تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية أساسها عدد صحيح الرياضيات

أوجد قيمة التكامل المحدد من (٣) إلى (٤) لـ ٤^(ﺱ) ﺩﺱ.

٠٨:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة التكامل المحدد من ثلاثة إلى أربعة لأربعة أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

المطلوب منا هنا هو إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية. سنفعل ذلك باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. سنبدأ إذن بتذكر النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. في الواقع، سنتذكر فقط الجزء الذي يتعلق بطريقة إيجاد قيمة التكامل المحدد. وهو ينص على أنه إذا كانت الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، وﻕ شرطة ﺱ تساوي ﺩﺱ، فإن التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي قيمة ﻕ عند ﺏ ناقص قيمة ﻕ عند ﺃ.

بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة التي سنكاملها متصلة على فترة التكامل بأكملها، ولدينا مشتقة عكسية لهذه الدالة التي سنكاملها، فيمكننا إيجاد قيمة التكامل المحدد من خلال إيجاد قيمة المشتقة العكسية عند الحد العلوي للتكامل ناقص قيمة المشتقة العكسية عند الحد السفلي للتكامل. دعونا إذن نحل ذلك خطوة بخطوة. أولًا، نحتاج أن تكون الدالة التي سنكاملها متصلة على فترة التكامل. بالنظر إلى التكامل المحدد في السؤال، يمكننا ملاحظة أن الحد السفلي للتكامل هو ثلاثة، والحد العلوي أربعة. لذا سنساوي ﺃ بثلاثة وﺏ بأربعة. والآن علينا فقط إثبات أن الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة من ثلاثة إلى أربعة.

هناك عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. يمكننا فعل ذلك مباشرة من خلال تعريف أربعة أس ﺱ. لكن من الأسهل إعادة كتابة ذلك بدلالة الدالة الأسية لأننا نعرف الكثير عن اتصال الدالة الأسية. لذا سنعيد كتابة الدالة التي سنكاملها. سنفعل ذلك بتذكر أن أربعة يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لأربعة. باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة الدالة التي سنكاملها على صورة ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لأربعة الكل أس ﺱ. لكن يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير باستخدام قوانين الأسس. نعرف أن هذا يساوي ﻫ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.

والآن يمكننا ملاحظة أن هذه مجرد دالة أسية، ومن ثم نعرف أنها متصلة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. وعلى وجه التحديد، يعني هذا أنها متصلة على الفترة المغلقة من ثلاثة إلى أربعة. والآن لاستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، علينا إيجاد مشتقة عكسية للدالة التي سنكاملها. ومرة أخرى، من الأسهل كتابة ذلك على صورة دالة أسية؛ لأننا نعرف الكثير عن كيفية إيجاد المشتقات العكسية للدوال الأسية. والآن يمكننا محاولة إيجاد المشتقة العكسية باستخدام ما نعرفه عن قواعد المشتقات. لكن في هذه الحالة، بما أننا كتبنا ذلك على صورة دالة أسية، يمكننا استخدام قواعد تكامل الدوال الأسية.

نعلم أنه بالنسبة لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. في هذه الحالة، قيمة الثابت ﺃ هي اللوغاريتم الطبيعي لأربعة، الذي نعلم أنه لا يساوي صفرًا. إذن نحصل على واحد على اللوغاريتم الطبيعي لأربعة في ﻫ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة زائد ثابت التكامل ﺙ. ونعلم الآن أن مشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى ﺱ تساوي الدالة التي سنكاملها. لمعرفة ذلك، قد يكون من المفيد إعادة كتابة النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل بدلالة المتغير ﺱ.

إذن باستخدام قواعد التكامل المحدد، نكون قد أوجدنا المشتقة العكسية العامة للدالة التي سنكاملها. لكننا لسنا بحاجة إلى المشتقة العكسية العامة. نحن بحاجة فقط إلى أي مشتقة عكسية، لذا يمكننا اختيار أي قيمة للثابت ﺙ. سنختار ﺙ يساوي صفرًا. وهذا يعطينا الدالة ﻕﺱ تساوي واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لأربعة في ﻫ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة. نحن الآن جاهزون للبدء في إيجاد قيمة التكامل المحدد. أولًا، باستخدام قوانين اللوغاريتمات وقوانين الأسس، تمكنا من إعادة كتابة الدالة التي سنكاملها لتصبح ﻫ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة. ثم باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، نعلم أن هذا التكامل المحدد يساوي قيمة ﻕ عند أربعة ناقص قيمة ﻕ عند ثلاثة.

وتجدر الإشارة إلى أننا سنلاحظ عادة ذلك مكتوبًا على الصورة الآتية: ﻕﺱ داخل قوسين مربعين حيث يكون حدا التكامل على الجانب. وهذا مجرد ترميز مختصر للسطر أعلاه. وهو يساعدنا في الحفاظ على الأمور منسقة ومرتبة. لكن تذكر أننا أوجدنا تعبيرًا للمشتقة العكسية ﻕﺱ . لذلك سنفرغ بعض المساحة ونكتب التعبير الذي وجدناه لـ ﻕﺱ . كل ما تبقى علينا فعله الآن هو حساب قيمتيه عند حدي التكامل. بفعل ذلك، نحصل على واحد على اللوغاريتم الطبيعي لأربعة في ﻫ أس أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة ناقص واحد على اللوغاريتم الطبيعي لأربعة مضروبًا في ﻫ أس ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.

ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة هذا المقدار. لكن هذا ليس ضروريًّا؛ حيث يمكننا التبسيط من دونها. أولًا، سنستخدم قاعدة الأسس نفسها التي استخدمناها سابقًا. لكننا هذه المرة سنفعل ذلك بطريقة عكسية. سنعيد كتابة الأس الأول على صورة ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لأربعة الكل أس أربعة. وسنعيد كتابة الأس الثاني على صورة ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لأربعة الكل تكعيب. لكن باستخدام قوانين اللوغاريتمات، نعلم أن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لأربعة يساوي أربعة. إذن، يمكن تبسيط هذا المقدار بأكمله لنحصل على أربعة أس أربعة على اللوغاريتم الطبيعي لأربعة ناقص أربعة تكعيب على اللوغاريتم الطبيعي لأربعة.

لكن يمكننا تبسيط ذلك أكثر. فنحن نعلم أن أربعة يساوي اثنين تربيع. ثم باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات، يمكننا القول إن هذا يساوي اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. إذن بدمج هذين الكسرين في كسر واحد وإعادة كتابة المقام على الصورة اثنان في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، نحصل على أربعة أس أربعة ناقص أربعة تكعيب الكل مقسوم على اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. ويمكننا مواصلة التبسيط بالطريقة نفسها، على سبيل المثال بإخراج العامل المشترك أربعة تكعيب الموجود في البسط. لكن إذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ٩٦ مقسوم على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. وهذه هي الإجابة النهائية.

إذن باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وما نعرفه عن التكامل المحدد للدوال الأسية، تمكنا من توضيح أن التكامل المحدد من ثلاثة إلى أربعة لأربعة أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ٩٦ مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.