نسخة الفيديو النصية
صفيحتان منتظمتان مصنوعتان من نفس المادة ضمتا معًا لتكونا جسمًا واحدًا. الصفيحة الأولى عبارة عن المستطيل ﺃﺏﺟﺩ؛ حيث ﺃﺏ يساوي ١٦ سنتيمترًا وﺏﺟ يساوي سبعة سنتيمترات. والصفيحة الثانية عبارة عن المثلث المتساوي الساقين ﺟﻫﺩ؛ حيث ﺩﻫ يساوي ﺟﻫ يساوي ١٧ سنتيمترًا، ويقع الرأس ﻫ خارج المستطيل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة الناتجة، علمًا بأن المستطيل ﺃﺏﺟﺩ يقع في الربع الأول، والنقطة ﺏ تقع عند نقطة الأصل، وتقع النقطة ﺟ على المحور ﺱ.
حسنًا، نلاحظ في هذا الرسم هاتين الصفيحتين. لدينا هنا المستطيل وها هو المثلث. علمنا من السؤال بعض الأبعاد التي يتضمنها الرسم. أخبرنا السؤال أن ﺃﺏ يساوي ١٦ سنتيمترًا. وﺏﺟ يساوي سبعة سنتيمترات. والقطعة المستقيمة ﺩﻫ في المثلث تساوي ١٧ سنتيمترًا، وقد علمنا أنها متطابقة في الطول مع القطعة المستقيمة ﺟﻫ. بمعلومية كل ذلك، نريد إيجاد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة الناتجة. أول ما يمكننا قوله بشأن ذلك هو أن مركز الثقل، في هذه الحالة، يقع عند نقطة مركز كتلة الصفيحة الناتجة.
بما أننا نفترض وجود مجال جاذبية أرضية منتظم لهاتين الصفيحتين، فإنه بإيجاد إحدى الكميتين، نوجد الكمية الأخرى. وبما أن هاتين الصفيحتين، وهما المستطيل والمثلث، مضمومتان معًا، فإننا سنتبع الطريقة الآتية. أولًا: التعامل مع هذين الشكلين بشكل منفصل لإيجاد مركز كتلة كل منهما. وبمجرد معرفة هاتين الكميتين، فإننا سنجمعها لإيجاد مركز الكتلة الكلي للنظام. وكما ذكرنا، سيكون هذا هو نفس مركز ثقل الصفيحة الناتجة. في البداية، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة. يمكننا البدء بالحل لإيجاد مركز كتلة الصفيحة المستطيلة.
تقع هذه النقطة عند الموضع المتوسط للكتلة في المستطيل. وبما أن الصفيحة التي تشكل هذا المستطيل منتظمة، فهذا يعني أن مركز كتلتها سيكون عند منتصف عرضها ومنتصف طولها الكلي. وهذا يعني أن قيمة الإحداثي ﺱ لمركز كتلة المستطيل ستساوي نصف سبعة سنتيمترات، وقيمة الإحداثي ﺹ ستساوي نصف ١٦ سنتيمترًا. لدينا إذن قيمتا الإحداثيات ﺱ وﺹ لمركز كتلة الصفيحة المستطيلة. والآن دعونا نوجد موضع مركز كتلة الصفيحة المثلثية.
ما سنفعله هنا هو الاستعانة بحقيقة أنه في أي مثلث، سواء أكان متساوي الساقين مثل الذي لدينا هنا أم لا، فإنه عندما يكون ذلك المثلث منتظمًا، فإن مركز كتلته يقع عند الموضع المتوسط للإحداثيات ﺱ وﺹ لرءوسه. بعبارة أخرى، إذا أوجدنا قيمتي الإحداثيات ﺱ وﺹ لكل من الرءوس ﺩ، وﻫ، وﺟ، فإن مركز كتلة هذا المثلث في اتجاه المحور ﺱ سيساوي متوسط قيم ﺱ الثلاث هذه. وبالمثل، سيكون مركز كتلته في اتجاه المحور ﺹ هو متوسط قيم ﺹ هذه.
دعونا إذن نوجد إحداثيات هذه الرءوس الثلاثة، وسنبدأ بالرأس ﺩ. وبينما نفعل ذلك سنتجاهل وحدة السنتيمتر للإيجاز. بالنظر إلى إحداثيات الرأس ﺩ، فإننا نعلم أن النقطة ﺏ في المستطيل تقع عند نقطة الأصل لإطار الإحداثيات. يمكننا القول إذن إن إحداثيات الرأس ﺩ هي سبعة في اتجاه المحور ﺱ، و ١٦ في اتجاه المحور ﺹ. إذا تناولنا بعد ذلك إحداثيات الرأس ﺟ، فسنجد أن قيمة الإحداثي ﺱ هنا تساوي سبعة أيضًا، في حين قيمة الإحداثي ﺹ تساوي صفرًا.
أخيرًا، نريد معرفة إحداثيات الرأس ﻫ. بالنسبة إلى الإحداثي ﺱ لهذه النقطة، نلاحظ أن قيمته ستكون سبعة سنتيمترات زائد طول المسافة الموجودة هنا أيًّا يكن. يتضح أن هذه المسافة هي نفسها المسافة التي نسميها ارتفاع المثلث. بعبارة أخرى، إذا كان طول هذا الضلع الممتد من ﺩ إلى ﺟ هو القاعدة، فإن الخط المتقطع يمثل الارتفاع. إذا فكرنا في ذلك الارتفاع باعتباره أحد الأضلاع في مثلث قائم الزاوية، فسنجد أن طولي الضلعين الآخرين هما ثمانية سنتيمترات و ١٧ سنتيمترًا. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن هذا الارتفاع الذي نريد إيجاده يساوي الجذر التربيعي لـ ١٧ تربيع ناقص ثمانية تربيع. وهذا يعطينا ١٥.
إذن، إذا كان هذا البعد في المثلث يساوي ١٥ سنتيمترًا، فإن قيمة الإحداثي ﺱ للرأس ﻫ لا بد أن تساوي ١٥ سنتيمترًا زائد سبعة سنتيمترات. وهذا يساوي ٢٢ سنتيمترًا. والآن يمكننا كتابة قيمة الإحداثي ﺹ لهذا الرأس. بما أننا نتعامل مع مثلث متساوي الساقين، فإن قيمة الإحداثي ﺹ للرأس ﻫ تساوي نصف ارتفاع المستطيل، أي ثمانية سنتيمترات. والآن بعد أن عرفنا إحداثيات رءوس المثلث الثلاثة، أصبحنا مستعدين لإيجاد متوسط قيم ﺱ وﺹ لهذه الرءوس.
متوسط قيم ﺱ يساوي سبعة زائد سبعة زائد ٢٢ مقسومًا على ثلاثة، وهذا يساوي ٣٦ على ثلاثة أو ١٢، أما متوسط قيم ﺹ فيساوي ١٦ زائد صفر زائد ثمانية على ثلاثة. أي ٢٤ على ثلاثة، أو ثمانية. وعليه، فإن إحداثيات مركز كتلة المثلث هما ١٢، ثمانية. والآن بعد أن عرفنا هذه القيمة وكذلك قيمتا إحداثيات مركز كتلة المستطيل، يمكننا القول إن الكتلة الكلية للصفيحتين لدينا تتركز بالفعل عند هاتين النقطتين. تقع كتلة المستطيل فعليًّا هنا وتقع كتلة المثلث هنا.
تذكر الآن أن هدفنا هو إيجاد إحداثيات مركز كتلة النظام بأكمله، أي الصفيحتين معًا. رياضيًّا، يمكننا الآن أن نتعامل مع النظام لدينا بأن هاتين النقطتين تشملان بالفعل كتلتي المستطيل والمثلث، على الترتيب. لحساب مركز الكتلة الكلي للنظام لدينا، فسيكون علينا معرفة الكتلة النسبية لأحد الشكلين بالنسبة إلى الشكل الآخر. لفعل ذلك، سنعتمد على حقيقة أن الصفيحتين اللتين تشكلان هذين الشكلين منتظمتان. وهذا يعني أن النسبة بين مساحتي هذين الشكلين تساوي النسبة بين كتلتيهما.
على سبيل المثال، إذا كانت مساحة المثلث تساوي ضعف مساحة المستطيل، فهذا يعني أن كتلته ستساوي الضعف أيضًا. نظرًا لهذا التناظر بين المساحة والكتلة، ستكون الخطوة التالية هي حساب مساحتي هذين الشكلين. بدءًا بالمستطيل نعلم أن أبعاده سبعة سنتيمترات في ١٦ سنتيمترًا. سبعة في ١٦ يساوي ١١٢، وهي مساحة المستطيل بالسنتيمتر المربع. وبالنسبة إلى مساحة المثلث، بوجه عام، فهي تساوي نصف قاعدة المثلث مضروبة في ارتفاعه. أشرنا هنا إلى هذه المسافة بأنها قاعدة المثلث، وهذه المسافة بأنها ارتفاعه. يمكننا القول إذن إن مساحة المثلث تساوي نصفًا في ١٦ سنتيمترًا مضروبًا في ارتفاع يساوي ١٥ سنتيمترًا. وبضرب هذه القيم معًا، نحصل على الناتج ١٢٠.
نلاحظ إذن أن مساحة المثلث أكبر من مساحة المستطيل. ومن ثم تكون كتلته أكبر بالنسبة نفسها. يمكننا القول إنه إذا كانت كتلة المثلث تساوي ١٢٠ وحدة، فإن المستطيل له ١١٢ من تلك الوحدة نفسها. كل هذا مهم لحساب مركز الكتلة الكلي للنظام لدينا؛ لأنه، بوجه عام، الإحداثي ﺱ لمجموعة من الكتل يساوي مجموع حاصل ضرب كل كتلة في متوسط الإحداثي ﺱ لكل منها الكل مقسوم على مجموع الكتل. في هذه المسألة لدينا كتلتان: كتلة المستطيل، وكتلة المثلث. وكما لاحظنا، فلكل منهما الإحداثي ﺱ الذي أوجدناه سابقًا.
إذن، بتطبيق هذه العلاقة لإيجاد قيمة الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة الكلي للنظام، فإنها ستساوي الكتلة الفعلية للمستطيل، ١١٢، مضروبة في الإحداثي ﺱ لمركز كتلته زائد الكتلة الفعلية للمثلث مضروبة في الإحداثي ﺱ لمركز كتلته الكل مقسوم على مجموع الكتلتين الفعليتين. وهذا يساوي ١٨٣٢ على ٢٣٢، أو بوضعها في أبسط صورة بالكامل:٢٢٩ على ٢٩. يمكننا الآن أن ننتقل إلى حساب قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة الكلي. صيغة حساب ذلك هي نفسها صيغة حساب الإحداثي ﺱ، لكننا سنستخدم الآن متوسط قيمة ﺹ لكل من الكتلتين في النظام لدينا.
بتطبيق هذه العلاقة على المسألة لدينا، نستخدم الكتلة الفعلية للمستطيل مضروبة في الإحداثي ﺹ لمركز كتلة هذا الشكل، ونضيف إليها الكتلة الفعلية للمثلث مضروبة في الإحداثي ﺹ لمركز كتلته. كل هذا مقسوم على مجموع الكتلتين لدينا، وهو ما يساوي ٢٣٢ في ثمانية على ٢٣٢. نلاحظ إذن أن هذا يبسط إلى ثمانية. ومن ثم يمكننا القول إن إحداثيات مركز الكتلة الكلي للنظام هما ٢٢٩ على ٢٩ سنتيمترًا في اتجاه المحور ﺱ، وثمانية سنتيمترات في اتجاه المحور ﺹ. وهذا هو موضع مركز الكتلة الكلي للنظام.
