فيديو السؤال: استخدام المتطابقات المثلثية لإيجاد قيمة دالة مثلثية تتضمن زوايا خاصة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قا ٣٠٠ درجة دون استخدام الآلة الحاسبة.

سنبدأ بتذكر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام؛ حيث قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. وهذا يعني أن قا ٣٠٠ درجة يساوي واحدًا على جتا ٣٠٠ درجة. بعد ذلك، سنرسم شكلًا لدائرة الوحدة لتحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية التي قياسها ٣٠٠ درجة. نحن نعلم أن أي زاوية في الوضع القياسي تقاس من محور السينات الموجب. وإذا كان قياس الزاوية موجبًا، كما في هذه الحالة، فإننا نقيسها عكس اتجاه عقارب الساعة.

بمعلومية مواضع الزوايا التي قياسها ٩٠، و١٨٠، و ٢٧٠، و٣٦٠ درجة، سنجد أن ٣٠٠ درجة تقع في الربع الرابع. وهذا لأن ٣٠٠ أكبر من ٢٧٠، لكن أصغر من ٣٦٠. ونعرف أن أي نقطة تقع على دائرة الوحدة لها الإحداثيات جتا 𝜃، جا 𝜃. هذا يعني أن النقطة التي يتقاطع عندها الضلع النهائي للزاوية التي تهمنا مع دائرة الوحدة، لها الإحداثيات جتا ٣٠٠ درجة، جا ٣٠٠ درجة. في الربع الرابع، سيكون الإحداثي ﺱ موجبًا والإحداثي ﺹ سالبًا. هذا يعني أن جتا ٣٠٠ درجة لا بد أن تكون موجبة.

لحساب قيمة جتا ٣٠٠ درجة، سنبدأ بتحديد قياس الزاوية المرجعية 𝛼. هذا هو قياس الزاوية الحادة بين الضلع النهائي والمحور ﺱ في الشكل الذي أمامنا. بما أن مجموع قياس الزوايا في الدورة الكاملة يساوي ٣٦٠ درجة، فسيكون لدينا 𝛼 زائد ٣٠٠ درجة يساوي ٣٦٠ درجة. بطرح ٣٠٠ درجة من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على 𝛼 يساوي ٦٠ درجة. إذن الزاوية المرجعية في هذا السؤال تساوي ٦٠ درجة.

بعد ذلك، يمكننا رسم خط عمودي من المحور ﺱ إلى نقطة التقاطع كما هو موضح. وبذلك يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، طول وتره يساوي واحدًا. الضلع المجاور للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة والزاوية القائمة طوله يساوي القيمة المطلقة لـ جتا ٣٠٠ درجة. وبما أن جتا ٣٠٠ درجة موجب، فهذا هو طول الضلع المجاور.

يمكننا الآن استخدام ما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية؛ حيث جتا الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. هذا يعني أن جتا ٦٠ درجة يساوي جتا ٣٠٠ درجة على واحد. الزاوية ٦٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة. ونحن نعلم أن جتا هذه الزاوية يساوي نصفًا. وعليه، فإن جتا ٣٠٠ درجة يساوي أيضًا نصفًا. يمكننا الآن استخدام هذه الاستنتاجات لحساب قيمة قا ٣٠٠ درجة. وهي تساوي واحدًا على نصف، ما يساوي اثنين.

باستخدام هذه المعلومات عن المتطابقات المثلثية والزوايا المرجعية ودائرة الوحدة، نستنتج أن قا ٣٠٠ درجة يساوي اثنين.