نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نرسم مخططًا تكراريًّا متجمعًا، ونستخدمه في تقدير البيانات. لنبدأ بفهم معنى التكرار المتجمع.
التكرار المتجمع هو مجموع جميع التكرارات السابقة وصولًا إلى النقطة الحالية. ويشار إليه عادة بإجمالي عدد التكرارات. يمكن إيجاد التكرار المتجمع الصاعد لقيمة ﺱ من خلال جمع جميع التكرارات الأقل من ﺱ. ويعد استخدام التكرارات المتجمعة طريقة إحصائية تطبق عادة على الجداول التكرارية ذات المجموعات؛ حيث تنظم البيانات في مجموعات أو فئات صغرى. دعونا نتناول مثالًا يوضح كيفية إيجاد التكرار المتجمع لمجموعة بيانات معطاة في جدول تكراري ذي مجموعات.
يوضح الجدول الآتي عدد الساعات التي قضاها ١٠٠ طالب في المذاكرة للاختبار. حدد نتائج التكرار المتجمع الناقصة.
يعرض الجدول التكراري ذو المجموعات البيانات المتعلقة بعدد الساعات التي قضاها الطلاب في المذاكرة. لهذه المجموعات أو الفئات فترات مفتوحة؛ حيث تمثل المجموعة الأولى، صفرًا فأكثر، القيم التي تساوي صفرًا من الساعات أو تزيد عن الصفر ولكن تقل عن ساعتين. وذلك لأن المجموعة التالية تبدأ بقيم أكبر من أو تساوي اثنين. لا توجد قيم متداخلة في الجدول التكراري ذي المجموعات.
مطلوب منا في هذا السؤال إكمال هذا الجدول التكراري ذي المجموعات بناء على التكرارات. يعطينا التكرار المتجمع إجمالي عدد التكرارات. ويمثل التكرار المتجمع الصاعد دائمًا تكرارات القيم الأقل من قيمة معينة. التكرار المتجمع للمجموعة الأولى في الجدول التكراري يساوي صفرًا. هذا لأنه يمكننا أن نستنتج من الجدول التكراري أن عدد الطلاب الذين كانوا يذاكرون لمدة أقل من ساعتين هو صفر. ولإيجاد قيمة التكرار المتجمع الثاني، فإننا نجمع التكرار الخاص بالمجموعة الثانية مع التكرار المتجمع السابق. هناك ١٠ طلاب ذاكروا لمدة أقل من أربع ساعات. ومن ثم التكرار المتجمع الثاني هو ١٠ زائد صفر، وهو ما يساوي ١٠.
علينا الآن تحديد التكرار المتجمع للطلاب الذين ذاكروا لمدة أقل من ست ساعات. تشير الفئة أربعة فأكثر في الجدول التكراري ذي المجموعات إلى أن هناك ١٩ طالبًا ذاكروا لمدة تساوي أربع ساعات أو أكثر وتقل عن ست ساعات. ولكن الطلاب العشرة في المجموعة السابقة ذاكروا أيضًا لمدة تقل عن ست ساعات. ومن ثم التكرار المتجمع للمدة التي تقل عن ست ساعات يساوي ١٩ زائد ١٠، وهو ما يساوي ٢٩. يمكن إيجاد التكرار المتجمع الثالث بجمع التكرار الخاص بالفئة الثالثة مع التكرار المتجمع السابق.
يمكننا بعد ذلك مواصلة هذه العملية لإيجاد جميع قيم التكرار المتجمع. تجدر الإشارة هنا إلى أن التكرار المتجمع لجميع القيم سيساوي التكرار الإجمالي. يفيد هذا في التحقق من صحة القيم لدينا. يمكننا حساب إجمالي التكرارات عن طريق جمع صفر زائد ١٠ زائد ١٩ زائد ٣٧ زائد ٢٤ زائد ١٠، وهو ما يساوي ١٠٠. وبما أن التكرار المتجمع النهائي يساوي ١٠٠ أيضًا، إذن نكون بذلك قد تأكدنا من أن قيم التكرار المتجمع الناقصة هي صفر و١٠ و٢٩ و٦٦ و٩٠ و١٠٠.
سنتناول الآن الطريقة الأكثر شيوعًا لتمثيل التكرار المتجمع، وهي التمثيل البياني التكراري المتجمع. يوضح التمثيل البياني التكراري المتجمع التكرار المتجمع لمجموعة بيانات. قد يكون هذا على هيئة مضلع تكراري متجمع؛ حيث تصل الخطوط المستقيمة بين النقاط، أو قد يكون على هيئة منحنى تكراري متجمع. التكرار المتجمع للقيمة ﺱ هو إجمالي عدد قيم البيانات الأقل من ﺱ. وبما أن التكرار المتجمع يساوي إجمالي عدد القيم، فإن اتجاه التمثيل البياني التكراري المتجمع لن يكون للأسفل أبدًا. ولكن قد يحتوي على خطوط أفقية؛ حيث تظل قيمة التكرار المتجمع ثابتة إذا كان تكرار إحدى المجموعات يساوي صفرًا.
سنتناول الآن مثالًا علينا فيه تحديد التمثيل الصحيح لمجموعة بيانات على صورة تمثيل بياني تكراري متجمع.
عاين أحد المصنعين الكتلة بالجرام لـ ٣٠ قلم رصاص من خط الإنتاج. سجلت كتل الأقلام في الجدول. لا يوجد قلم رصاص كتلته أكبر من ٦٠ جرامًا. أي التمثيلات البيانية التكرارية المتجمعة يوضح هذه المعلومات توضيحًا صحيحًا؟ هل هو التمثيل البياني ﺃ، أم ﺏ، أم ﺟ، أم ﺩ، أم ﻫ؟
لتحديد التمثيل البياني الصحيح، علينا حساب التكرارات المتجمعة للقيم الموضحة في الجدول. هذا سيعطينا إجمالي القيم الأقل من نقطة معينة. وستكون القيمة الأقل من نقطة معينة التي سنستخدمها هي الحد العلوي لكل فئة.
سنبدأ بمعرفة أن المجموعة الأولى في الجدول تمثل الكتل التي تساوي ١٠ جرامات أو أكثر ولكن تقل عن ٢٠ جرامًا. يمكن أن نضيف إلى هذا الجدول صف التكرار المتجمع، الذي سيمثل الأقلام التي كتلها أقل من ٢٠ جرامًا، وأقل من ٣٠ جرامًا، وأقل من ٤٠ جرامًا، وهكذا. بما أنه لا يوجد أقلام رصاص كتلها أكبر من ٦٠ جرامًا، فإن العنصر الأخير في صف التكرار المتجمع سيمثل عدد أقلام الرصاص التي تقل كتلها عن ٦٠ جرامًا.
بتذكر أن التكرار المتجمع هو إجمالي عدد التكرارات، يكون لدينا القيم ثلاثة وتسعة و٢٠ و٢٧ و٣٠. لاحظ أننا نحسب هذه القيم بجمع قيمة التكرار في عمود معين مع قيمة التكرار المتجمع السابقة لها. سيكون التكرار المتجمع النهائي هو نفسه التكرار الإجمالي. في هذه الحالة، ستكون قيمة هذا التكرار ٣٠؛ لأن العينة المأخوذة مكونة من ٣٠ قلمًا.
عند رسم أو تحديد التمثيل البياني التكراري المتجمع في هذا السياق، يمثل المحور ﺱ الكتلة في حين يمثل المحور ﺹ التكرار المتجمع. ستمثل قيم الإحداثي ﺱ قيم الكتل الأقل من قيمة معينة أو تمثل الحدود العليا للفئات. هذا يتيح لنا استخدام المنحنى التكراري المتجمع لتحديد القيم الأقل من أي قيمة معينة. الإحداثيات التي سنحددها يمكن أن تكون: ١٠، صفر، و٢٠، ثلاثة، و٣٠، تسعة، و٤٠، ٢٠، و٥٠، ٢٧، و٦٠، ٣٠. وكما ذكرنا سابقًا، الإحداثي ﺱ هو الحد العلوي لكل مجموعة، والإحداثي ﺹ هو التكرار المتجمع المناظر. التمثيل البياني الذي يطابق هذه الإحداثيات هو التمثيل البياني ﺏ. إذن هذا هو التمثيل البياني التكراري المتجمع للمعلومات المعطاة.
على الرغم من أن التمثيلات البيانية ﺃ وﺩ وﻫ تمثيلات بيانية تكرارية متجمعة، فإنها لا تطابق البيانات الواردة في الجدول. التمثيل البياني ﺟ مضلع تكراري وليس تمثيلًا بيانيًّا تكراريًّا متجمعًا. عند رسم مخطط تكراري متجمع، يفضل أن تتصل النقاط بعضها ببعض من خلال منحنى أملس بدلًا من خطوط مستقيمة. هذا يعطينا قيمة تقريبية أفضل للبيانات ويتيح لنا الوصول إلى تقديرات أدق للتكرارات المتجمعة التي لا تقع على حدود الفئات.
سنتناول الآن مثالًا على ذلك؛ حيث يكون لدينا تمثيل بياني تكراري متجمع نستخدمه لمساعدتنا في تقدير القيم الأقل من قيم معينة أو الأكبر منها أو المساوية لها.
أخذ فادي عينة تتكون من ١٠٠ كرة من صندوق. ووزن كل كرة، وسجل وزنها في الجدول. بعد ذلك استخدم البيانات لرسم التمثيل البياني التكراري المتجمع الموضح على الشبكة. قدر عدد الكرات التي وزنها أقل من ٨٠ جرامًا. قدر عدد الكرات التي وزنها ١٣٠ جرامًا فأكثر.
التكرار المتجمع هو مجموع جميع التكرارات السابقة وصولًا إلى النقطة الحالية. ويشار إليه عادة بإجمالي عدد التكرارات. يوضح التمثيل البياني المعطى التكرار المتجمع لأوزان ١٠٠ كرة. نلاحظ من التمثيل البياني الموضح أن أعلى تكرار متجمع هو ١٠٠. وتشير أي نقطة على التمثيل البياني التكراري المتجمع إلى إجمالي عدد الكرات التي يقل وزنها عن الوزن المعطى.
لتقدير عدد الكرات التي يقل وزنها عن ٨٠ جرامًا، يمكننا أن نرسم خطًّا رأسيًّا من العدد ٨٠ على المحور ﺱ حتى يصل إلى المنحنى. بعد ذلك نرسم خطًّا أفقيًّا من هذه النقطة وصولًا إلى المحور ﺹ حتى نتمكن من قراءة قيمة ﺹ المناظرة، وهي قيمة التكرار المتجمع. نلاحظ أن كل خط صغير من خطوط شبكة الرسم على المحور ﺹ يمثل تكرارًا مقداره اثنان، ومن ثم يمكننا الإجابة عن الجزء الأول من هذا السؤال. يمكن تقدير عدد الكرات التي وزنها أقل من ٨٠ جرامًا بأنه يساوي ٢٦ كرة.
على الرغم من أن كل قيمة على المنحنى التكراري المتجمع تمثل التكرارات الأقل من قيمة معينة، فإنه لا يزال بإمكاننا استخدام هذا المنحنى لإيجاد القيم الأكبر من قيم معينة أو المساوية لها. سنتبع العملية نفسها لتقدير عدد الكرات التي وزنها ١٣٠ جرامًا فأكثر. سنرسم خطًّا رأسيًّا من العدد ١٣٠ على المحور ﺱ وصولًا إلى المنحنى ثم نرسم خطًّا أفقيًّا من هذه النقطة وصولًا إلى المحور ﺹ. يمكن أن نقرأ الآن قيمة التكرار المتجمع من المحور ﺹ وهي ٧٨ كرة، وهو ما يعني أن هناك ٧٨ كرة يقل وزنها عن ١٣٠ جرامًا.
لإيجاد عدد الكرات التي وزنها ١٣٠ جرامًا فأكثر، نطرح هذا العدد من التكرار الإجمالي. التكرار الإجمالي هو إجمالي عدد الكرات التي وزنت. ومن ثم يساوي ١٠٠. إذن لدينا ١٠٠ ناقص ٧٨، وهو ما يساوي ٢٢. وبذلك تكون إجابة الجزء الثاني من السؤال هي أننا قدرنا أن هناك ٢٢ كرة وزنها ١٣٠ جرامًا فأكثر.
في الجدول التكراري ذي المجموعات، قد توصف المجموعات أو الفئات باستخدام ترميز مختلف. نلاحظ هنا كيف تمثل الفئة ١١٠ فأكثر القيم التي تساوي ١١٠ أو أكثر والتي تقل عن الحد الأدنى للفئة التالية. يمكننا أيضًا استخدام المتباينات لتمثيل الحدود في مجموعات البيانات المتصلة. على سبيل المثال، قد يخصص للبيانات التي تمثل الارتفاعات ﻉ فترات مختلفة مكتوبة على الصورة ﻉ أكبر من أو يساوي ١١٠ وأقل من ١٢٠، كما هو موضح. ورغم أننا لم نتطرق في هذا الفيديو لأمثلة من هذا النوع، فسنطبق الخطوات نفسها المتبعة عند حساب إجمالي التكرارات المتجمعة، ورسم التمثيلات البيانية التكرارية المتجمعة، وتقدير البيانات.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. التكرار المتجمع هو مجموع جميع التكرارات السابقة وصولًا إلى النقطة الحالية. ويشار إليه عادة بإجمالي عدد التكرارات. لرسم تمثيل بياني تكراري متجمع، نحدد أولًا إجمالي جميع التكرارات المتجمعة للقيم الأقل من الحد العلوي لكل فئة. لرسم إحداثيات كل قيمة تكرارية متجمعة، نجعل الحد العلوي لكل فئة الإحداثي ﺱ، والتكرار المتجمع المناظر الإحداثي ﺹ. تمثل أي نقطة على المنحنى التكراري المتجمع التكرار المتجمع للمتغيرات الأقل من قيمة الإحداثي ﺱ المناظر. لإيجاد تكرار القيم الأكبر من قيمة الإحداثي ﺱ أو المساوية لها، فإننا نطرح قيمة الإحداثي ﺹ من التكرار الإجمالي.
