يمكننا الآن استخدام هذا الإطار، وكذلك استخدام القوى الثلاث المؤثرة على الجسم، لإيجاد عجلته على طول المستوى المائل. وبما أن ذلك سيكون في الاتجاه ﺱ، فسنحسب أولًا القوى المؤثرة في هذا البعد. يمكننا ملاحظة أن هناك قوتين تؤثران في هذا البعد. أولًا، توجد قوة الاحتكاك ﺡﻙ التي تؤثر بالكامل في الاتجاه السالب لـ ﺱ. وتوجد أيضًا إحدى مركبتي قوة الوزن. تبدو هذه المركبة بهذا الشكل؛ حيث تؤثر مباشرة في اتجاه الميل لأسفل. ويمكننا ملاحظة أن هذه المركبة هي جزء من مثلث قوى قائم الزاوية. ومن ثم، فإننا نريد التعبير عن طول هذا الضلع بدلالة طول الضلع الذي يمثل الوتر ﻙ في ﺩ.
بالنظر إلى هذا المثلث القائم الزاوية، يتضح أن هذه الزاوية الداخلية هنا تساوي هذه الزاوية الداخلية على المستوى المائل. وهاتان الزاويتان لهما القياس نفسه دائمًا. دعونا نطلق على هذه الزاوية اسمًا، وليكن 𝜃. بالنسبة إلى 𝜃، طول الضلع المقابل للمثلث يساوي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃. وهكذا يمكننا كتابة القوة الثانية التي تؤثر في الاتجاه ﺱ. وهاتان هما القوتان الوحيدتان المؤثرتان في هذا البعد. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة الذي ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلة هذا الجسم في عجلته، يمكننا قول إن سالب ﺡﻙ ناقص ﻙﺩ جا 𝜃 يساوي كتلة الجسم في عجلته في هذا الاتجاه.
والآن، إذا استطعنا الحل لإيجاد قيمة ﺟﺱ، فسنتمكن من إيجاد السرعة الابتدائية التي يجب أن يقذف بها الجسم ليصل إلى قمة المستوى. يمكننا أن نلاحظ هنا أنه يمكن كتابة قوة الاحتكاك ﺡﻙ في هذه المعادلة على صورة معامل الاحتكاك ﻡﻙ مضروبًا في قوة رد الفعل ﺭ المؤثرة على الجسم. وعليه، فإننا نريد معرفة قيمة قوة رد الفعل ﺭ. لإيجاد قيمة هذا المتغير، دعونا نفكر مرة أخرى في القوى المؤثرة على الجسم. في البعد الذي أسميناه اتجاه المحور ﺹ، لدينا قوتان مؤثرتان. إحداهما هي قوة رد الفعل ﺭ وتؤثر في الاتجاه الموجب لـ ﺹ، والأخرى هي المركبة ﺹ لقوة الوزن، وهي التي تؤثر في الاتجاه السالب. وبما أن المركبة ﺱ لقوة الوزن تساوي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃، فإن المركبة ﺹ تساوي ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃. إذن، القوتان المؤثرتان في الاتجاه ﺹ هما: ﺭ، وسالب ﻙﺩ في جتا 𝜃.
يمكننا هنا ملاحظة أن الجسم لا يتسارع في هذا البعد. وهذا يعني أنه لا يتحرك مخترقًا سطح المستوى أو مبتعدًا عنه. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، يمكننا قول إن قيمة ﺟ تساوي صفرًا في هذا البعد. وفي هذه المعادلة، يمكننا إضافة ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃 إلى كلا الطرفين، وسنجد أن ﺭ يساوي هذا الحد. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عن ﺭ في معادلة القوة الأصلية بـ ﻙﺩ في جتا 𝜃، وهذا يعطينا هذا الناتج. لاحظ في هذه المعادلة أن كتلة الجسم تظهر في جميع الحدود. وهذا يعني أننا إذا قسمنا كلا الطرفين على كتلة الجسم، فستحذف هذه القيمة بالكامل. اللافت للنظر في الناتج الذي حصلنا عليه هو أنه لا يتضمن الكتلة.
وبهذا، تصبح لدينا هذه المعادلة الخاصة بعجلة الجسم على طول المستوى المائل. لاحظ أنه يمكننا أخذ سالب ﺩ عاملًا مشتركًا من هذا التعبير. بالنظر إلى هذه المعادلة، نجد أن لدينا قيمة ﺩ، ومعامل الاحتكاك ﻡﻙ. لكننا لم نعرف بعد قيمتي جتا 𝜃 وجا 𝜃. لكن يمكننا معرفة هاتين القيمتين من خلال التفكير في هذا المثلث القائم الزاوية. سنتناول أولًا جا 𝜃.
بصفة عامة، إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية؛ حيث نطلق على إحدى الزاويتين الداخليتين الأخريين 𝜃، يمكننا أن نسمي أطوال أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية 𝜃. سيكون لدينا الضلع المقابل لهذه الزاوية، والضلع المجاور لها، ووتر المثلث أيضًا. حسنًا، جا 𝜃 يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر. في المثلث الموضح في هذا المثال، لدينا ٢٨٠ سنتيمترًا مقسومًا على ٣٠٠ سنتيمتر. إذن، يمكننا قول إن جا 𝜃 يساوي ٢٨٠ على ٣٠٠. بالانتقال إلى جتا 𝜃، نجد أنه بوجه عام يساوي النسبة بين طول الضلع المجاور وطول الوتر. وفي هذه الحالة، ستكون النسبة بين طول هذا الضلع في المثلث القائم الزاوية و ٣٠٠ سنتيمتر.
إذا أسمينا طول هذا الضلع ﻝ، فإنه يمكننا إيجاد قيمته باستخدام نظرية فيثاغورس. ونجد أنه يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٠٠ تربيع ناقص ٢٨٠ تربيع، أو بعبارة أخرى يساوي الجذر التربيعي لـ ١١,٦٠٠، مع تجاهل الوحدات. بمعلومية ذلك، يمكننا كتابة التعبير الدال على جتا 𝜃 على صورة الجذر التربيعي لهذه القيمة مقسومًا على ٣٠٠. سنكتب الآن تعبيرًا لـ ﺟﺱ، مع التعويض بقيم كل من ﺩ وﻡﻙ وجتا 𝜃 وجا 𝜃.
سنحتفظ بهذا الناتج جانبًا. لكننا نلاحظ أيضًا أن قيمة ﺟ، عند حسابها، ستكون ثابتة. حسنًا، ليس لدينا هنا أي متغيرات، ومن ثم ستكون العجلة ﺟ ثابتة في الزمن. وهذا مهم لأنه يعني أنه يمكن وصف حركة الجسم على هذا المستوى المائل باستخدام ما يسمى بمعادلات الحركة. وتشمل أربع معادلات تصف كميات مثل السرعة المتجهة والعجلة والإزاحة. ويمكن تطبيق هذه المعادلات على حركة أي جسم ما دامت عجلته ﺟ في هذه المعادلات ثابتة. وكما لاحظنا، هذا ينطبق على الحالة لدينا؛ حيث يتحرك الجسم لأعلى هذا المستوى المائل لكنه يتسارع لأسفل المستوى.
علينا الآن أن نختار من بين معادلات الحركة الأربع لدينا المعادلة الأنسب لما نريد إيجاده وما نعلمه بالفعل. إننا نريد إيجاد السرعة الابتدائية التي يجب أن يقذف بها الجسم. ونعلم أن عجلة الجسم لدينا تساوي ﺟﺱ أثناء تحركه لأعلى المستوى المائل. ونعرف أيضًا أن طول المستوى المائل يساوي ٣٠٠ سنتيمتر، وأن سرعة الجسم الابتدائية كافية ليصل إلى القمة. وبما أنه ليس لدينا أي معلومات عن الزمن الذي تستغرقه حركة هذا الجسم، فإنه يمكننا استبعاد معادلات الحركة التي تتضمن ذلك المتغير. وبناء عليه، سنستخدم المعادلة التي توضح أن مربع السرعة المتجهة النهائية للجسم يساوي مربع سرعته المتجهة الابتدائية زائد اثنين في عجلته في إزاحته.
بتذكر أن ﻉ صفر هو أقل سرعة لازمة لكي يصل الجسم إلى قمة المستوى المائل، يمكننا قول إن سرعته المتجهة عند هذه النقطة؛ أي ﻉ، تساوي صفرًا. وبعد لحظة من الزمن، قد يبدأ الجسم في الانزلاق مرة أخرى لأسفل المستوى المائل. لكن المقصود هو أنه توجد لحظة من الزمن يكون فيها الجسم في حالة سكون. سنفترض أن هذه اللحظة الزمنية هي اللحظة الأخيرة؛ بحيث يكون ﻉ يساوي صفرًا. إذا طبقنا معادلة الحركة هذه على المثال لدينا، فسنحصل على: صفر يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺟﺱ في ﻑ. وﻑ هنا هو المسافة على طول المستوى المائل التي يحتاج الجسم إلى قطعها؛ أي ٣٠٠ سنتيمتر.
وبتذكر أننا نريد إيجاد قيمة ﻉ صفر، يمكننا طرح اثنين في ﺟﺱ في ﻑ من كلا الطرفين، ثم أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة للوصول إلى هذا الناتج. قد يبدو أن لدينا مشكلة في هذه الإشارة السالبة في الجذر التربيعي. ومع ذلك، يمكننا أن نتذكر أن قيمة ﺟﺱ وفقًا للتعبير لدينا سالبة. وعندما نعوض بهذه القيمة في الجذر التربيعي، تلغي هاتان الإشارتان السالبتان إحداهما الأخرى وسيكون الناتج الكلي موجبًا. لكي نفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة ثم نعوض بالمقدار الذي حصلنا عليه لـ ﺟﺱ وبالقيمة المعلومة لـ ﻑ، وهي ٣٠٠ سنتيمتر. ومع تجاهل الوحدات، نحصل على ذلك المقدار. ونلاحظ أن هناك بالفعل علامتي سالب تلغي كل منهما الأخرى.
قبل حساب ﻉ صفر، علينا أن ننتبه جيدًا إلى الوحدات المستخدمة. مطلوب منا كتابة الإجابة النهائية بالسنتيمتر لكل ثانية. ومع أن قيمة ﻑ معطاة بوحدة الطول السنتيمتر، لكن قيمة عجلة الجاذبية ليست كذلك؛ فهي بوحدة المتر لكل ثانية مربعة. ولكي تتوافق جميع الوحدات على نحو صحيح، علينا تحويل القيمة لدينا إلى سنتيمتر لكل ثانية مربعة. لكي نفعل هذا، يمكننا تذكر حقيقة أن ١٠٠ سنتيمتر يساوي مترًا واحدًا. وعليه، لتحويل ﺩ إلى وحدة السنتيمتر لكل ثانية مربعة، سنحرك العلامة العشرية خانتين إلى اليمين. بعبارة أخرى، بدلًا من ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، سيكون لدينا ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة.
حسنًا، أصبحت جميع الوحدات في هذا المقدار متوافقة، ويمكننا المتابعة لحساب ﻉ صفر. بتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٧٩٧٫٠٩. وبعد أن حرصنا على التأكد من أن الوحدات المستخدمة هي السنتيمتر لكل ثانية، يمكننا قول إن أقل سرعة يجب أن يقذف بها الجسم لأعلى المستوى المائل حتى يصل إلى القمة هي ٧٩٧٫٠٩ سنتيمترًا لكل ثانية.
