فيديو السؤال: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان لهما احتمالان؛ حيث احتمال ﺃ يساوي خمسة أسباع، واحتمال ﺏ يساوي أربعة أسباع. إذا كان احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ستة أسباع، فأوجد احتمال ﺃ ناقص ﺏ.

أول شيء نفعله هو توضيح ما تعنيه المعطيات باستخدام بعض الأشكال. سنبدأ أولًا باحتمال وقوع الحدث ﺃ. لدينا احتمال وقوع ﺃ يساوي خمسة أسباع. وتمثله الدائرة اليمنى بالكامل المظللة باللون الوردي في شكل فن. ومن ثم، تعبر هذه الدائرة عن المساحة التي تمثل احتمال وقوع الحدث ﺃ.

لدينا احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي أربعة أسباع. وتمثله الدائرة اليسرى المظللة هنا باللون الوردي. وأخيرًا، لدينا احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ستة أسباع.

الرمز U في الصيغة يعني اتحادًا. وهذا يعني كل العناصر التي تقع في المجموعة ﺃ أو ﺏ. أوضحنا ذلك هنا لأن لدينا هاتين الدائرتين المظللتين. حسنًا، هذه هي جميع المعطيات لدينا. لكن ما الذي نحاول إيجاده؟

حسنًا، نحن نحاول إيجاد احتمال ﺃ ناقص ﺏ. فدعونا نتناول ما يعنيه ذلك. إذا حاولنا إيجاد احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺏ، فسيكون لدينا هذه الدائرة، وهي ﺃ. لكننا نريد بعد ذلك طرح الدائرة المظللة، وهي ﺏ. هذا يعني أننا سنحذف هذا الجزء الأوسط. فيتبقى لدينا المساحة التي ظللتها باللون الأزرق، وهي احتمال ﺃ ناقص ﺏ. نحذف هذا التقاطع؛ لأن هذا هو الجزء الوحيد من الدائرة ﺃ المشترك مع الدائرة ﺏ أيضًا. هذا رائع. لكن كيف نحسب ذلك؟

لدينا قاعدة. وهي تنص على أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وهذا هو ما أوضحناه. وذلك لأن ﺃ تقاطع ﺏ هو الجزء الموجود في المنتصف. ومن ثم، فهو الجزء الذي يقع في منتصف كلتا الدائرتين، أي التداخل.

أصبح لدينا هذه القاعدة. فهيا نتناولها. لكن هناك مشكلة واحدة. نحن لا نعرف احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. لذا، سنستخدم قاعدة أخرى. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

عند التعويض بالقيم التي نعرفها، نحصل على ستة أسباع يساوي خمسة أسباع زائد أربعة أسباع ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وبذلك نحصل على ستة أسباع يساوي تسعة أسباع ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكننا إذن ملاحظة أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ سيساوي ثلاثة أسباع. نحسب ذلك ببساطة إذا كان لدينا ستة أسباع يساوي تسعة أسباع ناقص قيمة ما.

تسعة أسباع ناقص ثلاثة أسباع يساوي ستة أسباع. وهذه هي طريقة حساب ذلك. يمكننا بدلًا من ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة كما نفعل مع أي معادلة أخرى ثم إضافة احتمال ﺃ تقاطع ﺏ إلى الطرفين، ثم طرح ستة أسباع من الطرفين.

سنستخدم الآن القاعدة الموضحة بالأعلى لإيجاد احتمال ﺃ ناقص ﺏ. إذن، نحصل على احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي خمسة أسباع ناقص ثلاثة أسباع. وذلك لأنه يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وعليه، يمكننا القول إننا قد حللنا المسألة. وأوجدنا أن احتمال ﺃ ناقص ﺏ يساوي سبعين.