فيديو الدرس: المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستنتج المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما بيانيًا ونستخدمها لإيجاد قيم مثلثية. استخدمت المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما في الرياضيات طيلة قرون لحل مسائل واقعية. فقد استخدم اليونانيون القدماء هذه الصيغ لحل مسائل علم الفلك، مثل المسافة من الأرض إلى الشمس. قبل أن نحاول أن نستنتج بعض هذه المتطابقات أو نستخدمها لحل المسائل، دعونا نذكر أنفسنا بماهية المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما. في المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين، لدينا جا ﺃ زائد ﺏ يساوي جا ﺃ في جتا ﺏ زائد جتا ﺃ في جا ﺏ. وجتا ﺃ زائد ﺏ يساوي جتا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جا ﺃ في جا ﺏ. وأخيرًا، ظا ﺃ زائد ﺏ يساوي ظا ﺃ زائد ظا ﺏ الكل على واحد ناقص ظا ﺃ في ظا ﺏ.

لاحظ هنا أن المتغيرين ﺃ وﺏ يمكن أن يمثلا أي قياس لزاويتين، وسيتحقق هذا عندما نستخدم الراديان أو الدرجات. في بعض المواضع، قد ترى قياسات الزوايا هذه ممثلة بالمتغيرين ﺱ وﺹ أو حتى بالحرفين اليونانيين 𝛼 و𝛽. نستخدم متطابقة مجموع الزاويتين عندما نريد تقسيم زاوية أكبر إلى زاويتين أصغر. عمومًا، نعرف بالفعل قيمتي الجيب وجيب التمام للزاويتين الأصغر؛ مما يساعدنا في حساب قيمة الجيب، أو جيب التمام، أو الظل للزاوية ذات القياس الأكبر. لذا نعرف أن جا ﺃ ناقص ﺏ يساوي جا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جتا ﺃ في جا ﺏ. وجتا ﺃ ناقص ﺏ يساوي جتا ﺃ في جتا ﺏ زائد جا ﺃ في جا ﺏ. وظا ﺃ ناقص ﺏ يساوي ظا ﺃ ناقص ظا ﺏ، الكل على واحد زائد ظا ﺃ في ظا ﺏ.

والآن، سنتناول متطابقة مجموع الزاويتين الأولى هذه ونستخلص برهانًا هندسيًا يثبت صحتها. لإثبات أن جا ﺃ زائد ﺏ يساوي جا ﺃ في جتا ﺏ زائد جتا ﺃ في جا ﺏ، يمكننا استخدام ما نعرفه عن المثلثات القائمة الزاوية. لنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية ونعلم أن قياس إحدى زواياه ﺏ درجة. ويوجد أعلى هذا المثلث مباشرة المثلث القائم الزاوية ﺩﺟﺱ، والذي قياس إحدى زواياه هو ﺃ درجة. ومن خلال رسم مستقيم عمودي من ﺩ إلى المستقيم ﺱﺹ، نكون قد كونا مثلثًا ثالثًا قائم الزاوية، وهذا المثلث الثالث القائم الزاوية يضم الزاوية ﺃ زائد ﺏ.

إذن، يمكننا استخدام هذا الشكل لاستخلاص برهان هندسي. لنفترض أن المسافة من ﺱ إلى ﺩ تساوي واحدًا. في هذا الشكل، ما قيمة جا ﺃ زائد ﺏ؟ نلاحظ أن تلك الزاوية تقع داخل المثلث ﺩﻭﺱ. نعلم أنه في المثلث القائم الزاوية، جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. إذن جا ﺃ زائد ﺏ سيساوي طول الضلع ﺩﻭ على واحد. في هذا الشكل، يمكن تقسيم ﺩﻭ إلى قطعتين أصغر. إذا سمينا هذه النقطة ﻫ، فيمكن القول إن ﺩﻭ يساوي ﺩﻫ زائد ﻫﻭ.

والآن، نريد معرفة ما إذا يمكننا إيجاد جيب أو جيب تمام الزاوية ﺃ وجيب أو جيب تمام الزاوية ﺏ. إذا نظرنا إلى المثلث القائم الزاوية الذي يتضمن الزاوية ﺃ، فسنرى أن طول الوتر به يساوي واحدًا؛ وهو ما يعني أن جيب الزاوية ﺃ سيساوي طول الضلع المقابل ﺩﺟ على واحد، وهو ما يبسط إلى ﺩﺟ. ويمكننا الإشارة إلى طول هذا الضلع بـ جا ﺃ. وبالمثل، بالنسبة إلى جتا ﺃ، نعلم أن جيب تمام أي زاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. سيكون ذلك هنا عبارة عن طول الضلع ﺱﺟ على واحد، وهو ما يبسط إلى ﺱﺟ. لذا، يمكننا الإشارة إلى طول ذلك الضلع بـ جتا ﺃ.

سنتناول الآن المثلث القائم الزاوية الذي يحتوي على الزاوية ﺏ. ولإيجاد جيب الزاوية ﺏ، نقسم طول الضلع المقابل، أي ﺟﺹ، على طول الوتر، والذي يساوي هنا جتا الزاوية ﺃ. وهنا، ندرك شيئًا يسترعي الاهتمام. لدينا معادلة بها الحدان؛ جتا ﺃ وجا ﺏ. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بضرب الطرفين في جتا ﺃ. ومن ثم، نجد أن طول القطعة المستقيمة ﺟﺹ يساوي جتا ﺃ في جا ﺏ. نعرف بالفعل أن جا ﺃ زائد ﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺩﻫ زائد طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ. وها نحن نذكر الآن أن جتا ﺃ في جا ﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺟﺹ. لكن السؤال الذي نريد أن نطرحه هو هل يمكننا أن نوجد علاقة تربط بين طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ وطول القطعة المستقيمة ﺟﺹ؟

إذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أن القطعة المستقيمة ﺟﺹ والقطعة المستقيمة ﻫﻭ تقعان داخل مستطيل، وهما ضلعان متقابلان. هذا يعني أن القطعة المستقيمة ﺟﺹ متساوية في الطول مع القطعة المستقيمة ﻫﻭ. ويمكننا التعويض بهذه القيمة محل جتا ﺃ في جا ﺏ. أصبح لدينا الآن طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ في كلا طرفي هذه المعادلة. وهذا يعني أننا نريد طرح السؤال التالي: هل يمكننا إيجاد علاقة تربط بين جا ﺃ في جتا ﺏ وطول القطعة المستقيمة ﺩﻫ؟ القطعة المستقيمة ﺩﻫ تقع هنا. وإذا لاحظنا أن القطعة المستقيمة ﻫﺟ والقطعة المستقيمة ﺱﺹ متوازيتان، وأن القاطع ﺱﺟ يقطعهما؛ فهذا يعني أنه يمكن أن نقول إن قياس هذه الزاوية يساوي قياس الزاوية ﺏ. وعليه، فإن قياس هذه الزاوية يساوي ٩٠ ناقص ﺏ. إذن، قياس هذه الزاوية يساوي قياس الزاوية ﺏ أيضًا.

وباستخدام هذه الزاوية بحيث تمثل الزاوية ﺏ، يمكننا استنتاج أن جيب تمام الزاوية ﺏ يساوي طول الضلع المجاور ﺩﻫ على طول الوتر، أي جيب الزاوية ﺃ. إذن، لدينا جتا ﺏ يساوي ﺩﻫ على جا ﺃ. وإذا ضربنا كلا طرفي هذه المعادلة في جا ﺃ، فسنجد أن القطعة المستقيمة ﺩﻫ تساوي جا ﺃ في جتا ﺏ. إذا عوضنا عن جا ﺃ في جتا ﺏ بطول القطعة المستقيمة ﺩﻫ، فسنكون قد أوضحنا أنه في هذا الشكل، جا ﺃ زائد ﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺩﻫ زائد طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ. وأن جا ﺃ في جتا ﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺩﻫ. وأن جتا ﺃ في جا ﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ. ومن ثم، فإن طول القطعة المستقيمة ﺩﻫ زائد طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺩﻫ زائد طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ.

يمكن أيضًا استخدام هذا الشكل لاستنتاج متطابقة جتا ﺃ زائد ﺏ، ثم لإيجاد ظا ﺃ زائد ﺏ. لكن يمكنك إجراء ذلك في وقت لاحق. الآن، لنلق نظرة على بعض الأمثلة على استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما. لحل مسائل متطابقات مجموع الزاويتين والفرق بينهما، سيتعين علينا غالبًا التعرف على الأنماط و/أو إعادة ترتيب المعادلات. هيا إذن نتناول أول مثال على ذلك.

بسط جتا اثنين ﺱ في جتا ٢٢ﺱ ناقص جا اثنين ﺱ في جا ٢٢ﺱ.

عندما ننظر إلى هذا المقدار، نجد أن لدينا الزاوية اثنين ﺱ والزاوية ٢٢ﺱ. لدينا جتا وجا الزاوية اثنين ﺱ، ولدينا جتا وجا الزاوية ٢٢ﺱ؛ مما يعني أن لدينا مقدارًا على الصورة جتا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جا ﺃ في جا ﺏ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار باستخدام إحدى متطابقات مجموع زاويتين. نعرف أن جتا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جا ﺃ في جا ﺏ يساوي جتا ﺃ زائد ﺏ. في هذه الحالة، الزاوية ﺃ تساوي اثنين ﺱ والزاوية ﺏ تساوي ٢٢ﺱ؛ ما يجعل هذا المقدار يساوي جتا اثنين ﺱ زائد ٢٢ﺱ، أي جتا ٢٤ﺱ. ومن ثم، فإن الصورة المبسطة لهذا المقدار هي جتا ٢٤ﺱ.

والآن، نحن جاهزون لنتناول مثالًا آخر.

إذا كان جا ٦٠ درجة في جتا ٣٠ درجة ناقص جتا ٦٠ درجة في جا ٣٠ درجة يساوي جا 𝜃 درجة، فأوجد قيمة 𝜃 بالدرجات.

عندما ننظر إلى هذه المعادلة، نلاحظ أننا نتعامل مع زاويتين قياسهما ٦٠ درجة وزاويتين قياسهما ٣٠ درجة. وهذا من شأنه أن يذكرنا بإحدى متطابقات مجموع زاويتين أو الفرق بينهما. وهي تلك التي تنص على أن جا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جتا ﺃ في جا ﺏ يساوي جا ﺃ ناقص ﺏ. إذا افترضنا أن ﺃ يساوي ٦٠ درجة وﺏ يساوي ٣٠ درجة، فيمكننا كتابة الزاوية 𝜃 بدلالة ﺃ وﺏ. وهكذا، فإن 𝜃 تساوي ﺃ ناقص ﺏ. إذن، 𝜃 تساوي ٦٠ درجة ناقص ٣٠ درجة، أي تساوي ٣٠ درجة. إذن، باستخدام متطابقة الفرق بين زاويتين، يمكننا استنتاج أن 𝜃 هنا تساوي ٣٠ درجة.

في المثال التالي، لدينا قيمتا جيب التمام لزاويتين أصغر، ومطلوب إيجاد قيمة مجموع جيب تمامهما.

أوجد جتا ﺃ زائد ﺏ إذا كان جتا ﺃ يساوي ١٥ على ١٧ وجتا ﺏ يساوي خمسة على ١٣، حيث ﺃ وﺏ زاويتان حادتان.

عندما نرى جتا ﺃ زائد ﺏ على هذه الصورة، ينبغي أن نتذكر متطابقات مجموع زاويتين. نعرف أن جتا ﺃ زائد ﺏ يساوي جتا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جا ﺃ في جا ﺏ. لدينا معطيات كافية عن الحد الأول بما أن لدينا قيمتي جتا ﺃ وجتا ﺏ بالفعل. حسنًا، كيف يمكننا إذن إيجاد قيمتي جا ﺃ وجا ﺏ إذا عرفنا نسبتي جيب التمام لهما؟ إنهما زاويتان حادتان. لذا، تتمثل إحدى طرق إيجاد جا ﺃ وجا ﺏ في تكوين مثلثين قائمي الزاوية بهاتين النسبتين.

أولًا، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية فيه الزاوية ﺃ. نعلم أن علاقة جيب تمام الزاوية تساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. ومن ثم، سيكون طول الضلع المجاور لـ ﺃ هو ١٥ وطول الوتر هو ١٧. لإيجاد علاقة الجيب، علينا معرفة طول الضلع المقابل، وهذا يعني أننا سنحتاج إلى استخدام نظرية فيثاغورس. سنشير إلى الضلع المجهول طوله برمز ﺃ شرطة. ومن ثم، سيكون لدينا ١٧ تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ١٥ تربيع، وهو ما يعطينا أن ٢٨٩ يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ٢٢٥. لعزل ﺃ شرطة في طرف بمفرده، سنطرح ٢٢٥ من كلا الطرفين، وبهذا نحصل على ٦٤ يساوي ﺃ شرطة تربيع. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن ﺃ شرطة يساوي ثمانية.

ما يعنينا فقط هو الجذر التربيعي الموجب لأننا نتعامل مع مسافة. إذا كان ﺃ شرطة يساوي ثمانية، فإن جا الزاوية ﺃ يساوي ثمانية على ١٧. إذا تناولنا مثلثًا آخر قائم الزاوية فيه الزاوية ﺏ، فإن طول الضلع المجاور لها سيساوي خمسة وطول الوتر يساوي ١٣. ينبغي أن نلاحظ أن هذا المثلث يمثل ثلاثية من ثلاثيات فيثاغورس. وهي مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تنطبق عليها النسبة ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع. ولأننا نعلم أن طول الوتر يساوي ١٣ وطول أحد الأضلاع يساوي خمسة، فنسب هذا المثلث هي: خمسة، ١٢، ١٣. إذن، طول الضلع المجاور يساوي ١٢، وجيب الزاوية ﺏ يساوي ١٢ على ١٣. ويمكننا التعويض بهذه القيمة. ‏‏١٥ على ١٧ في خمسة على ١٣ يساوي ٧٥ على ٢٢١. وثمانية على ١٧ في ١٢ على ١٣ يساوي ٩٦ على ٢٢١؛ ما يجعل جتا ﺃ زائد ﺏ يساوي سالب ٢١ على ٢٢١.

قبل أن نختتم هذا الفيديو، سنلقي نظرة على مثال أخير يتضمن مثلثين قائمي الزاوية ويضم زاويتين مختلفتين.

يوضح الشكل المثلث ﺃﺏﺟ. إذا كان ﺃﺩ عموديًا على ﺏﺟ، وﺃﺩ يساوي ١٥ سنتيمترًا، وﺏﺩ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﺟﺩ يساوي سبعة سنتيمترات، فأوجد قيمة ظا ﺱ زائد ﺹ.

أول ما سنبدأ به هو كتابة المعطيات على الشكل. ‏‏ﺃﺩ يساوي ١٥ سنتيمترًا، وﺏﺩ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﺟﺩ يساوي سبعة سنتيمترات. ما يعنينا هو ظل هذه الزاوية، أي الزاوية ﺱ زائد ﺹ. لكن هذه الزاوية تقع في مثلث غير قائم الزاوية، لذا سنحتاج إلى طريقة مختلفة لإيجاد قيمة هذه الزاوية. إذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أن الزاوية ﺱ والزاوية ﺹ تقعان داخل مثلثين قائمي الزاوية. هذا يعني أنه من الممكن إيجاد قيمة الظل للزاوية ﺱ وقيمة الظل للزاوية ﺹ. وحسب متطابقة مجموع الزاويتين، نعلم أن ظا ﺃ زائد ﺏ يساوي ظا ﺃ زائد ظا ﺏ الكل على واحد ناقص ظا ﺃ في ظا ﺏ.

وظل أي زاوية في مثلث قائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. بالنسبة للزاوية ﺱ، طول الضلع المقابل يساوي ١٠ وطول الضلع المجاور يساوي ١٥. وبالتالي، فإن ظا ﺱ يساوي ١٠ على ١٥. لإيجاد ظا ﺹ، نقسم طول الضلع المقابل الذي يساوي سبعة على طول الضلع المجاور الذي يساوي ١٥. إذن ظا ﺹ يساوي سبعة على ١٥. إذن، ظا ﺱ زائد ﺹ يساوي ١٠ على ١٥ زائد سبعة على ١٥ الكل على واحد ناقص ١٠ على ١٥ في سبعة على ١٥. يصبح البسط ١٧ على ١٥.

قبل الضرب في المقام، يمكننا إجراء بعض التبسيط. ‏‏١٠ على ١٥ يبسط إلى ثلثين، وثلثان في سبعة على ١٥ يساوي ١٤ على ٤٥. في المقام، بما أن لدينا واحدًا ناقص ١٤ على ٤٥، يمكننا إعادة كتابة الواحد على صورة ٤٥ على ٤٥. ‏‏٤٥ ناقص ١٤ يساوي ٣١. هذا يعني أننا سنقسم المقدار ١٧ على ١٥ على المقدار ٣١ على ٤٥. وللقسمة على كسر، نضرب في المقلوب. يصبح لدينا ١٧ على ١٥ في ٤٥ على ٣١. العدد ١٥ يتكرر ثلاث مرات لينتج العدد ٤٥. إذن، ١٧ في ثلاثة يساوي ٥١؛ ما يجعل ظا ﺱ زائد ﺹ يساوي ٥١ على ٣١.

قبل الختام، دعونا نسترجع النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكن استخدام المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما لتبسيط المقادير التي تتضمن زاويتين. توجد ثلاث متطابقات لمجموع زاويتين هما جا ﺃ زائد ﺏ، وجتا ﺃ زائد ﺏ، وظا ﺃ زائد ﺏ، وثلاث متطابقات للفرق بين الزاويتين وهما جا ﺃ ناقص ﺏ، وجتا ﺃ ناقص ﺏ، وظا ﺃ ناقص ﺏ، وجميعها موضحة هنا.