نسخة الفيديو النصية
أوجد القيمتين الصغرى والعظمى للدالة
𝑓 في المتغير 𝜃 تساوي 13 على ستة sin تسعة
𝜃 من خلال رسمها.
يوجد عنصران أساسيان في هذه المسألة. أولًا، علينا أن نتذكر شكل منحنى الدالة
المثلثية، وخصوصًا دالة الجيب. ثانيًا، علينا أن نعرف كيفية تطبيق عدد من
التحويلات الهندسية على هذه الدالة. لنبدأ بالتفكير في منحنى الدالة
𝑓 في المتغير 𝜃 تساوي sin 𝜃.
sin 𝜃 دالة
دورية. وهذا يعني أنها تتكرر بعد مقدار زمني
محدد. وهي تتكرر في هذه الحالة كل 360
درجة. ربما نرغب الآن في رسم دائرة الوحدة
لتساعدنا على تحديد إحداثيات sin 𝜃 الأساسية. في هذه المرحلة، من المفيد معرفة شكل
المنحنى والجزء المقطوع من المحور 𝑦 عن ظهر قلب. Sin صفر يساوي
صفرًا. يمر هذا المنحنى بنقطة الأصل.
يمكننا الآن إضافة المنحنى الموجي التقليدي
المرتبط بدالتي الجيب وجيب التمام، مع التأكد من انتهاء الدورة الكاملة الأولى عند النقطة
360، صفر. تقع القيمتان الصغرى والعظمى لمنحنى دالة
الجيب عندما تساوي الدالة 𝑓 في المتغير 𝜃 واحدًا وسالب واحد. يمكننا العمل بطريقة عكسية من نهاية الدورة
لنعرف أن المنحنى يجب أن يكون له جذر عند نقطة المنتصف، حيث 𝜃 تساوي 180
درجة.
بالتفكير أيضًا في تماثل منحنى دالة الجيب،
يمكننا أن نلاحظ أن القيمة العظمى تقع عند النقطة التي تساوي 𝜃 فيها 90
درجة وأن القيمة الصغرى تقع عند النقطة التي تساوي 𝜃 فيها 270 درجة. وهكذا أصبح لدينا منحنى الدالة
𝑓 في المتغير 𝜃 تساوي sin 𝜃، وربما تريد الآن إيقاف
الفيديو والتفكير في التحويلات الهندسية المطلوبة لحل هذه المسألة. إذا كنت غير متأكد من التحويلات الهندسية
المطلوبة، فيمكنك البحث على موقعنا الإلكتروني عن التحويلات الهندسية للدوال قبل متابعة هذا
الفيديو.
لأي دالة 𝑓 في المتغير
𝑥، يمكننا إكمال التحويلات التالية: 𝑎 مضروبًا في الدالة
𝑓 في المتغير 𝑥 يمثل تمددًا في اتجاه المحور 𝑦 بمعامل
قياس 𝑎؛ والدالة 𝑓 في المتغير 𝑎 مضروبًا في 𝑥
تمثل تمددًا في اتجاه المحور 𝑥 بمعامل قياس واحد على 𝑎. بمقارنة هذا بالدالة المعطاة، نلاحظ أن
دالة الجيب تم تمديدها في اتجاه المحور 𝑦 بمعامل قياس 13 على ستة وفي
اتجاه المحور 𝑥 بمعامل قياس واحد على تسعة.
لنرسم هذا في المنحنى. نرى الآن أن النقطة العظمى تظهر عندما
يساوي 𝑥 واحدًا على تسعة من 90 درجة؛ أي 10 درجات. وتم تمديدها رأسيًا بمعامل قياس
13 على ستة وصولًا إلى قيمة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي
13 على ستة. وبالمثل، النقطة الصغرى تظهر عندما يساوي
𝑥 واحدًا على تسعة من 270 درجة؛ أي 30 درجة. التمديد الرأسي يصل إلى قيمة الدالة
𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب 13 على ستة.
إذن، القيمة الصغرى هي سالب 13
على ستة والقيمة العظمى هي 13 على ستة.
