نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺱ يساوي واحدًا زائد جذر ﺵ، وﺹ يساوي ﻫ أس ﺵ تربيع عند النقطة اثنين، ﻫ.
ما نحن بصدده في هذه المسألة هو إيجاد معادلة مماس المنحنى. هناك علاقة نعرفها بين المماس والمنحنى. وهي أننا نعلم أن لهما الميل نفسه. لذا، أول ما نحتاج إلى فعله هو إيجاد دالة الميل للمنحنى حتى يمكننا تحديد ميل المنحنى.
ولكي نتمكن من إيجاد دالة الميل، ينبغي أن نفكر في حقيقة أن لدينا معادلتين بارامتريتين. وإذا كان لدينا معادلتان بارامتريتان، فهذا يعني أن لدينا صيغة عامة لمساعدتنا على إيجاد دالة الميل. والعلاقة التي نعرفها هي أن ﺩﺹ على ﺩﺱ، أي دالة الميل، تساوي ﺩﺹ على ﺩﺵ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﺵ. والجيد فيها أنها تتيح لنا التعامل مع كل معادلة بارامترية على حدة، أي اشتقاقهما، ثم وضعهما معًا لإيجاد دالة الميل.
إذن، أول ما سنبدأ به هو ﺱ يساوي واحدًا زائد جذر ﺵ. وما علينا فعله هو اشتقاق هذه المعادلة لنتمكن من إيجاد ﺩﺱ على ﺩﺵ. لكن قبل الاشتقاق، سأعيد أولًا كتابة المعادلة بصورة أسية بدلًا من صورة جذرية. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﺱ يساوي واحدًا زائد ﺵ أس نصف. وعند اشتقاق هذا المقدار، نحصل على ﺩﺱ على ﺩﺵ يساوي نصف ﺵ أس سالب نصف.
وللتذكير بطريقة فعل ذلك، ضربنا واحدًا في نصف، أي المعامل مضروبًا في نصف وهو الأس. هذا للحد الثاني، الذي يعطينا نصفًا. وبعد ذلك ﺵ أس، ثم لديك نصف ناقص واحد لأننا طرحنا واحدًا من الأس، ما يعطينا سالب نصف. وكان الحد الأول واحدًا فقط. وإذا اشتققنا واحدًا، فسيعطينا صفرًا. تبقى لدينا ﺩﺱ على ﺩﺵ يساوي نصف ﺵ أس سالب نصف.
حسنًا، هذا رائع! والآن لننتقل إلى ﺹ. ما لدينا هو ﺹ يساوي ﻫ أس ﺵ تربيع. لكي نتمكن من اشتقاق هذا، لدينا قاعدة: وهي أنه إذا كان ﺹ يساوي ﻫ أس ﺩﺱ، أي دالة، إذن ستكون المشتقة تساوي مشتقة ﺩﺱ مضروبة في ﻫ أس ﺩﺱ. ونحصل على هذا من قاعدة السلسلة.
والآن، دعونا نطبق هذا على معادلتنا ونوجد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺵ. عند الاشتقاق، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺵ يساوي اثنين ﺵ. وقد حصلنا على اثنين ﺵ لأننا إذا اشتققنا ﺵ تربيع، أي ﺩﺱ، نحصل على اثنين ﺵ. وهذا مضروبًا في ﻫ أس ﺵ تربيع. حسنًا، هذا رائع! الآن وقد أصبح لدينا ﺩﺱ على ﺩﺵ وﺩﺹ على ﺩﺵ، يمكننا إيجاد دالة الميل باستخدام العلاقة التي تحدثنا عنها سابقًا.
وعليه، فإن ما سنحصل عليه هو دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي اثنين ﺵﻫ أس ﺵ تربيع مقسومًا على واحد على اثنين ﺵ أس نصف. حصلنا على الجزء الثاني؛ لأنه كان لدينا نصف ﺵ أس سالب نصف. إذا كان سالب نصف، فذلك يساوي واحدًا على اثنين أس نصف. حسنًا، هذا رائع! وباستخدام قاعدة الكسور عند القسمة، يمكننا القول إن ذلك يساوي اثنين ﺵﻫ أس ﺵ تربيع مضروبًا في اثنين ﺵ أس نصف.
وذلك لأننا عندما نقسم على كسر، فإننا نضرب في مقلوب ذلك الكسر. لدينا الآن دالة الميل. وما علينا فعله هو إيجاد قيمة الميل. لكن لكي نتمكن من فعل هذا، علينا معرفة قيمة ﺵ عند هذه النقطة. ولنتمكن من إيجاد قيمة ﺵ، علينا التعويض بقيمة النقطة. لدينا ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي ﻫ في المعادلتين البارامتريتين. إذا بدأنا بقيمة ﺱ، وهي اثنان، فسنعوض بها في المعادلة ﺱ يساوي واحدًا زائد جذر ﺵ.
ويكون الناتج واحدًا زائد جذر ﺵ يساوي اثنين. لقد عكست طرفي المعادلة لأن هذا أسهل في الحل. ثم نطرح واحدًا من الطرفين. عندما أفعل هذا، أحصل على جذر ﺵ يساوي واحدًا. وما علي فعله لإيجاد قيمة ﺵ هو تربيع كلا الطرفين. عندما أقوم بتربيع كلا الطرفين، أحصل على ﺵ يساوي واحدًا. حسنًا، هذا رائع! لدينا ﺵ يساوي واحدًا. ستكون هذه قيمة ﺵ ولكن ما سأفعله الآن هو التحقق من الإجابة من خلال استخدام قيمة ﺹ وهي ﻫ.
ما لدينا هو ﻫ أس ﺵ تربيع يساوي ﻫ. كتابة ﻫ هي نفسها كتابة ﻫ أس واحد. وبما أن لدينا الأساس نفسه في طرفي المعادلة، فكل ما علينا فعله هو مساواة الأسس. وبذلك، نحصل على ﺵ تربيع يساوي واحدًا. ومن ثم، يكون الحل ﺵ يساوي واحدًا. إذن، أوجدنا قيمة ﺵ. وهي واحد.
ما علينا فعله الآن هو التعويض عن ﺵ يساوي واحدًا في معادلة الميل. وهذا سيعطينا قيمة الميل. عند التعويض بواحد لكل قيم ﺵ، نحصل على اثنين مضروبًا في واحد ﻫ أس واحد تربيع مضروبًا في اثنين مضروبًا في جذر واحد. حصلنا على واحد؛ لأن ﺵ أس نصف هو نفسه جذر ﺵ، والذي سيكون مساويًا لاثنين ﻫ مضروبًا في اثنين.
إذن، أوجدنا الميل. والميل سيكون مساويًا لأربعة ﻫ. حسنًا، هذا رائع! والآن، ماذا سنفعل؟ ما علينا فعله الآن هو حل المسألة وإيجاد معادلة مماس المنحنى. ولأنها معادلة مماس منحنى، فإننا نعرف أن المماس سيكون خطًا مستقيمًا. لذا، يمكننا استخدام الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، حيث ﻡ هو الميل وﺟ هو الجزء المقطوع من ﺹ.
إذن، يمكننا التعويض بأربعة ﻫ التي أوجدناها للميل، أي قيمة ﻡ، ويمكننا القول إن ﺹ يساوي أربعة ﻫﺱ زائد ﺟ. لكننا نحتاج إلى معرفة قيمة ﺟ. وللقيام بهذا، يمكننا التعويض بقيمة إحداثيات النقطة التي لدينا لأنها نقطة على المماس والمنحنى معًا. وهي اثنان، ﻫ. إذن، ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي ﻫ. ومن ثم عند القيام بهذا، نحصل على ﻫ يساوي أربعة ﻫ مضروبًا في اثنين زائد ﺟ.
إذن ﻫ يساوي ثمانية ﻫ زائد ﺟ. لذا ما علينا فعله هو طرح ثمانية ﻫ من كلا طرفي المعادلة. وعند فعل هذا، نحصل على سالب سبعة ﻫ يساوي ﺟ. إذن أصبح لدينا قيمة ﺟ. وإذا عوضنا بهذا في معادلة الخط المستقيم، يمكننا القول إن معادلة مماس المنحنى ﺱ يساوي واحدًا زائد جذر ﺵ وﺹ يساوي ﻫ أس ﺵ تربيع عند النقطة اثنين، ﻫ هي ﺹ يساوي أربعة ﻫﺱ ناقص سبعة ﻫ. وقد حصلنا على هذا الناتج لأن أربعة ﻫ كان الميل وكان سالب سبعة ﻫ هو قيمة ﺟ، أي الجزء المقطوع من ﺹ.
