فيديو الدرس: ضرب الأعداد العشرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سنتعلم كيف نضرب الأعداد العشرية المكونة من عدة أرقام. يمكننا ضرب الأعداد العشرية باستخدام نفس الطرق المستخدمة لضرب الأعداد الكلية. في هذا الفيديو، سنتناول ثلاث طرق مختلفة: الطريقة الرأسية، وطريقة الضرب الشبكي للصفوف والأعمدة، وطريقة الضرب الشبكي بالأقطار. وجدير بالملاحظة أن جميع طرق ضرب الأعداد الكلية يمكن استخدامها أيضًا لضرب الأعداد العشرية.

دعونا نبدأ بتعريف العدد العشري. العدد العشري هو عدد يحتوي على علامة عشرية. والأرقام الموجودة على يسار العلامة العشرية تمثل الجزء الكلي من العدد. والأرقام التي تقع على يمين العلامة العشرية تمثل الجزء العشري من العدد. يمكننا تناول هذا بمزيد من التفصيل باستخدام أعمدة القيمة المكانية. في هذا المثال، لدينا على يسار العلامة العشرية أعمدة الألوف والمئات والعشرات والآحاد. وعلى يمين العلامة العشرية، لدينا الأجزاء من عشرة، والأجزاء من مائة، والأجزاء من ألف.

إذا نظرنا إلى العدد ٤٧٣٦٫٥٢٨، فسنجد أن الأرقام الموجودة على يسار العلامة العشرية، أي ٤٧٣٦، تمثل الجزء الكلي. والأرقام خمسة، واثنان، وثمانية؛ تمثل الجزء العشري. لدينا خمسة من عشرة، وجزءان من مائة، وثمانية أجزاء من ألف. قبل تناول الطرق الثلاثة المختلفة التي ذكرناها، سننظر في بعض القواعد العامة حول كيفية ضرب الأعداد العشرية. أول خطوة هي إزالة العلامة العشرية من الأعداد التي نريد ضربها واعتبارها أعدادًا كلية. بعد ذلك، علينا ضرب هذه الأعداد الكلية باستخدام طريقة الضرب المفضلة لدينا.

كما ذكرنا من قبل، سنتناول أمثلة نستخدم فيها طريقة الضرب الشبكي للصفوف والأعمدة، وطريقة الضرب الشبكي بالأقطار، وطريقة الضرب الرأسي. وأخيرًا، نعيد العلامة العشرية إلى الناتج. سيكون عدد المنازل العشرية في الناتج مساويًا للعدد الكلي للمنازل العشرية في الأعداد الأصلية في المسألة. إذا كان هناك إجمالي ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية في المسألة، فإن الناتج سيتضمن ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية. وسنتناول الآن بعض الأمثلة على ضرب عددين عشريين.

احسب ٠٫٣٩ مضروبًا في ٥٫٦.

سنحل هذه المسألة باستخدام الضرب الشبكي للصفوف والأعمدة. الخطوة الأولى هي إزالة العلامات العشرية. وبالتالي، تصبح العملية الحسابية هي ٣٩ مضروبًا في ٥٦. والخطوة الثانية هي ضرب الأعداد الكلية. وسنفعل ذلك كما ذكرنا باستخدام الضرب الشبكي للصفوف والأعمدة. نقسم كلا العددين إلى جزء العشرات وجزء الآحاد أو الوحدات المكونين لهما. العدد ٣٩ يصبح ٣٠ وتسعة، والعدد ٥٦ يصبح ٥٠ وستة. بعد ذلك علينا إجراء أربع عمليات ضرب.

أولًا، نضرب ٥٠ في ٣٠. خمسة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٥. وبإضافة الصفرين فإن ٥٠ مضروبًا في ٣٠ يساوي ١٥٠٠. ثم نضرب ٥٠ في تسعة. خمسة مضروبًا في تسعة يساوي ٤٥. إذن ٥٠ مضروبًا في تسعة يساوي ٤٥٠. بعد ذلك، نضرب ستة في ٣٠. وهذا يساوي ١٨٠؛ لأن ستة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٨. وأخيرًا، ستة مضروبًا في تسعة يساوي ٥٤. هذا يعني أن حاصل ضرب ٣٩ في ٥٦ هو ناتج جمع كل من ١٥٠٠، و٤٥٠، و١٨٠، و٥٤. ‏١٥٠٠ زائد ١٨٠ يساوي ١٦٨٠. ‏٤٥٠ زائد ٥٤ يساوي ٥٠٤. وبجمع هاتين القيمتين نحصل على ٢١٨٤. وبالتالي، فإن ٣٩ مضروبًا في ٥٦ يساوي ٢١٨٤.

الخطوة الأخيرة هي إعادة العلامة العشرية. تذكر أن عدد المنازل العشرية في الناتج يساوي العدد الكلي للمنازل العشرية في المسألة. العدد ٠٫٣٩ يحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية. والعدد ٥٫٦ يحتوي على رقم واحد بعد العلامة العشرية. اثنان زائد واحد يساوي ثلاثة. لذا، يجب أن يحتوي الناتج على ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية. الأرقام واحد، وثمانية، وأربعة؛ ستكون كلها بعد العلامة العشرية. وبالتالي، يمكننا القول إن ٠٫٣٩ مضروبًا في ٥٫٦ يساوي ٢٫١٨٤.

ننتقل الآن إلى المثال الثاني الذي سنستخدم فيه طريقة مختلفة.

احسب ٠٫٧١ مضروبًا في ٠٫٥٣.

سنحل هذه العملية الحسابية باستخدام الضرب الشبكي بالأقطار. الخطوة الأولى عند ضرب عددين عشريين هي إزالة العلامات العشرية. في هذا السؤال، تصبح العملية الحسابية ٧١ في ٥٣. ثم علينا ضرب العددين الكليين. وفي هذه الحالة، كما ذكرنا، سنستخدم الضرب الشبكي بالأقطار. لاستخدام طريقة الضرب الشبكي بالأقطار، نرسم شبكة ونكتب أرقام العددين المطلوب إيجاد حاصل ضربهما، بدءًا من أعلى الشبكة نزولًا إلى الجانب الأيمن منها. في هذه الحالة، لدينا الرقمان سبعة وواحد أعلى الشبكة، والرقمان خمسة وثلاثة على اليمين.

نرسم خطوطًا قطرية في كل خانة في الشبكة. وفي كل من مدخلات الشبكة، نحسب حاصل ضرب الرقم الموجود أعلى الشبكة والرقم الموجود على الجانب الأيمن. يمكننا البدء بضرب السبعة في الخمسة. سبعة مضروبًا في خمسة يساوي ٣٥. نكتب الثلاثة في النصف العلوي والخمسة في النصف السفلي. سبعة مضروبًا في ثلاثة يساوي ٢١. وبالتالي، نكتب الاثنين في النصف العلوي والواحد في النصف السفلي.

بعد ذلك، علينا ضرب الواحد في الخمسة. واحد مضروبًا في خمسة يساوي خمسة. وبما أنه أقل من ١٠، نكتب صفرًا في الجزء العلوي وخمسة في الجزء السفلي. واحد مضروبًا في ثلاثة يساوي ثلاثة. مرة أخرى، نكتب صفرًا في الجزء العلوي وثلاثة في الجزء السفلي. ولإيجاد الناتج باستخدام طريقة الضرب الشبكي بالأقطار، نجمع الأرقام الموجودة في الشبكة على امتداد الأقطار.

الخط القطري الأول يحتوي فقط على العدد ثلاثة. الخط القطري الثاني يحتوي على خمسة، وصفر، وواحد. مجموع هذه الأعداد يساوي ستة. الخط القطري الثالث يحتوي على صفر، وخمسة، واثنين. صفر زائد خمسة زائد اثنين يساوي سبعة. الخط القطري الأخير أيضًا يحتوي فقط على ثلاثة. وعند قراءة العدد باتجاه هذا السهم، نجد أن الناتج هو ٣٧٦٣. وبالتالي، يمكننا القول إن ٧١ مضروبًا في ٥٣ يساوي ٣٧٦٣.

الخطوة الأخيرة لحساب ٠٫٧١ مضروبًا في ٠٫٥٣، هي إعادة العلامة العشرية. تذكر أن عدد المنازل العشرية في الناتج يساوي العدد الكلي للمنازل العشرية في المسألة. العدد ٠٫٧١ يحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية. والعدد ٠٫٥٣ يحتوي أيضًا على رقمين بعد العلامة العشرية. بما أن اثنين زائد اثنين يساوي أربعة، فإن الإجابة ستحتوي على أربعة أرقام بعد العلامة العشرية. إذن، الأرقام الأربعة: ثلاثة، وسبعة، وستة، وثلاثة، ستقع كلها بعد العلامة العشرية. وبالتالي، يمكننا أن نستنتج أن ٠٫٧١ مضروبًا في ٠٫٥٣ يساوي ٠٫٣٧٦٣.

أثارت هذه المسألة نقطة مهمة علينا الانتباه إليها عند ضرب الأعداد العشرية. عندما نضرب عددين عشريين كلاهما أقل من واحد، تكون الإجابة أقل من واحد أيضًا.

ننتقل الآن إلى مثال ثالث نستخدم فيه طريقة مختلفة.

احسب ٧٫١٠٦ مضروبًا في ٠٫٢٩.

سنحل هذه المسألة باستخدام طريقة الضرب الرأسي. عند ضرب عددين عشريين معًا، الخطوة الأولى هي إزالة العلامات العشرية. في هذه المسألة، تصبح العملية الحسابية ٧١٠٦ مضروبًا في ٢٩. الخطوة التالية هي ضرب الأعداد الكلية. في هذه الحالة كما ذكرنا، سنستخدم طريقة الضرب الرأسي.

نبدأ بضرب العدد الموجود في الأعلى في الرقم الموجود في خانة الآحاد في العدد السفلي. نضرب ٧١٠٦ في تسعة. تسعة مضروبًا في ستة يساوي ٥٤. نكتب الأربعة في خانة الآحاد ونحتفظ بالخمسة. تسعة مضروبًا في صفر يساوي صفرًا. وعند إضافة العدد خمسة الذي احتفظنا به نحصل على خمسة. تسعة مضروبًا في واحد يساوي تسعة.

وأخيرًا، تسعة مضروبًا في سبعة يساوي ٦٣. إذن، ٧١٠٦ مضروبًا في تسعة يساوي ٦٣٩٥٤. الخطوة التالية هي ضرب العدد ٧١٠٦ في ٢٠. لأننا نضرب في ٢٠، نكتب صفرًا في خانة الآحاد ثم نضرب في اثنين. اثنان مضروبًا في ستة يساوي ١٢. نكتب الاثنين في خانة العشرات، ونحتفظ بالواحد. اثنان مضروبًا في صفر يساوي صفرًا. وبإضافة الواحد الذي احتفظنا به نحصل على واحد. اثنان مضروبًا في واحد يساوي اثنين. وأخيرًا، اثنان مضروبًا في سبعة يساوي ١٤. إذن، ٧١٠٦ مضروبًا في ٢٠ يساوي ١٤٢١٢٠.

والخطوة الأخيرة لإيجاد حاصل ضرب ٧١٠٦ في ٢٩ هي جمع هذين الصفين. أربعة زائد صفر يساوي أربعة. وخمسة زائد اثنين يساوي سبعة. وتسعة زائد واحد يساوي ١٠، وعلينا الاحتفاظ بالواحد. ثلاثة زائد اثنين زائد الواحد الذي احتفظنا به يساوي ستة. ستة زائد أربعة يساوي ١٠. وأخيرًا، واحد زائد واحد يساوي اثنين. إذن، ٧١٠٦ في ٢٩ يساوي ٢٠٦٧٤. الخطوة الأخيرة هي إعادة العلامات العشرية.

ومن المهم هنا أن نتذكر أن عدد المنازل العشرية في الناتج يساوي العدد الكلي للمنازل العشرية في المسألة. العدد ٧٫١٠٦ يحتوي على ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية. والعدد ٠٫٢٩ يحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية. هذا يعني أن الناتج سيحتوي على خمسة أرقام بعد العلامة العشرية. إذن، ٧٫١٠٦ مضروبًا في ٠٫٢٩ يساوي ٢٫٠٦٠٧٤. الناتج الذي حصلنا عليه يتضمن خمس منازل عشرية.

سنتناول الآن حالة مختلفة، حيث يكون معطى لدينا حاصل ضرب عددين كليين.

إذا كان ٢٢٥ مضروبًا في ٢٤٨ يساوي ٥٥٨٠٠، فكم يساوي ٢٫٢٥ مضروبًا في ٢٤٫٨؟

قبل محاولة إيجاد الناتج، علينا تذكر إحدى الحقائق الأساسية المتعلقة بضرب الأعداد العشرية. وهي أن حاصل ضرب عددين عشريين سيحتوي على عدد من المنازل العشرية يساوي مجموع المنازل العشرية في العددين الأصليين. العدد ٢٫٢٥ يحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية. والعدد ٢٤٫٨ يحتوي على رقم واحد بعد العلامة العشرية. وهذا يعني أن الناتج سيحتوي على ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية. عدد الأرقام في العملية الحسابية الأصلية: ٢٢٥ و٢٤٨، هو نفسه عدد الأرقام في العملية الحسابية الجديدة. هذا يعني أن الأرقام التي في الناتج هي خمسة، وخمسة، وثمانية، وصفر، وصفر.

كما ذكرنا من قبل، لا بد أن يكون لدينا ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية. وهذا يعني أن ٢٫٢٥ مضروبًا في ٢٤٫٨ يساوي ٥٥٫٨٠٠. يمكننا إعادة كتابة ذلك بإهمال الصفرين الأخيرين. وبالتالي يصبح الناتج ٥٥٫٨. هناك طريقة بديلة لحل هذا السؤال، وهي التفكير في كيفية استخدام العددين الأصليين للوصول إلى العددين اللذين في العملية الحسابية الثانية. ‏٢٢٥ مقسومًا على ١٠٠ يساوي ٢٫٢٥. ‏٢٤٨ مقسومًا على ١٠ يساوي ٢٤٫٨. وهذا يعني أننا قسمنا جزأي العملية الحسابية على ١٠٠ وعلى ١٠.

القسمة على ١٠٠ ثم القسمة على ١٠ هي نفسها القسمة على ١٠٠٠. وبقسمة ٥٥٨٠٠ على ١٠٠٠ تعطينا مرة أخرى ٥٥٫٨٠٠. فعند القسمة على ١٠٠٠، تتحرك جميع الأرقام ثلاث منازل نحو اليمين. وهذا يؤكد أن ٢٫٢٥ مضروبًا في ٢٤٫٨ يساوي ٥٥٫٨.

هذا النوع من المسائل الذي يعطى فيه حاصل ضرب عددين كليين، بحيث يمكن استخدامه لإيجاد حاصل ضرب عددين عشريين، عادة ما يأتي في الاختبارات. ونفعل ذلك من خلال إيجاد عدد المنازل العشرية التي يجب أن يحتوي عليها الناتج.

دعونا الآن نلخص النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس حول ضرب الأعداد العشرية. أولًا، يمكننا ضرب الأعداد العشرية باستخدام نفس الأساليب التي نستخدمها لضرب الأعداد الكلية. في هذا الدرس، تناولنا طريقة الضرب الرأسي، وطريقة الضرب الشبكي بالأقطار، وطريقة الضرب الشبكي للصفوف والأعمدة.

عندما نضرب الأعداد العشرية، نتعامل أولًا مع الأعداد باعتبارها أعدادًا كلية من خلال إزالة العلامات العشرية. وبعد أن نضرب العددين، نعيد العلامة العشرية إلى الناتج، بحيث يكون عدد المنازل العشرية فيه هو نفسه مجموع عددها في الأعداد الأصلية.