فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل معادلة تربيعية بيانيًّا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ. ما مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا؟

في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ. ومطلوب منا استخدامه لإيجاد مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا. قبل أن نبدأ في الإجابة عن هذا السؤال، يمكننا ملاحظة أن منحنى ﺹ تساوي ﺩﺱ على شكل قطع مكافئ مفتوح لأعلى. وهذا يعني أنه من المرجح أن تكون الدالة ﺩﺱ دالة تربيعية بمعامل رئيسي موجب. ولكن، هذا ليس أمرًا ضروريًّا. ولا نحتاج إلى هذه المعلومة للإجابة عن السؤال. بدلًا من ذلك، يمكننا البدء بتذكر أن مجموعة حل أي معادلة هي مجموعة جميع حلول هذه المعادلة. وفي السؤال لدينا، ستكون مجموعة الحل هي المجموعة المكونة من جميع قيم ﺱ التي تحقق المعادلة ﺩ عند ﺱ يساوي صفرًا.

بعبارة أخرى، نحن نبحث عن جميع قيم ﺱ حيث القيم المخرجة للدالة تساوي صفرًا. ويمكننا إيجاد قيم ﺱ هذه باستخدام الشكل المعطى. لعلنا نتذكر أنه عند تمثيل دالة ما بيانيًّا، فإن الإحداثي ﺱ لأي نقطة على المنحنى يوضح لنا القيمة المدخلة للدالة، والإحداثي ﺹ المناظر له يوضح لنا القيمة المخرجة للدالة. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن النقطة التي إحداثياتها اثنان، خمسة تقع على منحنى ﺹ تساوي ﺩﺱ. الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هو القيمة المدخلة للدالة، والإحداثي ﺹ هو القيمة المخرجة المناظرة لها. وقيمة ﺩ عند اثنين لا بد أن تساوي خمسة.

نريد إيجاد القيم المدخلة للدالة عندما تكون قيمها المخرجة تساوي صفرًا. إذن، نريد إيجاد النقطتين على المنحنى حيث يكون الإحداثي ﺹ يساوي صفرًا. وهو يساوي صفرًا عندما يتقاطع المنحنى مع المحور ﺱ. بعبارة أخرى، حلول هذه المعادلة هي الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ للمنحنى.

يمكننا أن نلاحظ وجود جزأين مقطوعين من المحور ﺱ لهذا القطع المكافئ، وهما سالب ثلاثة وواحد. وعلى وجه التحديد، قيمة ﺩ عند سالب ثلاثة تساوي صفرًا، وقيمة ﺩ عند واحد تساوي صفرًا أيضًا؛ لأن الإحداثي ﺹ لكل من هاتين النقطتين على المنحنى يساوي صفرًا. علينا أن نتذكر أنه من الضروري كتابة ذلك في صورة مجموعة جميع قيم ﺱ التي تحقق المعادلة. إذن، هذه هي المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة وواحد. تجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة تكون صحيحة بصفة عامة. ومن ثم، مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي دائمًا مجموعة الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ لمنحنى الدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ.

بذلك نكون قد تمكنا من إثبات أنه باستخدام التمثيل البياني الموضح في الشكل لـ ﺹ تساوي ﺩﺱ، فإن مجموعة حل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا هي المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة وواحد.