فيديو السؤال: استخدام حساب المثلثات لكتابة الأعداد المركبة في الصورة القطبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

فيما يلي شكل بياني. أي مما يلي يمثل العلاقة بين ﺃ وﻝ و𝜃 بطريقة صحيحة؟ هل هي (أ) ﺃ يساوي ‎ﻝ ظا 𝜃، أم (ب) ﺃ يساوي ‎ﻝ جا 𝜃، أم (ج) ﺃ يساوي ‎جتا 𝜃 مقسومًا على ﻝ، أم (د) ﺃ يساوي ‎ﻝ جتا 𝜃، أم (هـ) ﺃ يساوي ‎جا 𝜃 على ﻝ؟

تعرف الصورة ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ بالصورة الديكارتية وأحيانًا بالصورة الجبرية للعدد المركب ﻉ. وعلينا إيجاد طريقة لتمثيل المركبتين الحقيقية والتخيلية لهذا العدد بدلالتي ﻝ و𝜃، حيث يعرف ﻝ بمقياس العدد المركب وتعرف 𝜃 بالسعة. لننظر إلى المثلث القائم الزاوية بالأضلاع ﺃ وﺏ وﻝ. يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد مقدار يعبر عن ﺃ بدلالة ﻝ و𝜃.

بتسمية المثلث كما هو موضح، نجد أنه لإيجاد مقدار ﺃ بدلالة ﻝ و𝜃، علينا إيجاد النسبة المثلثية التي تربط الضلع المجاور بالوتر. وهي نسبة جيب تمام الزاوية؛ ‎جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور على الوتر. بالتعويض بما نعرفه عن أبعاد المثلث في هذه الصيغة، نحصل على ‎جتا 𝜃 يساوي ﺃ على ﻝ. لتكوين معادلة لـ ﺃ بدلالة ﻝ و𝜃، سنضرب الطرفين في ﻝ. وعند القيام بذلك، نحصل على ‎ﻝ جتا 𝜃 يساوي ﺃ.

ويخبرنا هذا بالصيغة التي تصف بطريقة صحيحة العلاقة بين ﺃ وﻝ و𝜃. وهي (د): ﺃ يساوي ‎ﻝ جتا 𝜃.

أي مما يلي يمثل العلاقة بين بين ﺏ وﻝ و𝜃 بطريقة صحيحة؟ هل هي (أ) ﺏ يساوي ‎ﻝ جا 𝜃، أم (ب) ﺏ يساوي ‎جتا 𝜃 مقسومًا على ﻝ، أم (ج) ﺏ يساوي ‎ﻝ جتا 𝜃، أم (د) ﺏ يساوي ‎جا 𝜃 على ﻝ، أم (هـ) ﺏ يساوي ‎ﻝ ظا 𝜃 ؟

دعونا نسترجع العملية التي أجريناها من قبل. ولكن هذه المرة، علينا إيجاد مقدار ﺏ بدلالة ﻝ و𝜃. ‏‏ﺏ هو الضلع المقابل في المثلث. لأنه الضلع المقابل للزاوية المحصورة 𝜃. إذن، علينا إيجاد النسبة التي تربط الضلع المقابل بالوتر. إنها نسبة جيب الزاوية؛ ‎جا 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الوتر. بالتعويض بما نعرفه عن أبعاد المثلث في هذه الصيغة، نحصل على ‎جا 𝜃 يساوي ﺏ على ﻝ.

مرة أخرى، يمكننا ضرب طرفي هذه المعادلة في ﻝ لنحصل على ‎ﻝ جا 𝜃 يساوي ﺏ. ويعني هذا أن الصيغة التي تصف بطريقة صحيحة العلاقة بين ﺏ وﻝ و𝜃 هي (أ): ﺏ يساوي ‎ﻝ جا 𝜃.

إذن، عبر عن ﻉ بدلالة ﻝ و𝜃. نعرف صيغة العدد المركب في الصورة الديكارتية أو الجبرية وهي: ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. كما أن لدينا الآن مقداري ﺃ وﺏ بدلالتي ﻝ و𝜃. إذن، دعونا نعوض بهذه القيم في مقدار العدد المركب ﻉ. ‏‏ﻉ يساوي ‎ﻝ جتا 𝜃 زائد ‎ﻝ جا 𝜃 مضروبًا في ﺕ. يمكننا تحليل كل من ‎ﻝ جتا 𝜃 و‎ﻝ جا 𝜃 مضروبًا في ﺕ، حيث يوجد بينهما العامل المشترك ﻝ.

إذن، يمكننا كتابة ﻉ على الصورة ﻝ مضروبًا في ‎جتا 𝜃 زائد ‎ﺕ جا 𝜃. وبذلك، نكون قد عبرنا عن ﻉ بدلالتي ﻝ و𝜃. قد ترى أحيانًا أن هذه الصورة تسمى بالصورة المثلثية أو الصورة القطبية.