فيديو الدرس: المجموعات وشكل فن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل مجموعة على شكل فن. سنبدأ بتعريف رمز المجموعة والنظر إلى شكل فن. يستخدم رمز المجموعة في الرياضيات لسرد الأعداد أو النتائج أو العناصر. وهو يستخدم الأقواس المعقوفة، التي يشار إليها أحيانًا بالأقواس. تسمى العناصر داخل الأقواس بعناصر المجموعة. على سبيل المثال، يمكن كتابة مجموعة الأعداد الزوجية المكونة من رقم واحد كما يلي. ‏ﺯ يساوي اثنين وأربعة وستة وثمانية. هذه العناصر، أي الأعداد اثنان وأربعة وستة وثمانية في هذا المثال، يمكن كتابتها بأي ترتيب. يمكننا استخدام أي حروف كبيرة لتسمية المجموعة. في هذا المثال، استخدمنا ﺯ للأعداد الزوجية.

سنرى الآن كيف يبدو شكل فن. أشكال فن هي أشكال مفيدة جدًّا تتكون من دوائر متداخلة أحيانًا. على الرغم من أنها تظهر في موضوعات مختلفة في الرياضيات، فإنها تكون أكثر شيوعًا عند التعامل مع المجموعات والاحتمالات. في هذا الفيديو، سنركز فقط على الأسئلة التي تتضمن المجموعات.

إذا نظرنا إلى شكل فن الموضح، فسنجد لدينا دائرة تسمى ﺱ داخل مستطيل يسمى ﻉ. بما أن جميع الأعداد الخمسة موجودة داخل المستطيل، يمكننا القول إن المجموعة ﻉ تحتوي على الأعداد واحد واثنين وثلاثة وأربعة وخمسة. وتحتوي المجموعة ﺱ على جميع الأعداد الموجودة داخل الدائرة، وهي اثنان وثلاثة وخمسة. وهذه الأعداد هي جميع الأعداد الأولية التي تقع بين واحد وخمسة. الهدف من أشكال فن عادة هو توضيح مسائل عملية أو مسائل من الحياة اليومية. على الرغم من أننا لن نتناول مسائل من هذا النوع في هذا الفيديو، فإن مجموعة الأعداد ﺱ شرطة تساوي واحدًا وأربعة. ويشير ﺱ شرطة إلى الأعداد غير الموجودة في المجموعة ﺱ. وبما أن العددين واحد وأربعة يقعان خارج الدائرة ﺱ، فإنهما يقعان في المجموعة ﺱ شرطة. هذان هما العددان اللذان يقعان بين واحد وخمسة وليسا عددين أوليين.

هيا نفكر فيما يحدث عندما تكون لدينا دوائر متداخلة. في هذا المثال، لدينا دائرتان، المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ، داخل المستطيل ﻉ. مرة أخرى، يمثل ﻉ جميع الأعداد الموجودة في شكل فن، أي الأعداد الصحيحة أو الأعداد الكلية من واحد إلى تسعة. تحتوي المجموعة ﺱ على الأعداد اثنين وأربعة وستة وثمانية. هذه هي جميع الأعداد الموجودة داخل الدائرة ﺱ وهي من مضاعفات العدد اثنين أو أعداد زوجية. الأعداد الموجودة في المجموعة ﺹ هي ثلاثة وستة وتسعة. وهذه هي مضاعفات العدد ثلاثة.

نلاحظ أن العدد ستة موجود في المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ. هذا لأن العدد ستة يقع في تقاطع الدائرتين ﺱ وﺹ. ونرمز إلى التقاطع بحرف ‪n‬‏. إذن، مجموعة الأعداد في تقاطع ﺱ وﺹ تساوي ستة. في هذه المسألة تحديدًا؛ هذا لأن العدد ستة هو العدد الوحيد بين واحد وتسعة الذي يعد مضاعفًا للعددين اثنين وثلاثة. سنتناول الآن بعض الأسئلة المحددة التي تتضمن مجموعات في أشكال فن.

أوجد ﺹ باستخدام طريقة السرد.

تتضمن طريقة السرد كتابة قائمة أعداد باستخدام رمز المجموعة. في هذه المسألة، ننظر إلى المجموعة ﺹ. الأعداد في المجموعة ﺹ، والمعروفة بالعناصر، مكتوبة داخل قوسين معقوفين. في هذه الحالة، لدينا ستة أعداد. بترتيب تصاعدي، الأعداد هي: واحد وثلاثة وأربعة وستة وسبعة وثمانية. ولكن عند كتابة مجموعة، لا يهم الترتيب. على سبيل المثال، ﺹ يساوي مجموعة الأعداد ثمانية وواحد وثلاثة وستة وأربعة وسبعة. وأي ترتيب يحتوي على هذه العناصر أو الأعداد الستة يكون صحيحًا.

تتضمن المسألة التالية شكل فن به دائرتان.

اكتب ﺱ باستخدام طريقة السرد.

في هذا السؤال، لدينا دائرتان متقاطعتان، الدائرة ﺱ والدائرة ﺹ. يمكننا إذن كتابة مجموعة العناصر أو الأعداد في الدائرة ﺱ ومجموعة الأعداد في الدائرة ﺹ. في هذا السؤال، ما يعنينا هو ﺱ. نكتب الأعداد الموجودة في مجموعة ما باستخدام الأقواس المعقوفة. يوجد خمسة أعداد في المجموعة ﺱ. توجد الأعداد تسعة وستة وثلاثة فقط في المجموعة ﺱ. يقع العددان ثمانية وخمسة في تقاطع الدائرتين. إذن، يوجدان في المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ. تحتوي المجموعة ﺱ على الأعداد تسعة وستة وثلاثة وثمانية وخمسة.

يمكن كتابة هذه الأعداد بأي ترتيب. لكن غالبًا ما يكون من المفيد كتابتها بترتيب تصاعدي أو تنازلي، على سبيل المثال ثلاثة وخمسة وستة وثمانية وتسعة. وعلى الرغم من أنه غير مطلوب منا إيجاد ذلك في هذه المسألة، فإن المجموعة ﺹ تحتوي على الأعداد واحد وخمسة وسبعة وثمانية. يوجد العددان واحد وسبعة فقط في المجموعة ﺹ. مرة أخرى، يقع العددان ثمانية وخمسة عند نقطة تقاطع الدائرتين. هذا هو التداخل بين الدائرتين.

يطلب منا السؤال التالي تحديد شكل فن الصحيح الذي يمثل مجموعتين.

إذا كان ﺱ يساوي مجموعة الأعداد سبعة وثلاثة وتسعة وواحد، وﺹ يساوي مجموعة الأعداد تسعة وسبعة واثنين، فأي أشكال فن التالية يمثل المجموعتين؟

في هذا السؤال، يمكننا البدء بالنظر إلى كل شكل من أشكال فن، وسرد المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ. لكن في هذا السؤال، قد لا يساعدنا ذلك كثيرًا. في الخيارات (أ) و(ب) و(ج)، توجد الأعداد واحد وثلاثة وسبعة وتسعة في المجموعة ﺱ. هذا لأن هذه الأعداد الأربعة تقع داخل الدائرة ﺱ. وبالمثل، تحتوي الدائرة ﺹ في هذه الخيارات الثلاثة على الأعداد اثنين وسبعة وتسعة. يبدو أن هذا يشير إلى أن الخيارات الثلاثة تحقق الشروط. لكن مفتاح الحل في هذا السؤال هو حرف العطف «و».

يعني هذا أنه علينا التركيز على تقاطع الدائرتين أو تداخلهما المشار إليه بـ ﺱ‪n‬‏ﺹ. يشير الرمز الصغير الذي يشبه حرف ‪n‬‏ إلى التقاطع. يوجد العددان سبعة وتسعة في كلتا المجموعتين. حيث يوجدان في المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ. هذا يعني أن هذين العددين يجب أن يقعا في التقاطع في شكل فن. في الخيار (ب)، لا يوجد تقاطع بين الدائرتين. لذا، لا يمكن أن تكون هذه هي الإجابة الصحيحة. في الخيار (ج)، العدد الوحيد في تقاطع الدائرة ﺱ والدائرة ﺹ هو سبعة، إذن هذا الخيار غير صحيح أيضًا. في الخيار (أ)، نلاحظ أن العددين سبعة وتسعة يقعان في التقاطع.

إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ)، حيث توجد الأعداد سبعة وثلاثة وتسعة وواحد في المجموعة ﺱ، وتوجد الأعداد تسعة وسبعة واثنان في المجموعة ﺹ، ويقع العددان سبعة وتسعة في تقاطعهما. كان بإمكاننا استبعاد الخيار (د) مباشرة؛ لأن المجموعة ﺱ هنا تحتوي على الأعداد واحد واثنين وثلاثة وسبعة وتسعة. وتحتوي المجموعة ﺹ على سبعة وتسعة. وبينما يظهر العددان سبعة وتسعة في كلتا المجموعتين، فإن المجموعات المنفردة غير صحيحة.

سنتناول الآن سؤالًا آخر حيث لدينا مجموعة تمثل مجموعة جزئية من مجموعة أخرى.

باستخدام شكل فن الآتي، أوجد عناصر المجموعة ﺱ.

في هذا الشكل، لدينا الدائرة ﺹ داخل الدائرة ﺱ، والتي تقع داخل المربع ﻉ. وبما أن الدائرة ﺹ تقع بالكامل داخل الدائرة ﺱ، فيمكننا القول إن ﺹ مجموعة جزئية من ﺱ. يعني هذا أن جميع القيم في المجموعة ﺹ ستكون موجودة أيضًا في المجموعة ﺱ. يمكن كتابة المجموعة ﺹ باستخدام قوسين معقوفين كما هو موضح. وهي تتضمن الأعداد أو العناصر ثلاثة وخمسة وستة. يمكن كتابة هذه الأعداد بأي ترتيب. في هذا السؤال، ما يعنينا هو العناصر الموجودة في المجموعة ﺱ.

بما أن ﺹ مجموعة جزئية من ﺱ، فلا بد أن يتضمن ﺱ جميع الأعداد الموجودة في المجموعة ﺹ وهي ثلاثة وخمسة وستة. لدينا أيضًا العددان الإضافيان واحد وتسعة داخل الدائرة ﺱ لكنهما ليسا في الدائرة ﺹ. العناصر في المجموعة ﺱ هي ثلاثة وخمسة وستة وواحد وتسعة. مرة أخرى، يمكن كتابة هذه الأعداد بأي ترتيب. وعلى الرغم من أنه ليس مطلوبًا منا أن نفعل ذلك في هذا السؤال، يمكننا أيضًا كتابة المجموعة ﻉ. يتضمن ذلك جميع العناصر الموجودة داخل ﺱ، أي ثلاثة وخمسة وستة وواحد وتسعة، إلى جانب العدد اثنين الذي يقع خارج المجموعة ﺱ، ولكنه موجود داخل المجموعة ﻉ.

يطلب منا السؤال الأخير تحديد شكل فن الصحيح الذي يمثل المجموعات الثلاث.

إذا كان ﺱ يساوي مجموعة الأعداد ستة وصفر وثلاثة وسبعة وثمانية، وﺹ يساوي مجموعة الأعداد ثمانية وثلاثة وخمسة واثنان، وﻉ يساوي مجموعة الأعداد ثمانية وصفر وواحد وأربعة وخمسة، فما شكل فن الذي يمثل تلك المجموعات؟

قد تكون نقطة البداية في هذا السؤال هي التفكير في المجموعة ﺱ ومعرفة أي الأشكال تحتوي على الأعداد ستة وصفر وثلاثة وسبعة وثمانية. ولكن للأسف، هذا وحده لا يساعد لأن الخيارات الأربعة كلها تحتوي على هذه الأعداد الخمسة. وتحتوي المجموعة ﺹ على الأعداد ثمانية وثلاثة وخمسة واثنين. مرة أخرى، تحتوي الدوائر في الخيارات الأربعة على هذه الأعداد الأربعة. ونعلم أن المجموعة ﻉ تحتوي على الأعداد ثمانية وصفر وواحد وأربعة وخمسة. الخيارات (أ) و(ج) و(د) تحتوي على هذه الأعداد الخمسة الموجودة في الدائرة ﻉ. يعني هذا أنه يمكننا استبعاد الخيار (ب) فقط بناء على نقطة البداية هذه.

في مثل هذه الأسئلة، من المهم جدًّا النظر إلى التقاطعات أو التداخلات بين الدوائر. يكتب رمز التقاطع كما هو موضح. هيا ننظر أولًا إلى الأعداد الموجودة في المجموعات ﺱ وﺹ وﻉ. العدد الوحيد الموجود في المجموعات الثلاث كلها هو ثمانية. يعني هذا أنه يجب أن يكون لدينا العدد ثمانية في نقطة تقاطع الدوائر الثلاث. مرة أخرى، تحقق الخيارات (أ) و(ج) و(د) كلها هذا الشرط. دعونا نفكر في الأعداد التي تظهر في المجموعات ﺱ وﺹ، وﺱ وﻉ، وﺹ وﻉ. العدد الوحيد الذي يظهر في المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ بخلاف العدد ثمانية، هو ثلاثة. هذا يعني أن مجموعة الأعداد في التقاطع بين ﺱ وﺹ هي ثمانية وثلاثة. يجب أن يوجد العدد ثلاثة في التداخل بين المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ.

يتحقق هذا في الخيارين (ج) و(د). لكن في المجموعة (أ) لا يوجد أي عدد في هذا التقاطع، لذا يمكننا استبعاد هذا الخيار. العدد صفر موجود في المجموعتين ﺱ وﻉ. وهذا يعني أن تقاطع ﺱ وﻉ يحتوي على ثمانية وصفر. يجب أن يكون لدينا صفر في التداخل بين ﺱ وﻉ. وينطبق هذا على الخيار (ج)، ولكنه لا ينطبق على الخيار (د)، حيث لا يوجد عدد في التقاطع بين ﺱ وﻉ فقط. وهذا يشير إلى أن الخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة.

سنتحقق من ذلك بالنظر إلى تقاطع ﺹ وﻉ. يوجد العدد خمسة في المجموعة ﺹ والمجموعة ﻉ. ويوجد أيضًا في شكل فن في تقاطع هاتين الدائرتين. يجب أن يحتوي تقاطع المجموعة ﺹ والمجموعة ﻉ على ثمانية وخمسة، وهذا صحيح. إذن، شكل فن الذي يمثل المجموعات الثلاث الموضحة هو الخيار (ج). في هذا النوع من الأسئلة، الجزء الأهم هو النظر إلى تقاطع المجموعات المختلفة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية‎ في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكن كتابة مجموعة الأعداد كما هو موضح. نستخدم الحرف الرقعة لتعريف أي مجموعة. ونستخدم الأقواس المعقوفة في كلا الطرفين. تعرف الأعداد داخل الأقواس المعقوفة بأنها عناصر المجموعة. عرفنا أيضًا في هذا الفيديو أنه يمكن استخدام شكل فن لتحديد المجموعات. ويمكننا مطابقة مجموعة أو مجموعات معطاة مع شكل فن، أو العكس.

في الشكل الموضح، لدينا المجموعات ﺱ وﺹ وﻉ. تحتوي المجموعة ﺱ على العددين ثلاثة وواحد. ويمكن كتابتهما بأي ترتيب. تحتوي المجموعة ﺹ على العناصر أو الأعداد اثنين وأربعة وواحد. تقع الأعداد ثلاثة وواحد وأربعة واثنين، بالإضافة إلى العدد سبعة، في المجموعة ﻉ. وجدنا أن هذا يعني أن المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ مجموعتان جزئيتان من المجموعة ﻉ. فجميع عناصرهما موجودة في المجموعة ﻉ.

كما رأينا أهمية تقاطع مجموعتين أو تداخلهما. في هذا المثال، يوجد العدد واحد في المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ. هذا يعني أنه يجب أن يوجد ضمن تداخل الدائرتين. ومجموعة الأعداد في التقاطع بين ﺱ وﺹ هي واحد. يمكن أن تساعدنا أنواع الأسئلة التي تناولناها في هذا الفيديو على حل المسائل المرتبطة بالاحتمالات.