فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية المركزية لقوس بمعلومية محيط القطاع الدائري، ونصف قطر الدائرة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

نصف قطر دائرة في قطاع دائري يساوي ٤٠ سنتيمترًا، ومحيطه يساوي ١٠٦ سنتيمترات. أوجد قياس الزاوية المركزية بالدرجات لأقرب ثانية، وبالراديان لأقرب منزلة عشرية واحدة.

دعونا نبدأ باسترجاع تعريف القطاع. هو جزء من الدائرة محصور بقوس ونصفي قطرين، يصلان طرفي هذا القوس بمركز الدائرة. أي يبدو بهذا الشكل. لدينا القوس ثم نصفا القطرين. عرفنا من السؤال أن طول نصف قطر هذه الدائرة يساوي ٤٠ سنتيمترًا، وأن محيط هذا القطاع، وهو المسافة حول إطاره، يساوي ١٠٦ سنتيمترات. نحن لا نعلم قياس الزاوية المركزية لهذا القطاع. وهو قياس الزاوية المحصورة بين نصفي القطرين. وهو ما علينا حسابه بالدرجات وبالراديان.

دعونا نتناول حل هذه المسألة بالدرجات أولًا. نتذكر أن محيط هذا القطاع هو المسافة حول إطاره. ومن ثم، إذا بدأنا من مركز الدائرة، فسنحسب طول نصف قطر الدائرة، ثم طول القوس الذي يرمز له عادة بالرمز ﻝ، ثم طول نصف قطر الدائرة مرة أخرى. إذن، الصيغة التي يمكننا استخدامها لحساب محيط هذا القطاع هي ضعف نصف القطر زائد ﻝ، وهو طول القوس. يمكن إيجاد طول القوس باستخدام الصيغة اثنين ‏𝜋‏نق𝜃 على ٣٦٠. نحصل على ذلك من ضرب محيط الدائرة بالكامل، أي اثنين ‏𝜋‏نق، في الكسر 𝜃 على ٣٦٠؛ لأن القوس هو جزء فقط من المحيط بالكامل.

يمكن تحليل هذه الصيغة بإخراج العامل المشترك اثنين نق لنحصل على اثنين نق مضروبًا في واحد زائد ‏𝜋‏𝜃 على ٣٦٠. يمكننا استخدام هذه الصيغة لتكوين معادلة؛ لأننا نعلم قيمة محيط هذا القطاع ونعلم طول نصف قطره أيضًا. إذن، بالتعويض بقيمة ١٠٦ عن المحيط وبقيمة ٤٠ عن نصف القطر نق، يصبح لدينا ١٠٦ يساوي اثنين مضروبًا في ٤٠ الكل مضروب في واحد زائد ‏𝜋‏𝜃 على ٣٦٠. يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. اثنان مضروبًا في ٤٠ يساوي ٨٠. ثم يمكننا قسمة طرفي المعادلة على هذه القيمة لنحصل على ١٠٦ على ٨٠، وهو ما يساوي واحدًا زائد ‏𝜋‏𝜃 على ٣٦٠.

يمكننا بعد ذلك طرح واحد أو ٨٠ على ٨٠ من الطرفين لنحصل على ١٠٦ على ٨٠ ناقص ٨٠ على ٨٠ يساوي ‏𝜋‏𝜃 على ٣٦٠. ‏١٠٦ على ٨٠ ناقص ٨٠ على ٨٠ يساوي ٢٦ على ٨٠. يمكننا أيضًا تبسيط الطرف الأيمن بحذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. إذن، نحصل على ١٣ على ٤٠ يساوي ‏𝜋‏𝜃 على ٣٦٠. لإيجاد قيمة 𝜃، علينا قسمة طرفي المعادلة على ‏𝜋‏ على ٣٦٠، الذي يكافئ ضرب الطرفين في مقلوبه ٣٦٠ على ‏𝜋‏. إذن، لدينا 𝜃 يساوي ١٣ على ٤٠ مضروبًا في ٣٦٠ على ‏𝜋‏. يمكننا الآن إيجاد قيمة ذلك أو نحذف أولًا العامل المشترك ٤٠ تبادليًّا من البسط والمقام لنحصل على ١٣ على واحد مضروبًا في تسعة على ‏𝜋‏. هذا يساوي ١١٧ على ‏𝜋‏. ثم بإيجاد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٧٫٢٤٢٢ وهكذا مع توالي الأرقام.

لدينا الآن القيمة بالدرجات. وفي هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الناتج بالدرجات لأقرب ثانية. إذن، لدينا هذه القيمة ٣٧ درجة، ثم بعد ذلك العدد العشري ٠٫٢٤٢٢ وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما علينا تحويله إلى دقائق وثوان. يمكننا أن نتذكر أن الدرجة الواحدة تكافئ ٦٠ دقيقة. ومن ثم، بضرب هذا العدد العشري في ٦٠ نحصل على ١٤٫٥٣٥ وهكذا مع توالي الأرقام. إذن، لدينا ١٤ دقيقة كاملة، والعدد العشري ٠٫٥٣٥ وهكذا مع توالي الارقام الذي علينا تحويله إلى ثوان. حسنًا، الدقيقة الواحدة تكافئ ٦٠ ثانية. إذن، بضرب هذا العدد العشري في ٦٠ نحصل على ٣٢٫١٢٤ وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ٣٢ لأقرب عدد صحيح. إذن، نحصل على ٣٧ درجة و١٤ دقيقة و٣٢ ثانية. وبذلك، نحصل على ناتج قياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجات لأقرب ثانية.

مطلوب منا في السؤال أيضًا إيجاد الإجابة بالراديان لأقرب منزلة عشرية. يمكننا الآن تحويل هذه القيمة من الدرجات والدقائق والثواني إلى الراديان عن طريق تذكر العلاقة بين القياسين. لكن دعونا نوضح أيضًا كيف يمكننا حل هذه المسألة إذا استخدمنا الراديان في البداية. حسنًا، ما زال يمكننا إيجاد محيط القطاع باعتباره يساوي ضعف نصف القطر زائد طول القوس ﻝ. لكن هناك صيغة أخرى لإيجاد طول القوس عند استخدام الراديان. بالنسبة إلى أي قطاع نصف قطره نق من الوحدات وزاويته المركزية 𝜃 مقيسة بالراديان، فإن طول القوس يساوي نق𝜃. إذن، صيغة المحيط تساوي اثنين نق زائد نق𝜃، والتي يمكننا تحليلها على صورة نق مضروبًا في اثنين زائد 𝜃.

إذن، يمكننا تكوين معادلة أبسط كثيرًا لإيجاد القيمة بالراديان. بالتعويض عن نصف القطر بـ نق وعن المحيط بـ ١٠٦، يصبح لدينا ٤٠ مضروبًا في اثنين زائد 𝜃 يساوي ١٠٦. بقسمة الطرفين على ٤٠، نحصل على اثنان زائد 𝜃 يساوي ١٠٦ على ٤٠. إذن، 𝜃 يساوي ١٠٦ على ٤٠ ناقص اثنين. أي ١٠٦ على ٤٠ ناقص ٨٠ على ٤٠، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٢٦ على ٤٠ أو ١٣ على ٢٠. وهذا يساوي ٠٫٦٥ بالضبط. لكن بما أنه مطلوب منا في السؤال تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية واحدة، فإننا سنقربه للأعلى ليكون ٠٫٧. وبذلك، نكون قد حصلنا على الناتج بالدرجات وبالراديان. لكن دعونا نتحقق من أن هاتين القيمتين متساويتان بالفعل.

نعلم أن ‏𝜋‏ راديان يكافئ ١٨٠ درجة. إذن، الدرجة الواحدة تكافئ ‏𝜋‏ على ١٨٠ راديان. إذا أخذنا الناتج بالدرجات في هذه المرحلة هنا، أي ١١٧ على ‏𝜋‏، وضربناه في ‏𝜋‏ على ١٨٠، فسنحوله من الدرجات إلى الراديان. سنحذف العامل المشترك ‏𝜋‏ من البسط والمقام، لنحصل على ١١٧ على ١٨٠. يمكننا تبسيط ذلك إلى ١٣ على ٢٠، وهو ما يساوي القيمة الدقيقة لـ 𝜃 بالراديان.

إذن، إجابة هذه المسألة هي أن قياس الزاوية المركزية بالدرجات لأقرب ثانية هو ٣٧ درجة و١٤ دقيقة و٣٢ ثانية، وبالراديان لأقرب منزلة عشرية واحدة هو ٠٫٧ راديان.