نسخة الفيديو النصية
إذا كان 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة في أربعة 𝑥 زائد سبعة، و𝑧 يساوي 𝑥 تربيع زائد خمسة 𝑥 زائد تسعة، فأوجد المشتقة الثانية لـ 𝑦 بالنسبة لـ 𝑥 زائد المشتقة الثانية لـ 𝑧 بالنسبة لـ 𝑥.
لحل هذه المسألة، ما علينا فعله هو اشتقاق كل دالة ثم اشتقاقهما مرة أخرى لنحصل على المشتقة الثانية. لذا سأبدأ بالدالة الأولى، وهي 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة في أربعة 𝑥 زائد سبعة.
أول ما علينا فعله هو فك الأقواس. أول حد سنحصل عليه هو 𝑦 يساوي أربعة 𝑥 تربيع؛ لأن لدينا 𝑥 في أربعة 𝑥، ما يعطينا أربعة 𝑥 تربيع. ثم نحصل على موجب سبعة 𝑥؛ لأن لدينا 𝑥 في موجب سبعة، ناقص 28𝑥، حيث كان لدينا سالب سبعة في أربعة 𝑥. وأخيرًا، نحصل على سالب 49. بالتالي حصلنا على أربعة 𝑥 تربيع زائد سبعة 𝑥 ناقص 28𝑥 ناقص 49.
ما يمكننا فعله بعد ذلك هو تبسيط ذلك عن طريق تجميع الحدود المتشابهة. إذن سنحصل على 𝑦 يساوي أربعة 𝑥 تربيع ناقص 21𝑥 ناقص 49. حسنًا، رائع، حصلنا إذن على صورة أسهل كثيرًا في الاشتقاق.
ما سنفعله أولًا هو أن نوجد المشتقة الأولى. باشتقاق أربعة 𝑥 تربيع ناقص 21𝑥 ناقص 49، نحصل على ثمانية 𝑥 ناقص 21. فلنراجع الأمر سريعًا لنعرف سبب حصولنا على ذلك، وذلك بأن ننظر إلى الحد الأول. حسنًا، إذا كان لدينا أربعة في اثنين، وهذا لأن لديك المعامل مضروبًا في الأس، ثم 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية، ثم لدينا اثنان ناقص واحد، حيث تطرح واحدًا من الأس، فيتبقى لنا في النهاية ثمانية 𝑥.
إذن هكذا اشتققنا كل حد. حصلنا إذن على ثمانية 𝑥 ناقص 21 باعتباره المشتقة الأولى. ما نريد فعله الآن هو إيجاد المشتقة الثانية.
والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي بإيجاد d تربيع 𝑦 على d𝑥 تربيع. لكي نفعل ذلك، نشتق ثمانية 𝑥 ناقص 21. وبذلك نحصل على النتيجة ثمانية. وهذا لأن ثمانية 𝑥 مشتقتها ثمانية فقط؛ لأنك، مرة أخرى، إذا ضربت الأس في المعامل، ستحصل على ثمانية في واحد، ما يساوي ثمانية. ثم نطرح واحدًا من القوة الأسية لـ 𝑥. فيتحول 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية واحد إلى 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية صفر، ما يعطينا واحدًا. إذن يتبقى لنا ثمانية فقط؛ لأن اشتقاق سالب 21 يساوي صفرًا.
رائع! لقد أوجدنا d تربيع 𝑦 على d𝑥 تربيع بالنسبة للدالة الأولى. والآن، لننتقل إلى الدالة الثانية.
بالنظر إلى الدالة الثانية، لدينا 𝑧 يساوي 𝑥 تربيع زائد خمسة 𝑥 زائد تسعة. بالتالي، إذا اشتققنا ذلك، سنحصل على d𝑧 d𝑥 يساوي اثنين 𝑥 زائد خمسة. وهذا لأننا، مرة أخرى، نستخدم الطريقة نفسها التي استخدمناها في الجزء السابق. إذن لو اشتققنا الحد الأول، فسيكون لدينا المعامل واحد في اثنين، وهو الأس، ما يعطينا اثنين. ثم نطرح واحدًا من الأس. وبذلك، حصلنا على اثنين 𝑥.
حسنًا، رائع، ها قد أوجدنا ذلك. إذن، مرة أخرى، ما علينا فعله هو إيجاد المشتقة الثانية. ولنفعل ذلك، سنوجد d تربيع 𝑧 على d𝑥 تربيع. وبذلك، سنشتق اثنين 𝑥 زائد خمسة. فيتبقى لنا اثنان فقط.
رائع، لقد أوجدنا الآن بالفعل المشتقة الثانية للدالة 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة في أربعة 𝑥 زائد سبعة، والمشتقة الثانية للدالة 𝑧 يساوي 𝑥 تربيع زائد خمسة 𝑥 زائد تسعة.
والآن، لنعد إلى السؤال، وننظر ماذا علينا أن نفعل بعد ذلك. نرى أنه علينا جمع النتائج.
إذن، ما يمكننا قوله هو أنه إذا كان 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة في أربعة 𝑥 زائد سبعة و𝑧 يساوي 𝑥 تربيع زائد خمسة 𝑥 زائد تسعة، فإن d تربيع 𝑦 على d𝑥 تربيع زائد d تربيع 𝑧 على d𝑥 تربيع يساوي اثنين زائد ثمانية، ما يساوي 10.
