فيديو الدرس: جمع المقادير الجبرية وطرحها الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع المقادير الجبرية ونطرحها من خلال جمع الحدود المتشابهة وطرحها. المهارة الأساسية التي سنحتاج إليها هي القدرة على التعرف على الحدود المتشابهة. الحدود المتشابهة هي الحدود التي تحتوي على المتغير نفسه والأس نفسه. إذا كان لدينا عددان مثل: اثنين و١٠، فكلاهما عدد كلي. لذا، فإنهما يعتبران حدين متشابهين ويمكن تجميعها. لكن اثنين ﺱ و١٠ حدان غير متشابهين. في هذه الحالة، اثنان مضروب في متغير و١٠ ليس مضروبًا في متغير. هذا يعني أنهما حدان غير متشابهين.

ماذا عن اثنين ﺱ تكعيب و١٠ﺱ أس أربعة؟ إنهما يحتويان على المتغير نفسه. لكنهما لا يحتويان على المتغير نفسه مرفوعًا إلى القوة نفسها، ما يعني أنه لا يمكن تجميعهما، وأنهما حدان غير متشابهين. لكن إذا كان لدينا اثنان ﺱ تكعيب زائد ١٠ﺱ تكعيب، بما أن هذين الحدين يحتويان على المتغير نفسه مرفوعًا إلى الأس نفسه، فهما حدان متشابهان ويمكننا تجميعهما بجمع معامليهما. اثنان ﺱ تكعيب زائد ١٠ﺱ تكعيب يساوي ١٢ﺱ تكعيب. إذا كنت تتساءل عن سبب ذلك، دعنا ننظر إلى الأمر بطريقة أخرى.

إذا علمنا أن المكعب الوردي يساوي ﺱ تربيع، والمكعب الأصفر يساوي ﺱ، والمكعب الأخضر يساوي واحدًا، وأردنا إعادة كتابة مجموعة المكعبات الأولى، فبدلًا من أن نقول: ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع زائد ﺱ تربيع للمكعب الوردي، يمكننا كتابته على صورة: ثلاثة ﺱ تربيع. بما أن هناك مكعبين باللون الأصفر؛ إذن لدينا اثنان ﺱ، والمكعبان الأخضران، وهما عددان كليان، يساويان اثنين. وإذا اتبعنا الطريقة نفسها مع المجموعة الثانية من المكعبات، فسيكون لدينا اثنان ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد اثنين. وبتجميع كل ذلك معًا، نجد أن هناك خمسة مكعبات وردية، ما يعني أنه يجب أن يكون لدينا خمسة ﺱ تربيع. وهذا منطقي لأن ثلاثة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ تربيع يساوي خمسة ﺱ تربيع. نجمع معامليهما.

عندما يتعلق الأمر بحدود ﺱ، أي المكعبات الصفراء، فإن لدينا ثلاثة، اثنان ﺱ زائد ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ، وبالطبع بالنسبة إلى الأعداد الكلية، لدينا أربعة مكعبات خضراء يمثل كل منها واحدًا، أي أربعة إجمالًا. في هذه الحالة التي يمثل فيها كل حد لونًا مختلفًا، لن نجمع أبدًا مكعبين باللونين الأخضر والوردي. وبالطريقة نفسها، لا يمكننا تجميع الحد ﺱ تربيع مع عدد كلي. باستخدام هذه المهارة، يمكننا أن نتناول بعض الأمثلة.

بسط اثنين ﺱ زائد واحد زائد ثلاثة ﺱ زائد اثنين.

أولًا، يمكننا المضي في كتابة التعبير بالأسفل. للتبسيط، علينا أولًا أن نفكر فيما إذا كان هناك أي شيء بين الأقواس يمكن تبسيطه. بما أن اثنين ﺱ وواحدًا حدان غير متشابهين، فلا يمكن جمعهما معًا. وينطبق الأمر نفسه على ثلاثة ﺱ واثنين، لا يمكن جمعهما معًا. لكن، بما أن هذا التعبير يحتوي على جمع فقط ويمكننا الجمع بأي ترتيب، فيمكننا حذف الأقواس لنرى ما إذا كان هناك أي حدود متشابهة يمكن تجميعها. اثنان ﺱ وثلاثة ﺱ يحتويان على المتغير نفسه، ومن ثم يمكن تجميعهما عن طريق جمع معامليهما. اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي اثنين زائد ثلاثة ﺱ. ونعرف أيضًا أنه يمكننا جمع العددين الكليين معًا. واحد زائد اثنين يساوي ثلاثة، وهو ما يجعل أبسط صورة لهذا التعبير هي: خمسة ﺱ زائد ثلاثة.

في المثال التالي، علينا أولًا إجراء بعض التعويض. وبعد ذلك سنتمكن من جمع تعبيرين معًا.

أوجد ﺃ زائد ﺏ، إذا كان ﺃ يساوي خمسة ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ، وﺏ يساوي سالب ستة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ.

مهمتنا هي إيجاد ﺃ زائد ﺏ، ما يعني أن نعوض بما نعرفه عن ﺃ، وهو أنه خمسة ﺱ تكعيب ناقص ثلاثة ﺱ. ثم نعوض بما نعرفه عن ﺏ، وهو أنه سالب ستة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ. لجمع ﺃ زائد ﺏ، علينا معرفة ما إذا كان يمكننا إيجاد أي حدود متشابهة. لدينا حد يحتوي على ﺱ تكعيب، وحدان يحتويان على المتغير ﺱ، وحد واحد يحتوي على ﺱ تربيع. بما أننا نتعامل هنا مع الجمع والطرح فقط، يمكننا حذف الأقواس. لكن، مرة أخرى، القيم الوحيدة التي يمكن جمعها معًا هي الحدود المتشابهة. هذا يعني أنها الحدود التي تحتوي على متغير مرفوع للقوة نفسها.

وفي حالتنا هذه، يمكننا تجميع سالب ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ. ولا يمكننا جمع خمسة ﺱ تكعيب وستة ﺱ تربيع. فعلى الرغم من أن كلًّا منهما يحتوي على المتغير ﺱ، إلا أن أسيهما مختلفان. لكن كيف نجمع سالب ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ؟ حسنًا، سالب ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﺃ زائد ﺏ يساوي في أبسط صوره خمسة ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع.

وقبل أن نتعمق أكثر وننظر في أمثلة أخرى، يجب أن نقول إن القواعد نفسها تنطبق على طرح التعبيرات. يمكنك طرح الحدود المتشابهة فقط. يمكننا إيجاد ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺱ. ونفعل ذلك بطرح اثنين من ثلاثة، أي المعاملين، لنحصل على واحد ﺱ أو ﺱ فقط. لكننا لا نستطيع طرح اثنين ﺱ من ثلاثة ﺱ تربيع. إنهما يحتويان على المتغير نفسه، لكن الأسين مختلفان. ولذلك نقول إن ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ.

سنتناول بعض الحالات الأخرى في المثال التالي.

أوجد ﺃ ناقص ﺏ، إذا كان ﺃ يساوي ثمانية ﺱ زائد اثنين، وﺏ يساوي خمسة ﺱ ناقص واحد.

إذا أردنا حل ﺃ ناقص ﺏ، نعوض بثمانية ﺱ تربيع زائد اثنين عن ﺃ، وبخمسة ﺱ ناقص واحد عن ﺏ. عند التعامل مع طرح الحدود، تكون الأقواس مهمة جدًّا. وذلك لأننا نطرح ﺏ بأكمله من ﺃ. وللقيام بذلك، علينا توزيع الطرح على كلا حدي التعبير الخاص بـ ﺏ. وهذا يعني أننا نقول: ثمانية ﺱ زائد اثنين ناقص خمسة ﺱ، ولكن زائد واحد؛ لأننا نطرح سالب واحد. وهذا يعني أننا نجمع. وهذه هي الخطوة التي إذا لم تنتبه لها، فستخطئ في الإشارات.

لذا، عند طرح التعبيرات، يجب أن تراعي توزيع الطرح بطريقة صحيحة. بمجرد القيام بذلك، يصبح من السهل تجميع الحدود المتشابهة. لدينا حدان يحتويان على المتغير ﺱ وعددان كليان. بالنسبة للمتغير ﺱ، لدينا ثمانية ﺱ ناقص خمسة ﺱ. وهذا يعني أننا نطرح خمسة من ثمانية. تذكر أن المتغير لا يتغير. نجري فقط عملية الطرح للمعاملين. ثم لدينا اثنان زائد واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. ثمانية ناقص خمسة يساوي ثلاثة. إذن، لدينا ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة. في هذه الحالة ووفق هذه الشروط، فإن ﺃ ناقص ﺏ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة.

في المثال التالي، سنتعامل مع تعبيرات تحتوي على ثلاثة متغيرات مختلفة.

اطرح ستة ﺱ أس خمسة ناقص ثلاثة ﺹ تكعيب زائد ثلاثة ﻉ تربيع من ثمانية ﺱ أس خمسة ناقص خمسة ﺹ تكعيب ناقص اثنين ﻉ تربيع.

لحل هذه المسألة، علينا التفكير جيدًا في كيفية كتابة جملة الطرح هذه. إننا نطرح ستة ﺱ أس خمسة ناقص ثلاثة ﺹ تكعيب زائد ثلاثة ﻉ تربيع من ثمانية ﺱ أس خمسة من خمسة ﺹ تكعيب ناقص اثنين ﻉ تربيع. وهذا يعني أن التعبير الأول سيكون ثمانية ﺱ أس خمسة ناقص خمسة ﺹ تكعيب ناقص اثنين ﻉ تربيع. وسيكون الحد الثاني ستة ﺱ أس خمسة ناقص ثلاثة ﺹ تكعيب زائد ثلاثة ﻉ تربيع. بما أننا نطرح التعبير الثاني بالكامل من التعبير الأول، علينا وضع التعبير الثاني داخل الأقواس ثم توزيع الطرح على كل حد في التعبير.

في هذه الخطوة، ننتبه جيدًا إلى إشارة كل حد. ستة ﺱ أس خمسة إشارته موجبة. وسنطرح ستة ﺱ أس خمسة. لكن ثلاثة ﺹ تكعيب إشارته سالبة. وإذا أردنا طرح سالب ثلاثة ﺹ تكعيب، فسنعيد كتابة ذلك ليصبح إضافة ثلاثة ﺹ تكعيب. ثلاثة ﻉ تربيع إشارته موجبة. إننا نطرح موجب ثلاثة ﻉ تربيع، وهو ما يمكن إعادة كتابته ليصبح سالب ثلاثة ﻉ تربيع. ولكي نجري أي عملية طرح هنا، علينا أن نعرف ما إذا كانت لدينا حدود متشابهة. وهي الحدود التي تحتوي على متغيرات مرفوعة للأس نفسه.

لدينا حد واحد، يحتوي على ﺱ أس خمسة، وحد آخر يحتوي على ﺱ أس خمسة. بعد ذلك لدينا حدان يحتويان على المتغير ﺹ تكعيب، وحدان يحتويان على المتغير ﻉ تكعيب. وإذا أردت ذلك يمكنك إعادة الترتيب؛ بحيث تصبح الحدود المتشابهة متجاورة في التعبير. وأثناء القيام بذلك، انتبه جيدًا إلى الإشارات. ثم نتذكر أنه عند تجميع الحدود المتشابهة، نجمع معاملاتها. ثمانية ﺱ أس خمسة ناقص ستة ﺱ أس خمسة يساوي ثمانية ناقص ستة ﺱ أس خمسة، وهو ما يساوي اثنين ﺱ أس خمسة.

بالنسبة إلى الحدين التاليين، لدينا سالب خمسة ﺹ تكعيب زائد ثلاثة ﺹ تكعيب. هذا يعني أن علينا تجميع سالب خمسة وموجب ثلاثة، ما يساوي سالب اثنين. أما بالنسبة للحد ﻉ تربيع، فإننا نجمع المعاملين، سالب اثنين وسالب ثلاثة. سالب اثنين ناقص ثلاثة يساوي سالب خمسة. وبتجميع كل هذا معًا، نحصل على اثنين ﺱ أس خمسة ناقص اثنين ﺹ تكعيب ناقص خمسة ﻉ تربيع.

قبل أن نترك هذا السؤال، لنلق نظرة على طريقة أخرى للحل، بدءًا بالتعبير الأول. بدلًا من كتابة التعبير الثاني أفقيًّا، يمكنك كتابة التعبير الثاني رأسيًّا أسفل الأول. لاحظ أننا قمنا بتجميع الحدين ﺱ أس خمسة، والحدين ﺹ تكعيب، والحدين ﻉ تربيع. لكن مرة أخرى، التحدي الأكبر هنا هو التأكد من ألا نخطئ في الإشارة. بالنسبة للحد الأول، نقول ثمانية ﺱ أس خمسة ناقص ستة ﺱ أس خمسة. إذن نطرح ستة من ثمانية. ونحصل على اثنين ﺱ أس خمسة.

لكن المجموعة الثانية من الحدود المتشابهة ليست مباشرة. لدينا سالب خمسة ﺹ تكعيب. وسنطرح سالب ثلاثة ﺹ تكعيب، أي سالب خمسة ﺹ تكعيب زائد ثلاثة ﺹ تكعيب. ها هو التوزيع. سالب خمسة زائد ثلاثة يساوي سالب اثنين. والمتغير هو ﺹ تكعيب. ثم لدينا سالب اثنين ﻉ تربيع ناقص موجب ثلاثة ﻉ تربيع، وهو ما يعني أنه سيكون لدينا سالب اثنين ﻉ تربيع ناقص ثلاثة ﻉ تربيع. سالب اثنين ناقص ثلاثة يساوي سالب خمسة. والمتغير هو ﻉ تربيع. ونجد هنا أنه بكلتا الطريقتين سنحصل على النتيجة نفسها.

في المثال الأخير، سنستخدم مهارات جمع المقادير الجبرية لإيجاد محيط مثلث قائم الزاوية.

أوجد محيط المثلث القائم الزاوية الموضح في الشكل.

نعلم أن محيط أي شكل هو المسافة حول الشكل. في حالة هذا المثلث، بما أن أطوال الأضلاع الثلاثة مختلفة، علينا جمع هذه الأطوال الثلاثة معًا. وطول الضلع الأول يساوي ثلاثة ﺱ زائد طول الضلع الثاني، ﺱ زائد ثلاثة، زائد طول الضلع الثالث، اثنين ﺱ زائد سبعة. بما أننا نتعامل مع الجمع فقط، يمكننا إعادة ترتيب الحدود بالطريقة التي نريدها. ونريد ترتيب الحدود المتشابهة معًا. ثلاثة من الحدود تحتوي على المتغير ﺱ. والحدان الآخران عددان كليان.

يمكننا إعادة كتابة التعبير بتجميع الحدود التي تحتوي على ﺱ، والأعداد الكلية. ومن ثم، بالنسبة إلى الحدود التي تحتوي على ﺱ، يمكن تجميع هذه الحدود عن طريق تجميع معاملاتها، وهي ثلاثة زائد واحد زائد اثنين، وهو ما يساوي ستة. وبتجميع العددين الكليين، بالطبع، ثلاثة زائد سبعة يساوي ١٠. وبما أنه ليس لدينا أي معلومات عن قيمة ﺱ، يمكننا فقط القول إن محيط هذا الشكل يساوي ستة ﺱ زائد ١٠.

قبل أن نذهب، دعونا نراجع النقاط الأساسية اللازمة لجمع المقادير الجبرية وطرحها. أولًا، علينا التعرف على الحدود المتشابهة. الحدود المتشابهة هي الحدود التي تحتوي على المتغير نفسه والأس نفسه. لتجميع الحدود المتشابهة، نجمع معاملاتها أو نطرحها. عند جمع أو طرح مقدارين جبريين أو أكثر، يمكننا فقط تجميع الحدود المتشابهة.