فيديو السؤال: إيجاد الزوايا المرجعية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

صواب أم خطأ (دون استخدام الآلة الحاسبة): جتا سالب ١٢٠ درجة يساوي جتا ٦٠ درجة.

لنبدأ بتذكر أن الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة. وجتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. وهذا يعني أنه للإجابة عن هذا السؤال، علينا معرفة إذا ما كان جتا سالب ١٢٠ درجة يساوي نصفًا أيضًا. سنفعل ذلك برسم دائرة الوحدة، ونتذكر أن أي نقطة تقع على هذه الدائرة، التي نصف قطرها واحد، لها الإحداثيات جتا 𝜃، جا 𝜃.

نعلم أن أي زاوية في الوضع القياسي تقاس من المحور ﺱ الموجب. إذا كان قياس الزاوية موجبًا، فإننا نقيس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وإذا كان قياس الزاوية سالبًا، كما في هذه الحالة، فإننا نقيس في اتجاه دوران عقارب الساعة. بتحديد موقع الزاويتين سالب ٩٠ وسالب ١٨٠ درجة أولًا، يمكننا رسم الزاوية سالب ١٢٠ درجة في الوضع القياسي كما هو موضح. إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها الضلع النهائي للزاوية مع دائرة الوحدة هما جتا سالب ١٢٠ درجة، جا سالب ١٢٠ درجة. وبما أن هذه النقطة تقع في الربع الثالث، فمن الواضح أن الإحداثيين ﺱ وﺹ لها سيكونان سالبين. وهذا يعني أن جتا سالب ١٢٠ درجة لا بد أن يكون سالبًا. بما أن قيمة جتا ٦٠ درجة موجبة، فمن الواضح أن جتا سالب ١٢٠ درجة لا يساوي جتا ٦٠ درجة. وبذلك، يمكننا استنتاج أن العبارة الموجودة في السؤال خطأ.

ويمكننا إجراء خطوة إضافية، وإن كان ذلك ليس مطلوبًا منا في هذا السؤال، بحساب قيمة جتا سالب ١٢٠ درجة. ويمكن فعل ذلك باستخدام المثلث المرسوم في الربع الثالث إلى جانب الرجوع إلى معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة هو القيمة المطلقة لـ «جا سالب ١٢٠ درجة». طول الضلع المجاور للزاوية ٦٠ درجة والزاوية القائمة يساوي القيمة المطلقة لـ «جتا سالب ١٢٠ درجة». وطول الوتر، وهو نصف قطر الدائرة، يساوي وحدة واحدة.

تنص نسبة جيب التمام على أن جتا أي زاوية 𝜃 في المثلث القائم الزاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. هذا يعني أن قيمة جتا ٦٠ في هذا المثلث تساوي القيمة المطلقة لـ «جتا سالب ١٢٠ درجة» على واحد. بما أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا، فإن القيمة المطلقة لـ «جتا سالب ١٢٠ درجة» تساوي نصفًا أيضًا. وبما أن جتا سالب ١٢٠ درجة لا بد أن يكون سالبًا، فإنه يساوي سالب نصف. وفي حين أن المقدارين الموجودين في السؤال غير متساويين، فإن كلًّا منهما هو المعكوس الجمعي للآخر. لكن، بالنسبة إلى هذا السؤال تحديدًا، فهذا يثبت أن الإجابة الصحيحة هي أن العبارة في السؤال خطأ.