فيديو السؤال: تحديد التمثيل البياني لدالة تربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع؟ ولدينا خمسة تمثيلات بيانية مشار إليها بالأحرف من ﺃ إلى ﻫ للاختيار من بينها.

يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي إنشاء جدول قيم. أما الطريقة الأخرى فهي تعتمد على الاستعانة بما نعرفه عن التمثيلات البيانية للدوال التربيعية. لذا دعونا نبدأ باستخدام هذه الطريقة، وبعد ذلك نستخدم جدول القيم للتحقق من صحة ما توصلنا إليه. لعلنا نتذكر أن منحنى الدالة التربيعية يأخذ شكل قطع مكافئ متماثل حول خط تماثل رأسي يمر عبر رأسه أو النقطة التي يتحول عندها. وتكتب أبسط معادلة تربيعية على الصورة ﺹ يساوي ﺱ تربيع.

يتضح لنا أن منحنى هذه المعادلة يأخذ شكل قطع مكافئ متماثل، ونقطة تحوله أو رأسه عند نقطة الأصل. وهي النقطة التي إحداثياتها صفر، صفر. لذلك، يمكننا على الفور استبعاد ثلاثة من التمثيلات البيانية الموضحة. وهي التمثيلات البيانية ﺃ وﺏ وﺟ. وذلك لأن المنحنى في كل منها لا يأخذ شكل قطع مكافئ. في الحقيقة هذه تمثيلات بيانية لبعض أنواع دوال المقلوب، مثل واحد على ﺱ تربيع. أما بالنسبة إلى التمثيلين البيانيين ﺩ وﻫ، فيمكننا ملاحظة أن المنحنى في كل منهما يأخذ شكل قطع مكافئ، ويمر بنقطة الأصل.

لكن، أي من التمثيلين البيانيين ﺩ وﻫ يمثل المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع؟ حسنًا، ثمة معلومة إضافية نعرفها عن التمثيل البياني للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع. هذه المعلومة هي أن القطع المكافئ فيه سيكون مفتوحًا لأعلى. وهذا يتوافق مع التمثيل البياني ﻫ. إذن التمثيل البياني ﻫ هو التمثيل البياني الصحيح للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع. في الواقع إن التمثيل البياني ﺩ يوضح المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع. وسبب هذا أنه يمثل انعكاس التمثيل البياني للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع حول المحور ﺱ، كما أنه مفتوح لأسفل.

كما ذكرنا مسبقًا، توجد طريقة أخرى يمكننا استخدامها وهي إنشاء جدول قيم. سنفترض أن قيم ﺱ هي سالب اثنين وسالب واحد وصفر وواحد واثنان، ونعوض بها في المعادلة لدينا. عند ﺱ يساوي سالب اثنين، ﺹ يساوي سالب اثنين تربيع؛ أي أربعة. وبالمثل، عندما يكون ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺹ يساوي سالب واحد تربيع، وهو ما يساوي واحدًا. وبالتعويض عن ﺱ بصفر وواحد واثنين في المعادلة، نجد أن ﺹ يساوي صفرًا وواحدًا وأربعة، على الترتيب. وإذا كتبنا كل قيمتين لدينا في صورة إحداثيات، فسنجد مرة أخرى أن المنحنى الذي يمر عبر كل نقطة من هذه النقاط هو ذلك الموضح في التمثيل البياني ﻫ. إذن، التمثيل البياني ﻫ هو التمثيل البياني الصحيح للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع.