نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على ﺱ زائد اثنين.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد نهاية خارج قسمة كثيرتي حدود. هذه دالة كسرية. ولعلنا نتذكر أنه يمكننا إيجاد نهاية أي دالة كسرية باستخدام التعويض المباشر. لكن إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في هذه الدالة، فسنحصل على سالب اثنين تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على سالب اثنين زائد اثنين، وعند حساب ذلك، نحصل على صفر مقسومًا على صفر، وهي صيغة غير معينة. لذا، لا يمكننا إيجاد هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر فقط.
بدلًا من ذلك، علينا استخدام طريقة أخرى. إحدى طرق إيجاد قيمة هذه النهاية هي ملاحظة أن سالب اثنين هو جذر لكثيرة الحدود في البسط، وهو أيضًا جذر لكثيرة الحدود في المقام. وباستخدام نظرية الباقي، نستنتج أن ﺱ زائد اثنين هو عامل لكثيرتي الحدود في البسط والمقام. ونعرف بالفعل أن هذا ينطبق على المقام أيضًا. لكن يمكننا استخدام ذلك لتحليل البسط. هناك بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. وإحدى هذه الطرق هي استخدام القسمة الجبرية. فنقسم ﺱ تكعيب زائد ثمانية على ﺱ زائد اثنين.
لكن بما أننا نعلم أنه عند قسمة كثيرة حدود تكعيبية على كثيرة حدود خطية، فإننا نحصل على كثيرة حدود تربيعية، ويمكننا كتابة ذلك على النحو الموضح. ﺱ تكعيب زائد ثمانية يساوي ﺱ زائد اثنين مضروبًا في الدالة التربيعية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. يمكننا بعد ذلك توزيع الأقواس في الطرف الأيسر من المعادلة. فنحصل على ﺃﺱ تكعيب زائد ﺏﺱ تربيع زائد ﺟﺱ زائد اثنين ﺃﺱ تربيع زائد اثنين ﺏﺱ زائد اثنين ﺟ. يمكننا تبسيط ذلك أكثر بإخراج العوامل المشتركة لـ ﺱ في الطرف الأيسر من المعادلة. إذن، نحصل على ﺃﺱ تكعيب زائد ﺏ زائد اثنين ﺃ مضروبًا في ﺱ تربيع زائد ﺟ زائد اثنين ﺏ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين ﺟ. تذكر أن هذا المقدار يساوي ﺱ تكعيب زائد ثمانية. ويمكننا إيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ بمساواة المعاملات في طرفي المعادلة.
لنبدأ بمساواة معاملي ﺱ تكعيب. في الطرف الأيمن من المعادلة، معامل ﺱ تكعيب هو واحد. وفي الطرف الأيسر من المعادلة، معامل ﺱ تكعيب هو ﺃ. إذن، قيمة ﺃ هي واحد. ويمكننا التعويض بهذا في المقدار الموجود بالطرف الأيسر من المعادلة. وبذلك، نحصل على المعادلة الموضحة.
دعونا الآن نساو الحدين الثابتين في طرفي المعادلة. فنجد أن ثمانية يساوي اثنين ﺟ. ومن ثم، ﺟ لا بد أن يساوي أربعة. مرة أخرى، يمكننا التعويض بقيمة ﺟ هذه في المعادلة. وهذا يعطينا المعادلة الموضحة. وأخيرًا، يمكننا مساواة معامل ﺱ تربيع أو معامل ﺱ في طرفي المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ. لكن في الطرف الأيمن من المعادلة، لا يوجد حد يحتوي على ﺱ تربيع أو ﺱ. إذن، معامل كل من هذين الحدين هو صفر. ومن ثم، لكي يتطابق المعاملان في الطرف الأيسر من المعادلة، يجب أن تكون قيمة كل من هذين المعاملين صفرًا. ﺏ زائد اثنين يساوي صفرًا، وأربعة زائد اثنين ﺏ يساوي صفرًا، ما يعني أن ﺏ يساوي سالب اثنين.
والآن، يمكننا التعويض بقيمة ﺃ تساوي واحدًا، وقيمة ﺏ تساوي سالب اثنين، وقيمة ﺟ تساوي أربعة في المقدار الذي تم تحليله. وهذا يعطينا ﺱ تكعيب زائد ثمانية يساوي ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد أربعة. وهذه هي الإجابة نفسها التي كنا سنحصل عليها إذا استخدمنا القسمة الجبرية.
يمكننا الآن استخدام ذلك لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية. سنعوض بهذا المقدار عن البسط داخل النهاية. وبذلك، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد أربعة الكل مقسوم على ﺱ زائد اثنين. والآن يمكننا تبسيط هذه النهاية. كل ما علينا فعله هو أن نتذكر أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين. وهذا يعني أن ما يعنينا هو ما يحدث للقيمة المخرجة للدالة عندما تقترب قيم ﺱ من سالب اثنين أكثر فأكثر. والقيمة المخرجة للدالة عند ﺱ يساوي سالب اثنين لن تؤثر على قيمة نهاية الدالة.
ومن ثم، يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ زائد اثنين في كل من بسط ومقام هذا المقدار. هذا لأنه عند ﺱ لا يساوي سالب اثنين، فإن ﺱ زائد اثنين مقسومًا على ﺱ زائد اثنين يساوي واحدًا. ولذلك، أعدنا كتابة النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد أربعة.
هذه هي نهاية كثيرة الحدود. ويمكننا إيجاد نهايات كثيرات الحدود باستخدام التعويض المباشر. فبالتعويض عن ﺱ بسالب اثنين في الدالة التربيعية، نحصل على سالب اثنين الكل تربيع ناقص اثنين في سالب اثنين زائد أربعة، وهو ما يساوي ١٢. وبذلك، نكون قد أوجدنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب اثنين لـ ﺱ تكعيب زائد ثمانية الكل مقسوم على ﺱ زائد اثنين تساوي ١٢.
