فيديو الدرس: مساحات المضلعات المتشابهة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول الأشكال المتشابهة والعلاقة بين مساحاتها.

دعونا ننظر أولًا فيما يعنيه مصطلح الأشكال المتشابهة. التعريف موضح على الشاشة. يكون الشكلان متشابهين أولًا إذا كانا بالصورة نفسها، أي كلاهما مربع أو مستطيل أو مثلث على سبيل المثال. ثانيًا عندما تكون أطوال الأضلاع المتناظرة في هذين الشكلين بالنسبة نفسها. هذا يعني أنه في المثلث على سبيل المثال، يجب أن تكون النسبة بين قاعدتي المثلثين مساوية للنسبة بين ارتفاعي المثلثين.

لننظر إلى مثال على ذلك باستخدام المستطيلات. حسنًا، المستطيلان على الشاشة هنا هما مستطيلان متشابهان. ويمكنك معرفة ذلك إذا نظرت إلى النسبة بين أطوال أزواج الأضلاع المتناظرة. إذا نظرت إلى عرض كل من المستطيلين أولًا، أي اثنين وثلاثة، فهذا يعطينا ما يعرف بالنسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة اثنين إلى ثلاثة.

وإذا نظرت إلى البعدين الآخرين للمستطيلين، أربعة وستة، فستعلم أن النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة تساوي أربعة إلى ستة. وبالطبع يمكن تبسيط ذلك بقسمة جزأي هذه النسبة على اثنين. وإذا فعلت ذلك، فستجد أن ذلك يبسط إلى النسبة نفسها اثنين إلى ثلاثة. ولأن النسبة بين أطوال أزواج الأضلاع المتناظرة هي نفسها اثنان إلى ثلاثة عند التبسيط، فهذا يعني أن المستطيلين متشابهان.

في هذا الفيديو، نريد النظر تحديدًا في العلاقة بين مساحات هذه الأشكال المتشابهة. لذلك سأحسب المساحتين. ولأن الشكلين مستطيلان، وهذا شيء واضح. علي فقط أن أضرب طول كل منهما في عرضه. لدينا ثمانية سنتيمترات مربعة في المستطيل الأول و١٨ سنتيمترًا مربعًا في المستطيل الثاني.

لنستخدم إذن هاتين المساحتين لكتابة النسبة بين مساحتي المستطيلين. إذن، النسبة بين المساحتين تساوي ثمانية إلى ١٨، ولكن يبسط ذلك أيضًا لأنه، مرة أخرى، يمكن قسمة جزأي النسبة على اثنين. نستنتج من هذا أن النسبة بين المساحتين بعد التبسيط تساوي أربعة إلى تسعة. تتمثل النقطة الأساسية الآن في علاقة ذلك بالنسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة، كما تتذكر، هي اثنان إلى ثلاثة، والنسبة بين المساحتين هي أربعة إلى تسعة. وربما لاحظت أن هناك علاقة بين مجموعتي الأعداد هذه، وهي علاقة تربيعية. حيث إن اثنين تربيع يساوي أربعة وثلاثة تربيع يساوي تسعة. هناك طريقة أخرى لكتابة هذه النسبة بين المساحتين، وهي اثنان تربيع إلى ثلاثة تربيع.

إن وجود هذه العلاقة ليس مصادفة. فهي علاقة توضيحية لقاعدة عامة عند النظر في مساحات الأشكال المتشابهة. وهذه القاعدة هي: إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع شكلين متشابهين هي ﺃ إلى ﺏ، فإن النسبة بين مساحتيهما هي ﺃ تربيع إلى ﺏ تربيع. تنطبق هذه القاعدة دائمًا عند التعامل مع الأشكال المتشابهة. وسنرى الآن كيف يمكننا استخدامها لحل بعض المسائل.

إليك أول مسألة.

لدينا شكل مضلع، وهو في الواقع مستطيل، على شبكة إحداثيات. ومطلوب منا إيجاد مساحة مضلع مشابه، حيث ﺃ شرطة ﺩ شرطة يساوي ستة.

دعونا ننظر إذن إلى المستطيل لدينا في البداية. طول القاعدة من ﺃ إلى ﺏ يساوي وحدتين. وطول الضلع الرأسي من ﺃ إلى ﺩ يساوي ثلاث وحدات. إذن يمكننا كتابة هذين القياسين. يمكننا كذلك إيجاد مساحة هذا المستطيل، وهي تساوي اثنين في ثلاثة. ما يعطينا ست وحدات مربعة.

لننظر الآن إلى المضلع الثاني. تخبرنا المسألة أن المضلع مشابه، ولكنها تخبرنا أن طول ﺃ شرطة ﺩ شرطة يساوي ستة. في حين أن طول الضلع ﺃﺩ في المضلع الحالي يساوي ثلاث وحدات. هذا يعني أنه يمكننا كتابة النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة لهذين المضلعين. إذن باستخدام طولي هذا الزوج من الأضلاع المتناظرة، تكون النسبة ثلاثة إلى ستة. بالطبع يمكن تبسيط هذه النسبة. حيث يمكن قسمة جزأيها على ثلاثة. وهكذا تكون النسبة المبسطة بين أطوال الأضلاع المتناظرة هي واحد إلى اثنين. يعني ذلك من الناحية العملية أن جميع أطوال المضلع المكبر أكبر مرتين من أطوال المضلع الحالي.

نريد الآن أن نعرف مساحة المضلع الأكبر. لذا علينا تذكر القاعدة العامة التي تعرفنا عليها مسبقًا بشأن العلاقة بين النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة والنسبة بين المساحتين. تذكر أن القاعدة هي: إذا كانت النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة هي ﺃ إلى ﺏ، فإن النسبة بين المساحتين تساوي ﺃ تربيع إلى ﺏ تربيع. هذا يعني أنه يمكن استخدام النسبة المعلومة بين أطوال الأضلاع المتناظرة لإيجاد النسبة بين المساحتين. فكل ما علينا فعله هو تربيع جزأي النسبة. إذن، النسبة بين المساحتين هي واحد تربيع إلى اثنين تربيع، وهو ما يساوي بالتأكيد واحدًا إلى أربعة.

يعني ذلك أن مساحة هذا المضلع الكبير تساوي أربعة أضعاف مساحة المضلع الصغير. بذلك يكون لدينا جميع المعطيات اللازمة لحساب مساحة هذا المضلع المشابه. مساحة المضلع الصغير تساوي ست وحدات مربعة. وإذا كان هذا المضلع أكبر أربع مرات، فيجب ضرب ستة في أربعة. إذن مساحة هذا المضلع تساوي ستة في أربعة، ما يعطينا بالتأكيد ٢٤ وحدة مربعة.

لنراجع سريعًا ما فعلناه. استخدمنا زوجًا من أطوال الأضلاع المتناظرة لكتابة النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. ثم استخدمنا القاعدة العامة لتحويل ذلك إلى نسبة بين المساحتين من خلال تربيع الطرفين. ولأننا نعرف مساحة المضلع الصغير، استخدمناها مع النسبة بين المساحتين لإيجاد مساحة المضلع الكبير.

تقول المسألة التالية التي سننظر فيها إن أطوال الأضلاع المتناظرة لمضلعين متشابهين تساوي ١٨ سنتيمترًا و٢٥ سنتيمترًا. مساحة المضلع الصغير تساوي ٤٨٦ سنتيمترًا مربعًا، والمطلوب منا هو إيجاد مساحة المضلع الكبير.

فلنفكر إذن في كيفية التعامل مع ذلك. لدينا زوج من الأضلاع المتناظرة، ما يعني أنه يمكننا البدء بكتابة نسبة الطول بين هذين الضلعين المتشابهين. لدينا هنا نسبة الطول. نسبة الطول هي ١٨ إلى ٢٥، ولا يمكن التبسيط أكثر من ذلك. مطلوب منا المساحة، لذا علينا إيجاد النسبة بين المساحتين. تذكر القاعدة العامة التي تنص على ضرورة تربيع الطرفين لإيجاد النسبة بين المساحتين. إذن، النسبة بين المساحتين هي ١٨ تربيع إلى ٢٥ تربيع. هذا يساوي ٣٢٤ إلى ٦٢٥، وهو ما لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك.

لنستخدم النسبة بين المساحتين هذه لإيجاد مساحة المضلع الكبير. سنسمي المضلع بحرف ما. وليكن ﺃ. تعني هذه النسبة أننا إذا قسمنا مساحة المضلع الكبير، وهي ﺃ، على مساحة المضلع الصغير، وهي ٤٨٦، فستكون المساحتان بالنسبة ٣٢٤ إلى ٦٢٥. ما يعني أننا سنحصل على الناتج نفسه إذا قسمنا ٦٢٥ على ٣٢٤. ما فعلته هنا هو صياغة معادلة يمكن حلها فيما بعد لإيجاد مساحة هذا المضلع الكبير باستخدام النسبة بين المساحتين التي نعلمها.

الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي ضرب طرفيها في ٤٨٦؛ حيث هذا هو المقام في الطرف الأيمن. إذن لدينا ٦٢٥ على ٣٢٤ مضروبًا في ٤٨٦. وإذا أوجدنا قيمة ذلك بالوحدات، فسنجد أن مساحة المضلع الكبير تساوي ٩٣٧٫٥ سنتيمترًا مربعًا.

وكما جرت العملية نفسها في المثال السابق: كتبنا النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة أولًا، ثم قمنا بتربيع الطرفين للحصول على النسبة بين المساحتين. ولكن الاختلاف البسيط عن المثال السابق أننا ضربنا المساحة في أربعة حيث كانت النسبة واحدًا إلى أربعة. غير أن النسبة هذه المرة أكثر تعقيدًا نوعًا ما، لذا علينا تحويلها إلى علاقة كسرية واستخدام ذلك لكتابة معادلة ثم حل هذه المعادلة لإيجاد المساحة المجهولة. حسنًا، لننظر إلى نوع آخر من المسائل.

نعرف أن المضلعين بالأسفل متشابهان. ومطلوب منا حساب قيمة ﺱ. ‏‏ﺱ هو الطول المجهول في المضلع الصغير.

لننظر إذن إلى ما نعرفه. ليس لدينا زوج من أطوال الأضلاع المتناظرة هذه المرة. بل لدينا مساحتان متناظرتان. لأن المساحتين تساويان ٣٥ و٣١٥ سنتيمترًا مربعًا. إذن سنتعامل مع هذه المسألة بطريقة مختلفة نوعًا ما. فبدلًا من كتابة النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة للبدء بها، سنكتب النسبة بين المساحتين.

إذن، النسبة بين هاتين المساحتين هي ٣٥ إلى ٣١٥. يمكن تبسيط ذلك لأنه يمكن قسمة الطرفين على ٣٥. هذا يعطينا النسبة بين المساحتين واحدًا إلى تسعة. سنعمل بطريقة عكسية باستخدام النسبة بين المساحتين هذه لإيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. لذا تذكر القاعدة العامة التي عرفناها مسبقًا. تنص القاعدة على أنه أيًا كانت نسبة الطول، فيجب تربيع جزأيها للحصول على النسبة بين المساحتين.

سنعمل الآن بطريقة عكسية باستخدام النسبة بين المساحتين لإيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. وللعمل بطريقة عكسية، علينا إيجاد الجذر التربيعي للطرفين بدلًا من تربيعهما. النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة الطول تساوي الجذر التربيعي لواحد إلى الجذر التربيعي لتسعة، وهو ما يعطينا واحدًا إلى ثلاثة. نستنتج من هذا أن جميع أطوال أضلاع المضلع الكبير تساوي ثلاثة أمثال أطوال أضلاع المضلع الصغير.

وإذا أردنا صياغة ذلك في معادلة لتوضيح ما فعلناه في المثال السابق مرة أخرى. فسنقول إننا إذا قسمنا ﺱ على ١٨، وهو زوج الأضلاع المتناظرة، فسنحصل على الناتج نفسه إذا قسمنا واحدًا على ثلاثة. هذا فيما يتعلق باستخدام نسبة الطول ثلث. بذلك، يمكن حل هذه المعادلة بضرب الطرفين في ١٨. ومن ثم ﺱ يساوي ستة. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك دون الحاجة إلى كتابة المعادلة، وهي أنه بما أن النسبة واحد إلى ثلاثة فقط، فيمكنني إذن قسمة ١٨ على ثلاثة فنحصل بذلك على القيمة ستة. يختلف الأمر قليلًا في هذا المثال. إذ علينا البدء بنسبة المساحة ثم العمل بطريقة عكسية من خلال حساب الجذر التربيعي لإيجاد نسبة الطول التي نريدها.

تقول المسألة الأخيرة إن الشكلين ﺱ وﺹ متشابهان والنسبة بين أضلاعهما تساوي خمسة إلى أربعة. إذا ضربنا طول كل ضلع في ثلاثة، فكم ستكون النسبة بين مساحتي كل من الشكلين المكبرين؟

ربما تشعر أنك تعرف الحل، أو ربما تعتقد أن ثمة بعض التفاصيل التي أغفلتها. دعونا إذن نستعرض الحل لنعرف كيف يمكن تناول ذلك. لدينا بالفعل النسبة بين أطوال أضلاع كل من الشكلين ﺱ وﺹ. وهي خمسة إلى أربعة. هذا يعني أنه للحصول على النسبة بين مساحتي ﺱ وﺹ قبل ضرب أطوال الأضلاع في ثلاثة والتكبير، سنقوم بتربيع طرفي هذه النسبة، وهي ستساوي ٢٥ إلى ١٦.

لنفكر الآن فيما يحدث إذا ضربنا أطوال الأضلاع في ثلاثة. خمسة وأربعة لا يمثلان طولين بالضرورة، ولكن هذه مجرد النسبة بينهما. لكن إذا ضربنا في ثلاثة، فستكون النسبة ١٥ إلى ١٢. هناك نقطة مهمة هنا. نظرًا لأننا ضربنا الأطوال في ثلاثة، حصلنا على النسبة ١٥ إلى ١٢ التي تساوي عند تبسيطها خمسة إلى أربعة مرة أخرى. ضرب أطوال الأضلاع في ثلاثة لا يؤثر بأي حال على النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة، لأننا كبرنا الشكلين معًا.

بذلك، فإن النسبة بين مساحتي هذين الشكلين المكبرين تساوي النسبة بين مساحتي الشكلين الأصليين. إذن، ما زالت النسبة ٢٥ إلى ١٦. ربما تكون قد فكرت في هذا الحل بالفعل. ولكن إذا لم تكن فكرت في هذا الحل، فآمل أن تعرف السبب في ذلك أثناء الحل. النقطة الأساسية في هذا المثال أنه إذا طلبت منك المسألة مضاعفة أطوال أضلاع كل من الشكلين المتشابهين أو ضربها في ثلاثة، فإن ذلك لا يؤثر على النسبة بين أطوال الأضلاع ومن ثم لا يؤثر على النسبة بين المساحتين أيضًا. إذن يمكنك استخدام النسب الأصلية المعطاة فقط.

خلاصة القول، رأينا العلاقة بين النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة والنسبة بين المساحات المتناظرة للأشكال المتشابهة. وكيفية تطبيق ذلك لإيجاد مساحة شكل مشابه. كما رأينا كيفية تطبيق ذلك لإيجاد طول ضلع مجهول من خلال العمل بطريقة عكسية باستخدام النسبة بين المساحات لإيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.