نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة حل المعادلة لوغاريتم ﺱ للأساس أربعة زائد ٢٥لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ يساوي ١٠ في مجموعة الأعداد الحقيقية.
للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم أحد قوانين تغيير أساس اللوغاريتمات. ينص هذا القانون على أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ مضروبًا في لوغاريتم ﺟ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ. تطبق هذه القاعدة عندما يكون ﺃ وﺏ وﺟ أعدادًا موجبة ولا يساوي كل من ﺃ وﺏ واحدًا. بالنظر إلى الحدين اللوغاريتميين الواردين في المعادلة، نجد أن لوغاريتم ﺱ للأساس أربعة مضروبًا في لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ يساوي لوغاريتم أربعة للأساس أربعة. وبما أن لوغاريتم ﺃ للأساس ﺃ يساوي واحدًا، إذن هذا يساوي واحدًا أيضًا.
إذا افترضنا أن ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس أربعة، فإن لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ يساوي واحدًا على ﺹ. يمكننا إذن إعادة كتابة المعادلة كلها على الصورة ﺹ زائد ٢٥ مضروبًا في واحد على ﺹ يساوي ١٠. بضرب كل حد في ﺹ، نحصل على ﺹ تربيع زائد ٢٥ يساوي ١٠ﺹ. يمكننا بعد ذلك طرح ١٠ﺹ من كلا طرفي هذه المعادلة، لنحصل على معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا.
يمكننا حل المعادلة ﺹ تربيع ناقص ١٠ﺹ زائد ٢٥ يساوي صفرًا بالتحليل. وهذا يساوي ﺹ ناقص خمسة مضروبًا في ﺹ ناقص خمسة، حيث إن سالب خمسة زائد سالب خمسة يساوي سالب ١٠، وسالب خمسة مضروبًا في سالب خمسة يساوي ٢٥. يوجد للمعادلة التربيعية حل واحد هو ﺹ يساوي خمسة.
بتذكر أن ﺹ كان يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس أربعة، نجد أن لوغاريتم ﺱ للأساس أربعة يجب أن يساوي خمسة. نعلم أنه بما أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية؛ إذن، إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺏ، فإن ﺱ يساوي ﺃ أس ﺏ. وبالتالي ﺱ يساوي أربعة أس خمسة أو أربعة مرفوعًا إلى القوة الخامسة. وهذا يساوي ١٠٢٤.
إذن، مجموعة حل المعادلة لوغاريتم ﺱ للأساس أربعة زائد ٢٥لوغاريتم أربعة للأساس ﺱ يساوي ١٠ هي ١٠٢٤. ويوجد حل حقيقي واحد فقط لهذه المعادلة.
