فيديو السؤال: إيجاد قيمة اللوغاريتمات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ما قيمة لوغاريتم ٣٢ جذر اثنين للأساس جذر اثنين؟

حسنًا، أول ما علينا فعله مع هذا المقدار، هو القليل من التبسيط. ولكي نفعل ذلك، فإننا سنحول كل شيء إلى الصورة الأسية. حسنًا، أول ما يمكننا فعله هو استخدام إحدى قواعد الأسس. وتخبرنا هذه القاعدة أنه إذا كان لدينا جذر ﺃ، فإن هذا يساوي ﺃ أس نصف. ومن ثم نحصل على: لوغاريتم للأساس اثنين أس نصف.

بعد ذلك، يمكننا النظر إلى العدد ٣٢. حسنًا، بما أننا حصلنا على القيم الأخرى في صورة اثنين أس عدد ما، علينا إذن تغيير ٣٢ إلى اثنين أس عدد ما. ما يمكننا ملاحظته هو أن ٣٢ يساوي اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين. وعليه، يمكننا كتابته على صورة اثنين أس خمسة. بعد ذلك، سنضربه في اثنين أس نصف. وذلك لأنه إذا ألقينا نظرة على جذر اثنين، فسنستخدم القاعدة نفسها التي استخدمناها من قبل. ويمكننا ملاحظة أنه يساوي اثنين أس نصف. هذا رائع. حسنًا، ما الخطوة التالية؟

الآن أصبح بإمكاننا تبسيط اثنين أس خمسة مضروبًا في اثنين أس نصف. وهذا يساوي اثنين أس ١١ على اثنين. وذلك لأنه يمكننا استخدام أحد قوانين الأسس. وينص هذا القانون على أنه إذا كان لدينا ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ فإنه هو نفسه ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. ومن ثم إذا أضفنا خمسة إلى نصف، فسنحصل على خمسة ونصف، وهو ما يساوي ١١ على اثنين أو ١١ نصفًا.

والآن لحل هذه المعادلة وإيجاد قيمة المقدار، سنستخدم إحدى القواعد الأساسية للوغاريتمات. لاحظ أنه إذا كان لدينا لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي ﺱ، وحولناه إلى الصورة الأسية؛ فإنه يمكننا القول إن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ. ومن ثم يمكننا القول إنه إذا جعلنا المعادلة تساوي ﺱ، فسنحصل على: لوغاريتم اثنين أس ١١ للأساس اثنين أس نصف على اثنين يساوي ﺱ. إذن في الصورة الأسية نحصل على: اثنان أس نصف الكل أس ﺱ يساوي اثنين أس ١١ على اثنين.

لذا سنستخدم قاعدة أخرى من قواعد الأسس. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا ﺱ أس ﺃ أس ﺏ، فإن هذا يساوي ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺏ. ومن ثم نحصل على: اثنان أس ﺱ على اثنين يساوي اثنين أس ١١ على اثنين. والآن بما أن العددين لهما الأساس نفسه، فيمكننا معادلة الأسين. وعند فعل ذلك، نحصل إذن على: ﺱ على اثنين يساوي ١١ على اثنين. ومن ثم إذا ضربنا الطرفين في اثنين، فسنحصل على: ﺱ يساوي ١١. وبذلك نكون قد توصلنا إلى حل المسألة. ويمكننا أن نقول إن قيمة لوغاريتم ٣٢ جذر اثنين للأساس جذر اثنين تساوي ١١.

حسنًا، لقد فعلنا ذلك باستخدام إحدى الطرق. وسأوضح لكم طريقة أخرى كان من الممكن استخدامها؛ لأنه كان بإمكاننا اتباع طريقة مختلفة قليلًا. حسنًا، باستخدام هذه الطريقة الأخرى، يكون لدينا المقدار. وبعد ذلك نساويه بـ ﺱ. ثم نطبق القاعدة العامة للوغاريتمات. ونحصل على: جذر اثنين أس ﺱ يساوي ٣٢ جذر اثنين. بعد ذلك، نطبق نفس القاعدتين اللتين بدأنا بهما في الطريقة الأخرى، وهو ما يعني أننا سنحصل على: اثنان أس نصف أس ﺱ يساوي اثنين أس ١١ على اثنين. وبعد ذلك من هذه المرحلة، نتبع الخطوات الأخيرة من الطريقة السابقة. إذن يكون لدينا: اثنان أس ﺱ على اثنين يساوي اثنين أس ١١ على اثنين. وبذلك نحصل على: ﺱ على اثنين يساوي ١١ على اثنين. وأخيرًا، نحصل على: ﺱ يساوي ١١، وهي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها بالطريقة الأولى.

إذن نعرف أن قيمة المقدار هي: ١١.