نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل مسائل تتضمن اتزان جسم تحت تأثير قوى مستوية متوازية. هيا نبدأ بتذكر بعض الحقائق والمصطلحات الأساسية التي نستخدمها عند التعامل مع القوى. نصف الجسم بشكل عام بأنه في حالة اتزان، عندما يكون متوازنًا. وعليه، فإننا نقول بشكل أكثر دقة إنه لكي يكون الجسم في حالة اتزان، لا بد أن يساوي مجموع القوى المؤثرة على هذا الجسم صفرًا.
وبما أن القوة يمكن أن يكون لها اتجاه ومقدار، يمكننا أيضًا القول إن المجموع الاتجاهي للقوى يساوي صفرًا. أو بدلًا من ذلك، إذا فكرنا في قوة تؤثر في اتجاهين، فيمكننا تحديد اتجاه القوة بدلالة الاتجاهين ﺱ وﺹ. ويمكننا القول إن مجموع القوى في كلا الاتجاهين يساوي صفرًا. مجموع ﻕﺱ يساوي صفرًا، ومجموع ﻕﺹ يساوي صفرًا.
وبالمثل، لكي يكون الجسم في حالة اتزان، نقول إن مجموع العزوم لا بد أن يساوي صفرًا، حيث يكون العزم هو التأثير الدوراني للقوة. الصيغة التي نستخدمها لحساب العزم هي ﻕﻝ. ﻕ هي القوة المؤثرة عند نقطة ما، في حين أن ﻝ هي المسافة العمودية من خط عمل القوة إلى النقطة التي يدور حولها الجسم. عندما نفكر في اتزان جسم جاسئ، مثل القضيب، تحت تأثير نظام من القوى، عادة ما نحتاج إلى دمج هاتين الحقيقتين معًا لمساعدتنا في إيجاد القيم المجهولة. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.
قضيب منتظم وزنه ٣٥ نيوتن يرتكز أفقيًا بطرفيه على حاملين ﺃ وﺏ؛ حيث المسافة بين الحاملين ٤٨ سنتيمترًا. إذا علق وزن مقداره ٢٤ نيوتن عند نقطة تبعد ٣٨ سنتيمترًا عن الطرف ﺃ، فأوجد رد فعل كل من الحاملين ﺭﺃ وﺭﺏ.
عندما نتعامل مع سؤال مثل هذا، قبل فعل أي شيء علينا أن نبدأ برسم مخطط جسم حر. هذا مخطط بسيط يوضح القوى الأساسية التي تؤثر على الجسم. ها هو القضيب الذي يبلغ طوله ٤٨ سنتيمترًا ويرتكز بطرفيه على الحاملين ﺃ وﺏ.
بعد ذلك، علمنا من المعطيات أن القضيب منتظم. وهذا يعني أن قوة وزنه المؤثرة لأسفل، ومقدارها ٣٥ نيوتن هنا، لا بد أن تؤثر عند نقطة تقع في منتصف القضيب بالضبط، أي تبعد مسافة ٢٤ سنتيمترًا عن كل من الطرفين. ثم لدينا قوة أخرى مؤثرة لأسفل. يوجد وزن مقداره ٢٤ نيوتن معلق عند نقطة تبعد ٣٨ سنتيمترًا عن الطرف ﺃ.
إذن، هذه هي كل المعطيات الموجودة لدينا في السؤال، لكننا لم ننته بعد من المخطط. يخبرنا قانون نيوتن الثالث للحركة، والذي ينص بشكل عام أنه لكل فعل رد فعل مساو له في المقدار ومضاد له في الاتجاه، بأنه بما أن القضيب يؤثر بقوة لأسفل على كل من الحاملين ﺃ وﺏ، فلا بد من وجود قوة رد فعل من الحاملين على القضيب. تؤثر قوتا رد الفعل هاتين عموديًا على القضيب، أي إنهما تتعامدان على القضيب. وسنطلق عليهما ﺭﺃ وﺭﺏ. والآن أصبحت لدينا كل القوى، ماذا سنفعل بعد ذلك؟
نعلم أن القضيب مرتكز على حاملين، لذا سنضع افتراضًا. وهذا الافتراض هو أن القضيب نفسه في حالة اتزان. ولكي يكون الجسم في حالة اتزان، يوجد معياران مهمان. الأول هو أن مجموع كل القوى المؤثرة على هذا الجسم يساوي صفرًا. والثاني هو أن مجموع كل العزوم يساوي صفرًا أيضًا، حيث يمكن حساب العزم، وهو التأثير الدوراني للقوة، بضرب ﻕ في ﻝ. ﻕ هي القوة التي تؤثر على نقطة ما، وﻝ هي المسافة العمودية من خط عمل هذه القوة إلى النقطة التي سيدور حولها الجسم.
لنبدأ إذن بتكوين معادلة تتضمن مجموع القوى. في هذه الحالة، تؤثر القوى في الاتجاه الرأسي فقط. لذا، سنحدد اتجاهًا موجبًا هنا. سنحدد أن الاتجاه لأعلى هو الاتجاه الموجب بحيث تؤثر كل من القوة ﺭﺃ والقوة ﺭﺏ في الاتجاه الموجب. ومن ثم، فإن القوتين اللتين مقدارهما ٣٥ و٢٤ تؤثران في الاتجاه السالب. إذن، يمكننا القول إن مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه يساوي ﺭﺃ زائد ﺭﺏ ناقص ٣٥ ناقص ٢٤. ونعلم بالطبع أن مجموع هذه القوى يجب أن يساوي صفرًا لكي يكون الجسم في حالة اتزان. سالب ٣٥ ناقص ٢٤ يساوي سالب ٥٩. إذن سنضيف ٥٩ إلى كلا طرفي هذه المعادلة. ونجد أن ﺭﺃ زائد ﺭﺏ يساوي ٥٩.
ليس لدينا شيء آخر نفعله مع مجموع القوى. لذا سننتقل إلى المعيار الثاني. وهو أن مجموع عزوم القوى يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم سنختار نقطة نحسب حولها العزوم. لا يهم أي نقطة سنختار لنحسب حولها العزوم ما دمنا ننتبه جيدًا لتحديد الاتجاه. في هذه الحالة، سنحسب العزوم حول أحد طرفي القضيب.
هيا نحسب العزوم عند النقطة ﺃ بما أننا حددنا جميع المسافات من هذه النقطة. وسنحدد أن اتجاه عكس عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب هنا. وبالطبع نعرف العزم بأنه القوة مضروبة في المسافة العمودية من خط عمل القوة إلى النقطة التي سيدور حولها الجسم.
من الجدير بالملاحظة أننا بشكل عام نحسب العزوم باستخدام وحدة النيوتن متر. لذا تقاس القوة بالنيوتن والمسافة بالمتر. لكننا في هذه المسألة نستخدم وحدتي النيوتن والسنتيمتر. ولا بأس إطلاقًا من استخدام وحدة النيوتن سنتيمتر هنا ما دمنا سنوحدها على ذلك. لنبدأ إذن بحساب عزم هذه القوة التي مقدارها ٣٥ نيوتن. إنها تحاول تحريك الجسم في اتجاه عقارب الساعة، وبالتالي فإن العزم سيكون سالبًا. وهي تؤثر عند نقطة تبعد مسافة ٢٤ سنتيمترًا عن ﺃ. ومن ثم، فإن العزم يساوي سالب ٣٥ في ٢٤.
وبما أننا نحسب العزوم من اليسار إلى اليمين، علينا الآن التعامل مع القوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن. مرة أخرى، هذه القوة تحاول تحريك الجسم في اتجاه عقارب الساعة. إذن، سيكون العزم سالبًا. حاصل ضرب القوة في المسافة هنا هو ٢٤ في ٣٨. بعد ذلك، ثمة عزم آخر علينا التفكير فيه. وهو عزم قوة رد الفعل عند ﺏ. هذه المرة، تؤثر هذه القوة في اتجاه عكس عقارب الساعة، وعليه فإن العزم سيكون موجبًا. ويساوي ﺭﺏ في المسافة من ﺃ، وتساوي ٤٨. إذن، هذا هو مجموع العزوم. وبالطبع نعرف أن الناتج يساوي صفرًا. سالب ٣٥ في ٢٤ ناقص ٢٤ في ٣٨ يساوي سالب ١٧٥٢. إذن، يمكن تبسيط المعادلة كما هو موضح.
يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭﺏ بإضافة ١٧٥٢ إلى كلا الطرفين. إذن، ٤٨ﺭﺏ يساوي ١٧٥٢. وأخيرًا، نقسم الطرفين على ٤٨. ١٧٥٢ على ٤٨ يساوي ٣٦٫٥. إذن، يمكننا القول إن القوة ﺭﺏ تساوي ٣٦٫٥ نيوتن. ما زلنا بحاجة إلى حساب قيمة ﺭﺃ. لذا سنفرغ بعض المساحة ونعود إلى هذه المعادلة هنا. ﺭﺃ زائد ﺭﺏ يساوي ٥٩. يمكننا الآن التعويض عن ﺭﺏ بـ ٣٦٫٥. وهكذا، تصبح المعادلة هي ﺭﺃ زائد ٣٦٫٥ يساوي ٥٩. هيا نوجد قيمة ﺭﺃ بطرح ٣٦٫٥ من كلا الطرفين. وعليه، ﺭﺃ يساوي ٥٩ ناقص ٣٦٫٥، وهو ما يساوي ٢٢٫٥. بذلك نكون قد حسبنا قوتي رد فعل الحاملين. القوة ﺭﺃ تساوي ٢٢٫٥ نيوتن، والقوة ﺭﺏ تساوي ٣٦٫٥ نيوتن.
إذن، رأينا أنه بالنظر إلى كل من القوى والعزوم المؤثرة على الجسم، يمكننا تكوين نظام من المعادلات الخطية وحلها لإيجاد القوى المجهولة. يمكننا أيضًا استخدام هذه العملية لإيجاد المعلومات المجهولة الأخرى، مثل طول القضيب. لنلق نظرة على مثال على هذا.
في هذا الشكل، تؤثر قوى مقاديرها ٦١، ٤٣، ١٠٠، ﻕ نيوتن على قضيب خفيف، والقضيب في حالة اتزان أفقي. أوجد طول القطعة المستقيمة ﺩﺃ ومقدار ﻕ.
مفتاح حل هذا السؤال هو أن القضيب في حالة اتزان. فما الذي يعنيه هذا؟ حسنًا، هذا يعني أمرين. أولًا، أن مجموع كل القوى المؤثرة على القضيب يساوي صفرًا. في هذه الحالة، سنتناول مجموع القوى المؤثرة في اتجاه رأسي. وثانيًا، هذا يعني أيضًا أن مجموع عزوم القوى يساوي صفرًا، حيث نحسب قيمة العزم بضرب القوة المؤثرة على نقطة ما في المسافة العمودية من خط عمل هذه القوة إلى النقطة التي يدور حولها الجسم.
لنبدأ إذن بالنظر إلى مجموع القوى المؤثرة في الشكل. دعونا نحدد أن الاتجاه لأعلى هو الاتجاه الموجب، وهكذا تكون ﻕ قوة مؤثرة في الاتجاه الموجب، في حين تؤثر القوى التي مقاديرها ٦١ و٤٣ و١٠٠ في الاتجاه السالب. إذن، يمكننا القول إن مجموع القوى يساوي ﻕ ناقص ٦١ ناقص ٤٣ ناقص ١٠٠. وبالطبع نعرف أن مجموعها يساوي صفرًا.
ويبسط التعبير الموجود في الطرف الأيمن إلى ﻕ ناقص ٢٠٤. وعليه، ﻕ ناقص ٢٠٤ يساوي صفرًا. سنوجد قيمة ﻕ بإضافة ٢٠٤ إلى كلا الطرفين. إذن، ﻕ يساوي ٢٠٤ أو ٢٠٤ نيوتن. بذلك نكون قد حسبنا قيمة ﻕ واستخدمنا مجموع القوى بكل ما في وسعنا. والآن، لننتقل إلى المعيار الثاني. مجموع عزوم القوى يساوي صفرًا.
لقد حددنا أن هذا الاتجاه هو الاتجاه الموجب. وهو عكس اتجاه عقارب الساعة. ونعرف أن العزم يحسب بضرب القوة في المسافة العمودية لهذه القوة من النقطة التي يدور حولها الجسم. لدينا هنا قيم بعض المسافات، لكن توجد قيمة مسافة مجهولة.
لنعرف المسافة بين ﺃ وﺩ، أي طول القطعة المستقيمة ﺩﺃ الذي علينا إيجاده، بأنها ﺱ سنتيمتر. وبمجرد أن نعرف طول ﺩﺃ، يمكننا اختيار نقطة لنحسب العزوم حولها. يمكن أن نختار أي نقطة على القضيب. سنختار النقطة ﺩ هنا. وقد اخترنا النقطة ﺩ لأن القوة ﻕ تؤثر عند هذه النقطة. وحتى إن لم نكن قد حسبنا قيمة ﻕ بعد، فلا يزال بإمكاننا حساب العزوم حول هذه النقطة لأن عزم ﻕ يساوي صفرًا.
وجدير بالذكر أيضًا أننا بوجه عام نستخدم وحدة النيوتن متر عند حساب العزوم. لكن الأبعاد هنا بوحدة السنتيمتر. لذا، سنستخدم النيوتن سنتيمتر. وهذا مقبول تمامًا ما دمنا سنوحدها على ذلك. دعونا نوجد عزم القوة التي تبلغ ٦١ نيوتن. تحاول هذه القوة تحريك الجسم في عكس اتجاه عقارب الساعة. لذا، سيكون عزمها موجبًا. وهي تبعد ١٠٠ سنتيمتر من النقطة ﺩ؛ إذن، العزم يساوي ٦١ في ١٠٠.
وبالانتقال من اليسار إلى اليمين، سنتناول الآن القوة المؤثرة عند النقطة ﺟ. مرة أخرى، إنها تحاول تحريك الجسم في عكس اتجاه عقارب الساعة. إذن، عزمها موجب. لكنه يساوي ٤٣ في ٥٠. وكما قلنا، القوة ﻕ تبعد مسافة مقدارها صفر سنتيمتر عن ﺩ. لذا، لا داعي للقلق بشأن عزمها. وبدلًا من ذلك، ننتقل إلى القوة المؤثرة عند النقطة ﺃ.
هذه القوة تحاول تحريك الجسم في اتجاه عقارب الساعة. لذا، سيكون عزمها سالبًا. ويساوي ١٠٠ في المسافة من ﺩ، أي في ﺱ. ونعلم بالطبع أن مجموع هذه العزوم يساوي صفرًا. لذا يمكننا تكوين معادلة بدلالة ﺱ. يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى ٨٢٥٠ ناقص ١٠٠ﺱ يساوي صفرًا. ثم نضيف ١٠٠ﺱ إلى كلا الطرفين، وأخيرًا نقسم الطرفين على ١٠٠. إذن، ﺱ يساوي ٨٢٫٥. ونلاحظ أن طول القطعة المستقيمة ﺩﺃ يساوي ٨٢٫٥ سنتيمترًا.
في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا استخدام المعلومات المعطاة حول جسم في حالة اتزان، وكذلك استخدام حدسنا قليلًا لحل المسائل التي يكون فيها القضيب على وشك الدوران.
طول القضيب ﺃﺏ يساوي ١١١ سنتيمترًا، ووزنه ٩٥ نيوتن يؤثر على نقطة منتصفه. يرتكز القضيب أفقيًا على دعامتين؛ إحداهما عند طرفه ﺃ والأخرى عند النقطة ﺟ، التي تبعد بمقدار ٣٠ سنتيمترًا عن ﺏ. علق وزن مقداره ٧١ نيوتن في القضيب عند نقطة تبعد تسعة سنتيمترات عن ﺏ. أوجد مقدار الوزن ﻭ اللازم تعليقه في الطرف ﺏ حتى يصبح القضيب على وشك الدوران، واحسب مقدار الضغط ﺽ المبذول على ﺟ في هذه الحالة.
هيا نبدأ برسم مخطط جسم حر يوضح هذه الحالة. هذا هو القضيب. تؤثر قوة وزنه لأسفل عند نقطة منتصفه. أي إنها تبعد مسافة ٥٥٫٥ سنتيمترًا عن كلا الطرفين. لدينا أيضًا قوة مقدارها ٧١ نيوتن. وتؤثر لأسفل عند نقطة تبعد تسعة سنتيمترات عن ﺏ. علينا إضافة وزن ﻭ عند النقطة ﺏ. نضيف ذلك إلى الشكل وكذلك نضيف قوتين أخريين. وهما قوتا رد فعل الدعامتين على القضيب. وسنطلق عليهما ﺭﺃ وﺭﺏ، على الترتيب.
القضيب على وشك الدوران، أي إنه في حالة اتزان نهائي. إذن، يمكننا قول حقيقتين. أولًا، مجموع كل القوى المؤثرة على الجسم يساوي صفرًا. وثانيًا، مجموع العزوم يساوي صفرًا أيضًا. سنبدأ إذن بالنظر إلى مجموع القوى. سنعتبر أن اتجاه تأثير قوتي رد الفعل موجب.
وهذا يعني أن القوى التي مقاديرها ٩٥ نيوتن، و٧١ نيوتن، وقوة الوزن ﻭ؛ تؤثر في الاتجاه المعاكس. ومن ثم، يمكننا القول إن مجموع القوى، الذي نعرف أنه يساوي صفرًا، هو ﺭﺃ زائد ﺭﺟ ناقص ٩٥ ناقص ٧١ ناقص ﻭ يساوي صفرًا. وإذا أضفنا ٩٥ و٧١ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺭﺃ زائد ﺭﺟ ناقص ﻭ يساوي ١٦٦.
ليس لدينا شيء آخر لنفعله هنا. ومن ثم، ننتقل إلى المعلومة التالية. وهي أن مجموع عزوم القوى يساوي صفرًا أيضًا. هيا نفرغ بعض المساحة ونحدد نقطة لنحسب العزوم حولها.
بما أن لدينا قوة مجهولة ﻭ عند ﺏ، دعونا نحسب العزوم حول ﺏ. وبالطبع يمكن أن نحدد أن الاتجاه سيكون موجبًا. هذه المرة، دعونا نختر عكس اتجاه عقارب الساعة. نبدأ بالتفكير في قوة رد الفعل عند ﺃ. نعلم أنها تحاول تحريك الجسم في اتجاه عقارب الساعة. إذن، سيكون عزمها سالبًا. ويساوي سالب ﺭﺃ في ١١١.
يؤثر عزم قوة الوزن في عكس اتجاه عقارب الساعة، لذا فهو موجب. ويساوي ٩٥ في ٥٥٫٥. بعد ذلك، لدينا سالب ﺭﺟ في ٣٠. وهو عزم قوة رد الفعل عند ﺟ. ثم لدينا ٧١ في تسعة. وهو عزم القوة التي مقدارها ٧١ نيوتن. ومجموع هذه العزوم، الذي نقيسه بالطبع بوحدة النيوتن سنتيمتر هنا، يساوي صفرًا. ويمكن تبسيط هذا كما هو موضح.
والآن، ثمة معلومة واحدة لم نستخدمها بعد. وهي أن القضيب على وشك الدوران. بما أننا نضيف وزنًا عند ﺏ، فإن الجسم سيدور حول ﺟ. وهذا يعني أنه، عند هذه اللحظة بالتحديد، لن يكون للقضيب أي قوة مؤثرة لأسفل عند النقطة ﺃ. وبالمثل، فإن قوة رد الفعل عند ﺃ لا بد أن تساوي صفرًا. وهكذا، يمكننا إعادة كتابة المعادلة بجعل ﺭﺃ يساوي صفرًا. وسنحلها بإضافة ٣٠ﺭﺟ إلى كلا الطرفين. إذن، ٣٠ﺭﺟ يساوي ٥٩١١٫٥. وعندما نقسم طرفي المعادلة على ٣٠، نجد أن ﺭﺟ يساوي ١٩٧٫٥. لكن كيف يساعدنا ذلك؟
إننا نحاول إيجاد قيمة الضغط ﺽ. لكن الضغط هو مقدار القوة المؤثرة على منطقة ما. إذن، بما أن هذه القوة تؤثر على نقطة ما، يمكننا القول إن ﺭﺟ لا بد أن يساوي ﺽ. وبذلك، ﺽ يساوي ١٩٧٫٠٥ نيوتن. هيا نفرغ بعض المساحة ونستخدم هذه المعلومات في المعادلة الأولى هنا. باستخدام حقيقة أن ﺭﺃ يساوي صفرًا وﺭﺟ يساوي ١٩٧٫٠٥، تصبح المعادلة كما هو موضح. نضيف ﻭ إلى كلا الطرفين، ثم نطرح ١٦٦. وبذلك، نحصل على ﻭ يساوي ٣١٫٠٥ أو ٣١٫٠٥ نيوتن.
سنراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، رأينا أنه إذا كان الجسم في حالة اتزان، فيمكننا القول إن مجموع كل القوى المؤثرة على هذا الجسم يجب أن يساوي صفرًا. وبما أن القوة لها اتجاه ومقدار أيضًا، فإننا نحدد اتجاه هذه القوى ونقول إن مجموع القوى في كلا الاتجاهين يساوي صفرًا. ويمكننا القول أيضًا إن مجموع العزوم يجب أن يساوي صفرًا. رأينا أنه يمكننا استخدام القوى والعزوم، التي تؤثر على الجسم، لتساعدنا في تكوين نظام من المعادلات الخطية التي يمكننا حلها لإيجاد القيم المجهولة.
