فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت خاصية بيانية معينة تشير إلى أن الدالة دالة تربيعية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لها حلان، فهل يعني ذلك أن ﺩ دالة تربيعية تقطع المحور ﺱ عند نقطتين؟

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أولًا أنه إذا كانت المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لها حلان هما ﺡ واحد وﺡ اثنين، فإن مجموعة الحل ﻡﺡ تحتوي على عنصرين. هما ﺡ واحد وﺡ اثنان وهما عددان حقيقيان مختلفان. نحن نعلم أن الدالة التربيعية تكون على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، وإذا كانت المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لها حلان هما ﺱ يساوي ﺡ واحد وﺱ يساوي ﺡ اثنين، فإن ﺡ واحد وﺡ اثنين جذران مختلفان للدالة ﺩﺱ. دعونا نفكر فيما يعنيه ذلك بيانيًّا.

نعلم أن التمثيل البياني للدالة التربيعية يأخذ شكل قطع مكافئ، أي أنه عبارة عن منحنى على شكل الحرف ‪U‬‏ أو على شكل الحرف ‪n‬‏. كما أنه متماثل حول خط رأسي. توضح إشارة المعامل الرئيسي ﺃ، أي معامل ﺱ تربيع، إذا ما كان المنحنى على شكل حرف ‪U‬‏ أم على شكل حرف ‪n‬‏. إذا كان ﺃ أقل من صفر، فسيكون المنحنى على شكل حرف ‪n‬‏ كما هو موضح. أما إذا كان ﺃ أكبر من صفر كما هو موضح في التمثيل البياني الثاني، فسيكون المنحنى على شكل حرف ‪U‬‏.

تذكر أيضًا أن عدد حلول المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا يوضح إذا ما كان المنحنى يقطع المحور ﺱ، وإذا كان الأمر كذلك، فكم عدد النقاط التي يقطع عندها المنحنى المحور ﺱ. إذا كان يوجد حلان مختلفان هما ﺡ واحد وﺡ اثنان، فإن الدالة لها جذران مختلفان، ويقطع المنحنى المحور ﺱ مرتين في هذه الحالة. وإذا كان يوجد حل واحد متكرر بحيث ﺩﺱ تساوي ﻙ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺡ واحد تربيع؛ حيث ﻙ لا يساوي صفرًا، فإن المنحنى يقطع المحور ﺱ مرة واحدة فقط، ويمسه عند ﺱ يساوي ﺡ واحدًا. في هذه الحالة نقول إن ﺡ واحدًا جذر متكرر.

إذن، تحتوي مجموعة الحل ﻡﺡ على عنصر واحد فقط، وهو ﺡ واحد. إذا لم توجد حلول حقيقية للمعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا، فإن المنحنى لا يقطع المحور ﺱ، ونقول إن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية.

الآن، سنفرغ بعض المساحة، لقد توصلنا في الواقع إلى أنه إذا كانت ﺩﺱ دالة تربيعية لها منحنى يقطع المحور ﺱ عند نقطتين، فإن المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لها حلان حقيقيان. لكن هذا لا يتطابق تمامًا مع العبارة الواردة في السؤال. في الواقع، العبارة الواردة في السؤال هي عكس ذلك. لنقرأ هذه العبارة مرة أخرى. تنص هذه العبارة على أنه إذا كانت المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لها حلان، فهل يعني ذلك أن ﺩ دالة تربيعية تقطع المحور ﺱ عند نقطتين؟ في الواقع، ثمة دوال أخرى ﺩﺱ ليست دوال تربيعية، لكن لها حلان فقط للدالة ﺩﺱ تساوي صفرًا.

يمكننا أن نرى بعض الأمثلة على هذه الدوال كما هو موضح. نحن نعلم أن المعادلة التربيعية لها نقطة تحول واحدة فقط. لكننا نلاحظ أنه على الرغم من أن كل منحنى من منحنيات الدوال الموضحة يقطع المحور ﺱ عند نقطتين، فإن كلًّا منها يحتوي على أكثر من نقطة تحول، ومن ثم لا يمكن أن تكون دوال تربيعية. بناء عليه، فإن حقيقة أن المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا لها حلان للدالة ﺩﺱ لا تعني بالضرورة أن ﺩﺱ دالة تربيعية. إذن، الإجابة هي لا، قد لا تكون ﺩﺱ دالة تربيعية بالضرورة.