نسخة الفيديو النصية
أوجد الجذور التربيعية للعدد ﻉ، إذا كان ﻉ يساوي سالب ثمانية ﺕ.
يمكننا استخدام نظرية ديموافر للجذور لمساعدتنا في إيجاد جذور الأعداد المركبة. تنص نظرية ديموافر أنه بالنسبة للعدد المركب على الصورة ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، فإن الجذر ﻥ يعطى بالصيغة ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، حيث ﻙ يقبل القيم الصحيحة من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. هذا العدد المركب مكتوب على الصورة الديكارتية. ولكي نتمكن من تطبيق نظرية ديموافر، سنحوله إلى الصورة المثلثية أو الصورة القطبية.
الجزء الحقيقي من هذا العدد هو صفر، بينما الجزء التخيلي هو سالب ثمانية. ويمكننا تمثيل ذلك على مخطط أرجاند باعتباره النقطة ذات الإحداثيات الديكارتية صفر، سالب ثمانية. يمثل ﻝ، وهو مقياس العدد المركب، طول القطعة المستقيمة التي تصل هذه النقطة بنقطة الأصل. ومن هنا، نرى أن ﻝ يساوي ثمانية.
وبعد ذلك، نوجد 𝜃 بقياس الزاوية من محور الأعداد الحقيقية الموجبة عكس اتجاه عقارب الساعة حتى القطعة المستقيمة التي رسمناها. بدلًا من ذلك، يمكننا التحرك في الاتجاه المعاكس، مع الإشارة إلى أن اتجاه عقارب الساعة يعطي قيمة سالبة لـ 𝜃. وسيعطينا هذا قيمة 𝜃 للسعة التي تقع ضمن مدى السعة الأساسية. ونلاحظ أن الحركة في هذا الاتجاه تعادل ربع دورة، أي 𝜋 على اثنين راديان. إذن، السعة تساوي سالب 𝜋 على اثنين. وعليه، يمكن كتابة ﻉ بطريقة بديلة على الصورة القطبية ثمانية في جتا سالب 𝜋 على اثنين زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على اثنين.
بما أننا نوجد الجذر التربيعي لـ ﻉ، سنرفع كل طرف للقوة نصف. دعونا نفرغ بعض المساحة وننفذ هذه الخطوة. سنجعل ﻥ يساوي اثنين. إذن، مقياس الجذر التربيعي لـ ﻉ سيساوي ثمانية أس نصف، أو الجذر التربيعي لثمانية. ثم نكتب باقي الجذر التربيعي كما هو موضح. نلاحظ أن السعة تساوي سالب 𝜋 على اثنين زائد اثنين 𝜋ﻙ على اثنين. وبما أننا جعلنا ﻥ يساوي اثنين، فإن ﻙ سيأخذ القيم من صفر إلى اثنين ناقص واحد، أي واحد. بعبارة أخرى، ﻙ يساوي صفرًا أو واحدًا فقط. هيا نر ما يحدث عند التعويض بقيمتي ﻙ.
عند ﻙ يساوي صفرًا، يكون الجذر التربيعي لـ ﻉ هو الجذر التربيعي لثمانية في جتا سالب 𝜋 على اثنين زائد صفر على اثنين زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على اثنين زائد صفر على اثنين. بتبسيط المقدار الموجود بين الأقواس، نجد أن السعة تساوي سالب 𝜋 على أربعة. لكن في الواقع جتا سالب 𝜋 على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين، وجا سالب 𝜋 على أربعة يساوي سالب جذر اثنين على اثنين.
ومن ثم، يمكننا تمثيل ذلك على الصورة الديكارتية على أنه الجذر التربيعي لثمانية في جذر اثنين على اثنين زائد الجذر التربيعي لثمانية في سالب جذر اثنين على اثنين ﺕ. الجذر التربيعي لثمانية في الجذر التربيعي لاثنين يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦، وهو ما يساوي أربعة بالطبع. وبالتالي، الجذر التربيعي لـ ١٦ مقسومًا على اثنين يصبح أربعة مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي اثنين. إذن، على الصورة الديكارتية، الجذر التربيعي الأول لـ ﻉ هو اثنان ناقص اثنين ﺕ.
الآن، نجعل ﻙ يساوي واحدًا. وعند فعل ذلك، نحصل على السعة سالب 𝜋 على اثنين زائد اثنين 𝜋 على اثنين. يبسط بسط كل جزء إلى ثلاثة 𝜋 على اثنين، وثلاثة 𝜋 على اثنين مقسومًا على اثنين يصبح ثلاثة 𝜋 على أربعة. يتبقى الآن تحويل هذا إلى الصورة الديكارتية أيضًا. هذه المرة، عند إيجاد جتا ثلاثة 𝜋 على أربعة، نحصل على سالب جذر اثنين على اثنين، وجا ثلاثة 𝜋 على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين. إذن، نحصل على الجذر التربيعي لثمانية في سالب جذر اثنين على اثنين زائد جذر ثمانية في جذر اثنين على اثنين ﺕ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب اثنين زائد اثنين ﺕ.
باستخدام رمز المجموعة، نقول إن الجذر التربيعي لـ ﻉ هو المجموعة المكونة من العنصرين اثنان ناقص اثنين ﺕ وسالب اثنين زائد اثنين ﺕ.
