فيديو السؤال: تحديد النقاط التي لا تمثل حلولًا لنظام من المتباينات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

استخدم التمثيل البياني لتحديد أي من النقاط الآتية ليس حلًا لمجموعة المتباينات الموضحة: ﺹ أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة، وﺹ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة ﺱ، وﺱ أصغر من أو يساوي اثنين. الاختيارات هي: أ) النقطة اثنان، سالب ستة؛ ب) النقطة صفر، صفر؛ ج) النقطة واحد، ستة؛ د) النقطة اثنان، سالب اثنين؛ هـ) النقطة اثنان، اثنان.

لدينا مجموعة من ثلاث متباينات، وحل مجموعة المتباينات هذه لا بد أنه يحقق كل متباينة على حدة. بالتالي فالنقطة المطلوبة هنا هي التي تشذ عن ذلك؛ أي إنها النقطة التي لا تحقق واحدة أو أكثر من هذه المتباينات، ومن ثم لا تحقق مجموعة المتباينات المعطاة.

يمكننا التعويض بقيم الإحداثيين ﺱ وﺹ عن كل نقطة في كل متباينة لنرى ما إذا كانت تحققها، لكن السؤال يطلب منا استخدام التمثيل البياني، لذا فلنفعل ذلك. ما الذي يعنيه تمثيل المتباينة الأولى، ﺹ أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة، على التمثيل البياني؟ حسنًا، إن مجموعة النقاط التي تحقق المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة تكون خطًا على هذا التمثيل البياني.

إننا نبحث عن النقاط التي يكون ﺹ عندها أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة، لذا فلا بد أن هذه النقاط تقع أسفل هذا الخط. ويمكنك التحقق من أن أي نقطة أسفل هذا الخط تحقق بالفعل المتباينة ﺹ أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة، وأن أي نقطة أعلاه تحقق المتباينة ﺹ أكبر من اثنين ﺱ زائد أربعة. ولعلك لاحظت أن المنطقة أسفل هذا الخط داكنة أكثر من المنطقة الموجودة أعلاه، وذلك لأنها مظللة. لتحقيق مجموعة المتباينات، يجب أيضًا أن تحقق المتباينة الثانية وهي ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة ﺱ.

يمكننا رسم الخط ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ. أي نقطة على هذا الخط ستحقق المعادلة ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ، وأي نقطة أسفل الخط ستحقق المتباينة ﺹ أقل من سالب ثلاثة ﺱ. إذن، المتباينة ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة ﺱ تتحقق بأي نقطة على الخط أو أعلاه. وأخيرًا، لدينا المتباينة ﺱ أقل من أو يساوي اثنين. هذا هو الخط ﺱ يساوي اثنين. أي نقطة على هذا الخط أو إلى يساره تحقق المتباينة ﺱ أقل من أو يساوي اثنين.

منطقة الحل هي المنطقة التي تتحقق فيها جميع المتباينات، وهذا يعني أننا لا بد أن نكون أسفل الخط البرتقالي وأعلى الخط البنفسجي وعلى يسار الخط الأخضر. يمكننا الآن تظليل هذه المنطقة باللون الأزرق. تذكر أننا نبحث عن النقطة التي ليست حلًا لمجموعة المتباينات، أي التي لا تقع داخل المنطقة التي ظللناها. لننظر إلى النقطة اثنين وسالب ستة.

إنها تقع عند أحد رءوس المنطقة المظللة. السؤال هو عما إذا كانت تقع داخل منطقة الحل أم لا. بما أن الخطين اللذين تقع عليهما النقطة متصلان، وليسا متقطعين، إذن نقول إن النقطة داخل المنطقة. اتصال هذين الخطين يخبرنا أن المتباينتين المرتبطتين بهما تشملانهما، وهما ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة ﺱ، وﺱ أقل من أو يساوي اثنين. فبما أن كلا المتباينتين تحتوي على «يساوي»، فإن النقاط على هذين الخطين تحقق المتباينتين، وسنرسم الخطين متصلين لنذكر أنفسنا بذلك.

بما أن ﺃ تقع في منطقة الحل، فهي ليست الإجابة. ننتقل إلى النقطة ﺏ. ‏ﺏ هي النقطة صفر، صفر، التي يمكننا تمييزها على التمثيل البياني. مرة أخرى، هذه هي حدود منطقة الحل، لذا علينا التفكير بحرص بشأن ما إذا كانت هذه النقطة داخلة فيها أم لا. ولكن بما أنها تقع على خط متصل وليس متقطعًا، فهي داخلة فيها. من الواضح أن هذه النقطة تقع أسفل الخط ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة، وعليه فإنها تحقق المتباينة ﺹ أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة.

وبالمثل، من الواضح أن هذه النقطة تقع على يسار الخط ﺱ يساوي اثنين، وعليه فإنها تحقق المتباينة ﺱ أقل من أو يساوي اثنين. ويتبقى فقط أن ننظر إلى المتباينة ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ثلاثة ﺱ. نظرًا لأن النقطة تقع على الخط ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ، فهي تحقق المتباينات الثلاث معًا. ننتقل إلى النقطة واحد، ستة، التي يمكننا وضعها على التمثيل البياني. تقع هذه النقطة على حدود منطقة الحل أيضًا، والسؤال: هل تحقق المتباينات الثلاث معًا؟

لاحظ أن هذه النقطة تقع على الخط ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة، وهو خط متقطع. إنه متقطع لأنه يمثل علاقة اللامساواة الصارمة التي تعبر عنها المتباينة ﺹ أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة. وبما أن هذه المتباينة تعبر عن لامساواة صارمة، فإن النقاط التي على هذا الخط لا تحقق المتباينة، وقد جعلنا الخط متقطعًا لنوضح ذلك. بما أن هذه النقطة تقع على هذا الخط المتقطع، فإنها لا تحقق المتباينة.

بالتالي، الإجابة هي أن النقطة واحد، ستة ليست حلًا لمجموعة المتباينات المعطاة، لأنها لا تحقق المتباينة الأولى، ﺹ أقل من اثنين ﺱ زائد أربعة. ويمكننا التحقق من أن النقطتين الأخريين، النقطة ﺩ، وهي اثنان، سالب اثنين، والنقطة ﻫ، وهي اثنان، اثنان، تحققان المتباينات الثلاث معًا. يمكنك أن ترى أنهما تقعان على الخط ﺱ يساوي اثنين، وهذا الخط متصل، ومن ثم فهو جزء من منطقة الحل.