تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: استخدام الحركة في خط مستقيم والتكامل الرياضيات

يتسارع جسيم بمعدل ٢ﻥ + ٧ م‏/‏ث^٢ بعد ﻥ ثانية من الحركة في خط مستقيم. إذا كانت ﻉ (٠) = −٨ م‏/‏ث، فما المدة الزمنية التي يستغرقها الجسيم للوصول إلى سرعة ٥٠ م‏/‏ث؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٥:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

يتسارع جسيم بمعدل اثنين ﻥ زائد سبعة متر لكل ثانية مربعة بعد ﻥ ثانية من الحركة في خط مستقيم. إذا كانت ﻉ صفر تساوي سالب ثمانية أمتار لكل ثانية، فما الزمن الذي يستغرقه الجسيم للوصول إلى سرعة ٥٠ مترًا لكل ثانية؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

يخبرنا السؤال أن لدينا جسيمًا يتسارع بمعدل اثنين ﻥ زائد سبعة متر لكل ثانية مربعة. كما يخبرنا أن ﻉ صفر تساوي سالب ثمانية أمتار لكل ثانية. وهو ما يعني أن السرعة الابتدائية للجسيم تساوي سالب ثمانية أمتار لكل ثانية. والمطلوب منا في هذا السؤال هو استخدام هذه المعلومات لإيجاد الزمن الذي يستغرقه الجسيم للوصول إلى سرعة ٥٠ مترًا لكل ثانية. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

في البداية، نعرف أن دالة عجلة الجسيم هي اثنين ﻥ زائد سبعة. ويطلب منا السؤال إيجاد الزمن الذي يستغرقه الجسيم لكي يصل إلى سرعة معينة. إذن علينا تكوين معادلة لسرعة الجسيم. ولنفعل ذلك دعونا نسترجع أن عجلة أي جسيم تساوي معدل التغير في السرعة بالنسبة إلى الزمن. وعكس هذه العبارة صحيح أيضًا. فسرعة الجسيم تساوي تكامل العجلة بالنسبة إلى الزمن. وسيكون هذا صحيحًا بإضافة ثابت التكامل.

باستخدام هذه المعلومات، نعرف أن سرعة الجسيم بعد ﻥ ثانية تساوي تكامل اثنين ﻥ زائد سبعة بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل للثابتين ﺟ وم؛ حيث م لا يساوي سالب واحد. وتنص هذه القاعدة على أنه لإيجاد تكامل ﻙ في ﻥ أس م بالنسبة إلى ﻥ، نضيف واحدًا على الأس ثم نقسم على الأس الجديد. وبعد ذلك نضيف ثابت التكامل. قد يكون من المفيد هنا التفكير في الثابت سبعة على أنه يساوي سبعة في ﻥ أس صفر. وبتطبيق قاعدة القوة للتكامل على كل حد في الدالة التي نجري عليها التكامل، يصبح لدينا اثنان ﻥ تربيع على اثنين زائد سبعة ﻥ مقسومًا على واحد زائد ﺙ.

يمكننا تبسيط ذلك. اثنان على اثنين يساوي واحدًا، وسبعة على واحد يساوي سبعة. وبذلك نكون وجدنا أن سرعة الجسيم تعطى بالصيغة: ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ زائد ﺙ. ونطلق على ذلك الحل العام؛ لأننا لا نعرف قيمة الثابت ﺙ. لكن في الواقع، نحن يمكننا إيجاد قيمة ﺙ في هذه المسألة. وذلك لأننا نعرف من المعطيات أن ﻉ صفر تساوي سالب ثمانية أمتار لكل ثانية. بعبارة أخرى: بالتعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في دالة السرعة، سنحصل على الناتج سالب ثمانية.

بالتعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في معادلة السرعة، يصبح لدينا سالب ثمانية يساوي صفرًا تربيع زائد سبعة في صفر زائد ﺙ. ونحن نعرف أن صفرًا تربيع وسبعة في صفر يساوي كل منهما صفرًا. وبذلك نكون قد وجدنا أن ﺙ يساوي سالب ثمانية. وبالتعويض بقيمة ﺙ هذه في الحل العام لدالة السرعة، نحصل على ﻉﻥ يساوي ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ ناقص ثمانية. وتخبرنا هذه الدالة بسرعة الجسيم بعد ﻥ ثانية. يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ﻥ التي تجعل سرعة الجسيم ٥٠ مترًا لكل ثانية. وهذا يعني أن علينا حل معادلة دالة السرعة عندما تساوي ٥٠.

إذن علينا إيجاد قيمتي ﻥ عند ٥٠ يساوي ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ ناقص ثمانية؛ لأنها حينها ستكون سرعة الجسيم ٥٠ مترًا لكل ثانية. يمكننا طرح ٥٠ من كلا طرفي هذه المعادلة. نحصل من ذلك على المعادلة التربيعية صفر يساوي ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ ناقص ٥٨. ويمكننا حل هذه المعادلة باستخدام القانون العام، أو يمكننا ببساطة استخدام الآلة الحاسبة. عندما نفعل ذلك، نحصل على الإجابتين الآتيتين لأقرب منزلتين عشريتين: ٤٫٨٨، وسالب ١١٫٨٨.

تذكر أن دالة العجلة تكون صحيحة بعد ﻥ ثانية من الحركة. وهذا يخبرنا أن ﻥ لا بد أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا؛ إذن لا يمكن أن تكون قيمة ﻥ سالبة. وبذلك تكون الإجابة هي ٤٫٨٨. جميع الوحدات لدينا معطاة بالمتر والثانية. وبما أن هذه الإجابة تمثل الزمن الذي يستغرقه الجسيم للوصول إلى سرعة ٥٠ مترًا لكل ثانية، فيمكننا استخدام وحدة الثانية.

إذن كان لدينا في هذا السؤال جسيم يتسارع بمعدل اثنين ﻥ زائد سبعة أمتار لكل ثانية مربعة بعد ﻥ ثانية من الحركة في خط مستقيم. وكانت السرعة الابتدائية لهذا الجسيم سالب ثمانية أمتار لكل ثانية، ووجدنا أن الجسيم سيستغرق ٤٫٨٨ ثوان حتى يصل إلى سرعة ٥٠ مترًا لكل ثانية، وذلك لأقرب منزلتين عشريتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.