نسخة الفيديو النصية
تحتوي حقيبة على ١٣ كرة بيضاء و١١ كرة سوداء. إذا سحبت كرتان على التوالي دون إحلال، فما احتمال أن تكونا بيضاوين؟
إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي رسم مخطط الشجرة البيانية. وبما أنه سحبت كرتان ملونتان فقط، فإن الكرة الأولى قد تكون بيضاء أو سوداء، والكرة الثانية قد تكون بيضاء أو سوداء. هذا يعني أن لدينا أربعة نواتج ممكنة. يمكننا سحب كرتين بيضاوين، أو كرة بيضاء ثم كرة سوداء، أو كرة سوداء ثم كرة بيضاء، أو كرتين سوداوين.
في هذا السؤال، علينا أن نحسب احتمال أن تكون الكرتان بيضاوين. هذا يعني أننا مهتمون بالمسار العلوي فقط، والذي يتضمن كرتين بيضاوين. وبما أن هناك ١٣ كرة بيضاء و١١ كرة سوداء، فإن العدد الإجمالي هو ٢٤ كرة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء هو ١٣ على ٢٤. وبما أن الكرة لم تجر إعادتها، فهذا يعني أنه كانت هناك ٢٣ كرة في الحقيبة عند سحب الكرة الثانية. وبما أن الكرة التي اختيرت أولًا كانت بيضاء، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية أيضًا بيضاء هو ١٢ على ٢٣؛ لأن هناك ١٢ كرة بيضاء متبقية و٢٣ كرة إجمالًا.
إننا نعلم أن قاعدة «التقاطع» في الاحتمالات تعني الضرب. ونريد هنا حساب احتمال أن الكرة الأولى كانت بيضاء والكرة الثانية كانت بيضاء. هذا يعني أن علينا ضرب ١٣ على ٢٤ في ١٢ على ٢٣. ١٢ و٢٤ يقبلان القسمة على ١٢. إذن يمكننا إجراء الاختصار التبادلي. بضرب البسطين ١٣ وواحد معًا، نحصل على ١٣. وبضرب المقامين معًا، نحصل على ٤٦. إذن، احتمال أن تكون الكرتان بيضاوين هو ١٣ من ٤٦.
يمكننا إكمال مخطط الشجرة البيانية، كما هو موضح، على الرغم من أن ذلك غير مطلوب في هذا السؤال. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه الاحتمالات لحساب احتمال سحب كرة بيضاء ثم كرة سوداء، أو كرة سوداء ثم كرة بيضاء، أو كرتين سوداوين. هذه الاحتمالات تساوي ١٤٣ على ٥٥٢، و١٤٣ على ٥٥٢ مرة أخرى، و٥٥ على ٢٧٦ على الترتيب.
