فيديو السؤال: إيجاد المسافات بين النقاط والخطوط المستقيمة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﻡ خط مستقيم يمر بالنقطة سبعة، خمسة، خمسة في اتجاه المتجه اثنين، أربعة، سالب تسعة. أوجد المسافة بين ﻡ والنقطة اثنين، ستة، ستة لأقرب جزء من مائة.

حسنًا، في هذا المثال لدينا هذا الخط المستقيم ﻡ. ونعلم أن هذا المستقيم يمر بالنقطة سبعة، خمسة، خمسة، وأنه مواز لمتجه سنسميه ﻫ؛ حيث مركبات المتجه ﻫ هي اثنان، أربعة، سالب تسعة. بمعلومية ذلك، وبالإضافة إلى إحداثيات نقطة في الفضاء سنسميها ﺃ، نريد إيجاد المسافة العمودية بين هذه النقطة المعطاة والخط المستقيم. وسنسمي هذه المسافة ﻑ.

لكي نبدأ ذلك، يمكننا أن نتذكر أنه، بوجه عام، إذا كان لدينا نقطة في الفضاء وهي ﺃ ﻫ، ونقطة على مستقيم وهي ﺃ ﻡ، ومتجه مواز لهذا المستقيم وهو ﻫ، فإن البعد العمودي بين هذا المستقيم والنقطة في الفضاء ﻑ معطى بهذا التعبير. نلاحظ أن هذا يتضمن المتجه ﻫ، أي المتجه الذي يوازي المستقيم موضع الاهتمام، وكذلك متجه يسمى ﺃ ﻫ ﺃ ﻡ. هذا يعني أن هذا متجه يمتد من النقطة في الفضاء إلى النقطة التي تقع على المستقيم.

إذا رسمنا هذا المتجه، بناء على المعلومات المعطاة في هذه الحالة، فسيبدو المتجه هكذا. يمكننا أن نسمي هذا المتجه ﺃﻡ. فهو يمتد من النقطة إلى المستقيم. وفيما يتعلق بمركبات ﺃﻡ، فإنه يساوي الصورة المتجهة للفرق بين النقطة التي تقع على المستقيم والنقطة في الفضاء. بإجراء هذا الطرح، نحصل على خمسة، سالب واحد، سالب واحد.

بمعلومية ذلك، فإن الخطوة التالية وفقًا لمعادلة ﻑ هي الضرب الاتجاهي لهذا المتجه في متجه مواز للمستقيم. وهذا يعني أننا نريد حساب ﺃﻡ ضرب اتجاهي ﻫ، حيث ﻫ هو هذا المتجه المعطى. حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة.

لاحظ أنه في الصف الأول، لدينا متجهات وحدة ﺱ وﺹ وﻉ. وفي الصف الثاني والصف الثالث، لدينا المركبات المناظرة للمتجهين ﺃﻡ وﻫ، على الترتيب. بدءًا بالمركبة ﺱ، فإن مقدارها يساوي محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. سالب واحد في سالب تسعة ناقص سالب واحد في أربعة يساوي ١٣. بالنسبة إلى المركبة ﺹ، لدينا سالب محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، حيث خمسة في سالب تسعة ناقص سالب واحد في اثنين يساوي سالب ٤٣. وأخيرًا، المركبة ﻉ، وهي خمسة في أربعة ناقص سالب واحد في اثنين تساوي ٢٢. إذن، هذا هو حاصل الضرب الاتجاهي. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة ١٣، ٤٣، ٢٢ بترميز المتجه.

الآن بعد أن حسبنا ﺃﻡ ضرب اتجاهي ﻫ، يمكننا الآن حساب معيار هذا المتجه وقسمته على معيار المتجه ﻫ. في البسط، لدينا معيار ﺃﻡ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٣ تربيع زائد ٤٣ تربيع زائد ٢٢ تربيع، في حين أنه في المقام، لدينا معيار ﻫ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد أربعة تربيع زائد سالب تسعة تربيع. بإدخال هذا التعبير بالكامل على الآلة الحاسبة، والتقريب لأقرب جزء من مائة، نحصل على ٤٫٩٨.

بما أننا حسبنا المسافة، فستكون هذه القيمة بوحدات ما. وبما أننا لا نعرفها تحديدًا، فسنكتب إجابتنا على صورة ٤٫٩٨ وحدات طول.