نسخة الفيديو النصية
ينتج عن تجربة ما دالة التوزيع الاحتمالي الموضحة للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ. احسب توقع ﺱ.
هذه القيمة هنا هي القيمة المتوقعة لـ ﺱ، التي لدينا صيغة لها. وهي مجموع حواصل ضرب قيم ﺱ مع احتمال أن يأخذ ﺱ هذه القيمة. إذن، في هذه المسألة، توقع ﺱ يساوي اثنين في قيمة الاحتمال عندما يكون ﺱ يساوي اثنين، أي ٠٫١، زائد ثلاثة مضروبًا في قيمة الاحتمال عندما يكون ﺱ يساوي ثلاثة، أي ٠٫٣، زائد أربعة في ٠٫٢ زائد خمسة في ٠٫٤. فكل ناتج محتمل لـ ﺱ يسهم بحد في هذا المجموع. بإيجاد قيمة هذا المجموع، نحصل على ٣٫٩. هذه القيمة هي القيمة المتوقعة لـ ﺱ؛ لأنها تعطينا القيمة المتوسطة لـ ﺱ التي نتوقعها. إذا كررنا التجربة عدد ﻥ من المرات، فسيكون مجموع النواتج حوالي ٣٫٩ في ﻥ.
الجزء التالي من السؤال هو حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع.
تخبرنا هذه الكمية بما نتوقعه لمربع ناتج التجربة في المتوسط. من المهم ملاحظة أن القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ليست هي نفس القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. نضيف تعريف القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع أسفل تعريف القيمة المتوقعة لـ ﺱ. نستخدم تعريف القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع لحسابها في هذا المثال. الناتج الأول، وهو اثنان، نحصل منه على اثنين تربيع في ٠٫١. والناتج الثاني نحصل منه على ثلاثة تربيع في ٠٫٣. ثم نضيف أربعة تربيع في ٠٫٢، وخمسة تربيع في ٠٫٤. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٦٫٣. يمكننا ملاحظة أنه، كما هو معلوم، هذه القيمة تختلف عن القيمة المتوقعة لـ ﺱ، التي وجدنا أنها تساوي ٣٫٩ تربيع.
الجزء الأخير من هذا السؤال يتعلق بإمكانية حساب تباين ﺱ باستخدام الصيغة تباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. احسب تباين ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين.
لقد حسبنا بالفعل القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. وهي تساوي ١٦٫٣. ومن هذه القيمة، علينا طرح القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وهي تساوي ٣٫٩ تربيع. بحساب ذلك بالآلة الحاسبة، نحصل على ١٫٠٩. ومن ثم، لا داعي لتقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين؛ لأنها مقربة بالفعل لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، هذه هي الإجابة: تباين ﺱ يساوي ١٫٠٩.
حسنًا، تعطينا القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ ناتجًا تمثيليًّا أو قيمة متوسطة للمتغير العشوائي. ويوضح لنا تباين ﺱ مدى تشتت النواتج. ولكي نحسب تباين المتغير العشوائي المتقطع ﺱ، فلن نحتاج إلى القيمة المتوقعة لـ ﺱ فقط، بل سنحتاج كذلك إلى القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. من المهم أن نعرف أنها ليست نفس القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وإذا كانت كذلك، فإن تباين المتغير العشوائي المتقطع ﺱ سيساوي دائمًا صفرًا، وفقًا للتعريف. إن تباين المتغير العشوائي المتقطع ﺱ هو ثاني أهم قيمة بعد قيمته المتوقعة. ومن ثم، يتزايد استخدام هذا التباين في الإحصاءات العالية المستوى.
