فيديو السؤال: كتابة الدوال التربيعية بصيغة رأس المنحنى

نسخة الفيديو النصية

ما صيغة رأس المنحنى للدالة د ﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد خمسة؟

لكتابة هذه الدالة بصيغة رأس المنحنى، علينا إكمال المربع. وخطوتنا الأولى هي أن نضم الحدين الأولين معًا. ثم علينا أن نجعل المعامل الرئيسي موجبًا؛ وإذ إن هناك علامة سالب، علينا استخراجها كعامل مشترك. ومن ثم، بمجرد استخراج علامة السالب من سالب ﺱ تربيع، فإنه يصبح موجب ﺱ تربيع. وعند استخراج علامة السالب من ستة ﺱ، فإنه يصبح سالب ستة ﺱ.

والآن علينا استخدام صيغة ما. إذن ﺃ هو المعامل الرئيسي، وقيمته واحد، وﺏ قيمته سالب ستة، و𝑐 قيمته خمسة. وعلينا أخذ ﺏ على اثنين، ثم تربيعه. لذا، نعوض بسالب ستة عن ﺏ، وسالب ستة على اثنين يساوي سالب ثلاثة، وسالب ثلاثة تربيع يساوي تسعة. ونضيف التسعة الآن إلى ما بين القوسين. لكن علينا الحفاظ على توازن المعادلة. وبما أن هناك سالبًا في البداية، فهذا إذن سالب تسعة. ومن ثم، إذا أضفنا سالب تسعة إلى المعادلة، فعلينا إذن إضافة موجب تسعة في المقابل، حتى تظل المعادلة متوازنة، وهو ما فعلناه هنا.

ونسمي ذلك عملية إكمال المربع، إذ علينا الحصول على قيمة مربعة. وما بين القوسين سيكون قيمة مربعة بالفعل. العددان اللذان حاصل ضربهما تسعة، ومجموعهما سالب ستة، هما سالب ثلاثة وسالب ثلاثة. يمكننا إذن استبدال ما هو بين القوسين بـ ﺱ ناقص ثلاثة في ﺱ ناقص ثلاثة. ويمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة ﺱ ناقص ثلاثة تربيع. ثم خمسة زائد تسعة في الخارج يساوي ١٤.

والآن قد وصلنا إلى صيغة رأس المنحنى. ومن ثم، فإن الدالة د ﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص ثلاثة تربيع زائد ١٤ ستكون هي الناتج النهائي لدينا. والسبب في تسميتها «صيغة رأس المنحنى» أن هذين العددين سيمثلان موضع رأس المنحنى. وثلاثة تعبر عن قيمة ﺱ، لأن الصيغة هي ﺱ ناقص ثم أي عدد نكتبه. إذن ﺱ سيصبح ثلاثة، وﺹ سيصبح ١٤. ولذا، فسيكون رأس المنحنى لهذه الدالة — في حال تمثيلها بيانيًّا — عند النقطة ثلاثة و١٤.