فيديو السؤال: إيجاد صيغة مضاعفات الزاوية لجيب التمام الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

عبر عن جتا ستة 𝜃 بدلالة قوى جا 𝜃 وجتا 𝜃.

في هذا السؤال، علينا إيجاد مقدار يعبر عن جتا ستة 𝜃 بدلالة قوى جا 𝜃 وجتا 𝜃. لدينا بعض الخيارات للقيام بذلك. على سبيل المثال، يمكننا كتابة جتا ستة 𝜃 على الصورة جتا ثلاثة 𝜃 زائد ثلاثة 𝜃، ثم استخدام صيغة جمع الزوايا لجيب التمام لإيجاد مقدار يعبر عن جتا ستة 𝜃 بدلالة الزاويتين ثلاثة 𝜃. يمكننا بعد ذلك تكرار هذه العملية حتى نحصل على مقدار بدلالة جا 𝜃 وجتا 𝜃. وستنجح هذه الطريقة وتؤدي بنا إلى الإجابة الصحيحة. لكن هناك طريقة أبسط تتضمن استخدام نظرية ديموافر.

لعلنا نتذكر أن جزءًا من نظرية ديموافر ينص على أنه لأي قيمة عدد صحيح ﻥ وعدد حقيقي 𝜃، فإن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل مرفوعًا للقوة ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ في جا ﻥ𝜃. ويمكننا استخدام ذلك لإيجاد مقادير للدوال المثلثية عند المضاعفات الصحيحة لـ 𝜃. على سبيل المثال، نريد في هذا السؤال إيجاد مقدار يعبر عن جتا ستة 𝜃. إذن، سنجعل قيمة ﻥ تساوي ستة. وبجعل قيمة ﻥ تساوي ستة في هذه الصورة من نظرية ديموافر وتبديل طرفي المعادلة، نحصل على جتا ستة 𝜃 زائد ﺕ جا ستة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ستة.

لكن هذا المقدار لا يعبر عن جتا ستة 𝜃، كما أنه ليس بدلالة قوى جا 𝜃 وجتا 𝜃. لذا، علينا إعادة كتابة هذا المقدار. وللقيام بذلك، علينا ملاحظة أن لدينا في الطرف الأيسر من المعادلة مجموع قيمتين مرفوعًا لأس. وهو مقدار ذو حدين؛ لذا يمكننا توزيع الأس على الحدين داخل القوسين باستخدام صيغة ذات الحدين. لعلنا نتذكر أن هذه الصيغة تنص على أنه لأي عدد صحيح موجب ﻥ، فإن ﺃ زائد ﺏ الكل مرفوعًا للقوة ﻥ يساوي المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ مرفوعًا للقوة ﺭ مضروبًا في ﺏ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص ﺭ.

وبذلك يمكننا توزيع الأس ستة على الطرف الأيسر من المعادلة باستخدام مفكوك ذات الحدين. ونجد أن هذا يساوي ستة توافيق صفر في جتا أس ستة 𝜃 زائد ستة توافيق واحد في جتا أس خمسة 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 زائد ستة توافيق اثنين في جتا أس أربعة 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 الكل تربيع زائد ستة توافيق ثلاثة في جتا تكعيب 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 الكل تكعيب. ونستمر في إضافة حدود بهذه الصورة حتى نصل إلى ستة توافيق ستة في ﺕ جا 𝜃 الكل أس ستة. نلاحظ أننا بدأنا نقترب من الحل. وأصبح لدينا الآن مقدار بدلالة قوى جا 𝜃 وجتا 𝜃. لكن هذا المقدار لا يعبر عن جتا ستة 𝜃، ويمكننا تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة.

سنبسط إذن الطرف الأيسر من المعادلة حدًّا تلو الآخر. في الحد الأول، لدينا ستة توافيق صفر يساوي واحدًا. إذن، الحد الأول هو جتا أس ستة 𝜃. وفي الحد الثاني، لدينا ستة توافيق واحد يساوي ستة. تذكر أن لدينا العامل ﺕ، وبذلك يكون الحد الثاني هو ستة ﺕ جتا أس خمسة 𝜃 مضروبًا في جا 𝜃. وفي الحد الثالث، لدينا ستة توافيق اثنين يساوي ١٥، ويمكننا توزيع التربيع على الحد داخل القوسين لنحصل على ﺕ تربيع في جا تربيع 𝜃. لكن تذكر أن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد، إذن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وبهذا، يمكن تبسيط الحد الثالث ليصبح سالب ١٥جتا أس أربعة 𝜃 مضروبًا في جا تربيع 𝜃.

يمكننا اتباع الخطوات نفسها لتبسيط الحدود الأربعة المتبقية من المفكوك لدينا. وبهذا، نحصل على سالب ٢٠ﺕ جتا تكعيب 𝜃 في جا تكعيب 𝜃 زائد ١٥جتا تربيع 𝜃 في جا أس أربعة 𝜃 زائد ستة ﺕ جتا 𝜃 في جا أس خمسة 𝜃 ناقص جا أس ستة 𝜃. تذكر أنه وفقًا لنظرية ديموافر، نحن نعلم أن هذا يساوي جتا ستة 𝜃 زائد ﺕ جا ستة 𝜃. لكننا لم ننته بعد. تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد مقدار يعبر عن جتا ستة 𝜃 فقط. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، نلاحظ أن لدينا عددًا مركبًا يحتوي على جزء حقيقي وهو جتا ستة 𝜃. ومن ثم، يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن جتا ستة 𝜃 بأخذ الأجزاء الحقيقية من طرفي المعادلة. ولا بد أن تكون متساوية.

في الطرف الأيسر من المعادلة، ستكون الأجزاء الحقيقية هي الحدود التي لا تتضمن العامل ﺕ. إذن بمساواة الأجزاء الحقيقية في طرفي المعادلة، نحصل على الإجابة النهائية. ‏جتا ستة 𝜃 يساوي جتا أس ستة 𝜃 ناقص ١٥جتا أس أربعة 𝜃 في جا تربيع 𝜃 زائد ١٥جتا تربيع 𝜃 مضروبًا في جا أس أربعة 𝜃 ناقص جا أس ستة 𝜃.