نسخة الفيديو النصية
أوجد الفترات التي تكون عليها الدالة ﺩﺱ تساوي سالب واحد زائد واحد على ﺱ ناقص أربعة على ﺱ تربيع تزايدية والفترات التي تكون عليها تناقصية.
دعونا نبدأ بتذكر كيف نحدد إذا ما كانت دالة ما تزايدية أو تناقصية عند نقطة معينة. نقول إن الدالة ﺩﺱ تزايدية عند نقطة معينة ﺱ إذا كانت قيمة مشتقتها الأولى عند هذه النقطة أكبر من صفر؛ أي ﺩ شرطة ﺱ. وبالمثل، تكون الدالة تناقصية عند هذه النقطة إذا كانت قيمة مشتقتها الأولى أقل من صفر. عندما تكون سالبة. وهكذا، نلاحظ أنه علينا البدء بإيجاد المشتقة الأولى للدالة. وهي ﺩ شرطة ﺱ. تتكون الدالة ﺩﺱ لدينا من ثلاثة حدود؛ لذلك سنشتق كل حد على حدة.
لكن قبل أن نفعل ذلك، سنبدأ بإعادة كتابة واحد على ﺱ على الصورة ﺱ أس سالب واحد، وسالب أربعة على ﺱ تربيع على الصورة سالب أربعة في ﺱ أس سالب اثنين. وهذا مفيد جدًّا لأننا نعلم أنه لاشتقاق حد ذي قوة على الصورة ﺃﺱ أس ﻥ؛ حيث ﺃ وﻥ ثابتان حقيقيان، فإننا نضرب الحد بالكامل في الأس، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. قيمة المشتقة الأولى لأي ثابت تساوي صفرًا. ومن ثم، باشتقاق سالب واحد بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على صفر. بعد ذلك، عندما نضرب الحد ﺱ أس سالب واحد بأكمله في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس، نحصل على سالب واحد في ﺱ أس سالب اثنين.
وبالمثل، دعونا نضرب أربعة ﺱ أس سالب اثنين في سالب اثنين ثم نطرح واحدًا من الأس. بذلك، يصبح الحد الثالث هو سالب سالب اثنين في أربعة ﺱ أس سالب ثلاثة. سنتجاهل الصفر، وسنعيد كتابة سالب واحد ﺱ أس سالب اثنين على الصورة سالب واحد على ﺱ تربيع. بعد ذلك، لدينا في الحد الثالث سالب سالب اثنين في أربعة. هذا يساوي ثمانية. بالمثل، يمكننا كتابة ﺱ أس سالب ثلاثة على الصورة واحد على ﺱ تكعيب. وهكذا، فإن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ تربيع زائد ثمانية على ﺱ تكعيب. قبل أن نتمكن من إيجاد قيم ﺱ التي تجعل قيمة هذا المقدار أكبر من أو أقل من صفر، سنبدأ بجمع الكسرين. وسنفعل ذلك من خلال إيجاد مقام مشترك.
لإيجاد المقام المشترك، سنضرب بسط الكسر الأول ومقامه في ﺱ. بذلك، نحصل على سالب ﺱ على ﺱ تكعيب زائد ثمانية على ﺱ تكعيب. وبما أن المقامين متساويان، فيمكننا ببساطة جمع البسطين. وبهذا، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ﺱ زائد ثمانية الكل على ﺱ تكعيب. علينا الآن تذكر أن مهمتنا هي إيجاد قيم ﺱ التي تجعل قيمة هذا المقدار موجبة أو سالبة. يمكننا هنا استخدام بعض المنطق لفعل ذلك. دعونا نبدأ بالبحث عن فترات تزايد الدالة، أو بعبارة أخرى قيم ﺱ التي تكون عندها قيمة المشتقة الأولى أكبر من صفر. المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ عبارة عن كسر. وهذا الكسر يساوي سالب ﺱ زائد ثمانية الكل على ﺱ تكعيب.
كيف يمكننا إذن أن نضمن أن تكون قيمة هذا الكسر موجبة؟ لنفعل ذلك، علينا قسمة قيمة موجبة على قيمة موجبة؛ لذا فإننا نحتاج أن يكون بسط الكسر ومقامه قيمتين موجبتين. بدلًا من ذلك، لنحصل على عدد موجب، علينا أن نقسم عددًا سالبًا على عدد سالب. وعليه، نحتاج إلى أن تكون قيمة سالب ﺱ زائد ثمانية أقل من صفر، وإلى أن تكون قيمة ﺱ تكعيب أقل من صفر.
دعونا نبدأ بالطريقة الأولى. لدينا سالب ﺱ زائد ثمانية أكبر من صفر، وﺱ تكعيب أكبر من صفر. فترة التزايد هنا هي تقاطع حلي هاتين المتباينتين. دعونا نحل المتباينة الأولى هذه بإضافة ﺱ إلى كلا الطرفين. وسنجد أن ﺱ أقل من ثمانية. نأخذ بعد ذلك الجذر التكعيبي لكلا طرفي هذه المتباينة لنجد أن ﺱ أكبر من صفر. تقاطع حلي هاتين المتباينتين هو قيم ﺱ الأكبر من صفر والأقل من ثمانية. لم نستخدم ترميز الفترة حتى الآن. لكننا نلاحظ أن الدالة تكون تزايدية عند قيم ﺱ هذه.
لقد ذكرنا سابقًا أن أي عدد سالب مقسومًا على عدد سالب يعطينا ناتجًا موجبًا. وعليه، فإن قيمة المشتقة الأولى ستكون أكبر من صفر أيضًا إذا كانت قيمة سالب ﺱ زائد ثمانية أقل من صفر، وقيمة ﺱ تكعيب أقل من صفر أيضًا. فهما سالبتان. لكن هذه المرة عندما نحل هاتين المتباينتين، نجد أن ﺱ أكبر من ثمانية وأقل من صفر. لا توجد قيم لـ ﺱ تحقق هاتين المتباينتين في الوقت نفسه. بعبارة أخرى، لا توجد قيم لـ ﺱ في تقاطع حلي هاتين المتباينتين. لذلك، نقول إن الدالة تكون تزايدية عندما يكون ﺱ أكبر من صفر وأقل من ثمانية.
والآن، سنتناول قيم ﺱ التي تكون عندها قيمة ﺩ شرطة ﺱ أقل من صفر. سنعرف من ذلك قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة تناقصية. مرة أخرى، لدينا سالب ﺱ زائد ثمانية على ﺱ تكعيب. نريد أن تكون قيمة ذلك أقل من صفر ليصبح لدينا قيمة سالبة. نحن نعرف أن أي عدد موجب مقسومًا على عدد سالب أو العكس يعطينا عددًا سالبًا. إذن، إما أن تكون قيمة البسط سالبة وقيمة المقام موجبة، أو أن تكون قيمة البسط موجبة وقيمة المقام سالبة.
سنتناول أولًا الحالة التي تكون فيها قيمة سالب ﺱ زائد ثمانية موجبة وقيمة المقام ﺱ تكعيب سالبة. بحل هاتين المتباينتين، نحصل على ﺱ أقل من ثمانية، وﺱ أقل من صفر. حسنًا، تقاطع حلي هاتين المتباينتين؛ أي قيم ﺱ التي تحقق كلتا المتباينتين، هي قيم ﺱ الأقل من صفر. لكننا ذكرنا أنه علينا أيضًا تناول الحالة التي تكون فيها قيمة البسط سالبة وقيمة المقام موجبة. في هذه الحالة، نحصل على ﺱ أكبر من ثمانية، وﺱ أكبر من صفر. سنفكر مرة أخرى في تقاطع الحلين. وسنجد أن قيم ﺱ التي تحقق هاتين المتباينتين هي قيم ﺱ الأكبر من ثمانية.
إذن، هذه هي قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة تناقصية. والآن، علينا الانتباه جيدًا. إذا كان ﺱ يساوي صفرًا، فإن قيمة المشتقة تصبح ثمانية على صفر، ونحن نعرف أنها قيمة غير معرفة. لذلك، فإننا نبحث عما إذا كانت هناك أي نقاط حرجة. لكن القيمة ﺱ يساوي صفرًا غير متضمنة في أي من فترات التزايد أو التناقص.
في هذه الحالة، لا داعي للقلق بشأن ذلك. سنستخدم قوسي الفترة المفتوحة لتمثيل الفترات. ومن ثم، نقول إن الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ثمانية. هذه هي قيم ﺱ التي تقع بين صفر وثمانية، لكنها لا تتضمن صفرًا وثمانية. وتكون الدالة تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر، والفترة المفتوحة من ثمانية إلى ∞.
