فيديو السؤال: دراسة جسم في وضع اتزان يرتكز على مستوى أملس مائل بواسطة قوة مائلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسم يزن ٩٠ ثقل كيلوجرامًا وضع على مستوى أملس يميل بزاوية ٣٠ درجة على الأفقي. إذا كان الجسم في وضع اتزان تحت تأثير قوة ﻕ تميل بزاوية ٣٠ درجة على المستوى، فأوجد مقدار كل من ﻕ وﺭ؛ حيث ﺭ رد فعل المستوى على الجسم.

سنبدأ برسم مخطط يمثل هذه الحالة. وضع جسم يزن ٩٠ ثقل كيلوجرامًا على مستوى أملس. وعلمنا من المعطيات أن المستوى يميل بزاوية قياسها ٣٠ درجة. كما علمنا أن الجسم في وضع اتزان تحت تأثير القوة ﻕ. وتميل هذه القوة بزاوية قياسها ٣٠ درجة على المستوى. مطلوب منا حساب مقدار القوة ﻕ ومقدار ﺭ، والذي يمثل رد فعل المستوى على الجسم. وستؤثر قوة رد الفعل في الاتجاه العمودي على المستوى.

في هذا السؤال، لدينا ثلاث قوى تؤثر على نقطة. وبما أن الجسم في وضع اتزان، يمكننا استخدام نظرية لامي لتساعدنا في حل السؤال. تنص هذه النظرية على أنه في حالة وجود ثلاث قوى تؤثر على نقطة ما وتكون في حالة اتزان، فإن كل قوة تتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين الأخريين. فإذا كان لدينا القوى الثلاث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة، فإن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽 يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾، حيث 𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ اثنين وﻕ ثلاثة، و𝛽 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ ثلاثة، و𝛾 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين.

في المخطط لدينا، سنبدأ بحساب قياسات الزوايا المحصورة بين القوى الثلاث. قياس الزاوية المحصورة بين القوة ﻕ وقوة رد الفعل يساوي ٦٠ درجة؛ نظرًا لأن ٩٠ ناقص ٣٠ يساوي ٦٠. وهذه هي الزاوية المناظرة لقوة الوزن. قياس الزاوية المحصورة بين قوة رد الفعل وقوة الوزن هو ١٥٠ درجة؛ لأنه يساوي ٩٠ درجة زائد ٦٠ درجة. وهذه هي الزاوية المناظرة للقوة ﻕ. وأخيرًا، قياس الزاوية المحصورة بين قوة الوزن والقوة ﻕ يساوي ١٥٠ درجة أيضًا؛ لأن مجموع قياسات الزوايا عند نقطة ما لا بد أن يساوي ٣٦٠ درجة. وهذه هي الزاوية المناظرة لقوة رد الفعل ﺭ.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في نظرية لامي. لدينا ﻕ على جا ١٥٠ درجة يساوي ﺭ على جا ١٥٠ درجة يساوي ٩٠ على جا ٦٠ درجة. ‏جا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا. وبما أن القسمة على نصف تماثل الضرب في اثنين، يمكن تبسيط أول جزأين من النسبة إلى اثنين ﻕ واثنين ﺭ‏ ‏‏جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. و٩٠ مقسومًا على جذر ثلاثة على اثنين يساوي ١٨٠ على جذر ثلاثة. يمكننا إنطاق المقام بضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة. وهذا يعطينا ١٨٠ جذر ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٦٠ جذر ثلاثة. اثنان ﻕ واثنان ﺭ كلاهما يساوي ٦٠ جذر ثلاثة. وبقسمة هذا على اثنين، نجد أن ﻕ يساوي ﺭ، ما يساوي ٣٠ جذر ثلاثة.

إذن، يمكننا استنتاج أن مقدار القوة ﻕ يساوي ٣٠ جذر ثلاثة ثقل كيلوجرام، ومقدار قوة رد الفعل ﺭ يساوي أيضًا ٣٠ جذر ثلاثة ثقل كيلوجرام.