نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مجموع متتابعة هندسية غير منتهية. دعونا نبدأ بتذكر ما نعرفه عن المتتابعات الهندسية.
المتتابعة الهندسية هي متتابعة لها نسبة مشتركة (أو ما يسمى بأساس المتتابعة الهندسية) بين حدودها المتتالية. وفي المتتابعات، للانتقال من حد إلى آخر، فإننا نضرب الحد في هذه النسبة المشتركة. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة النسبة المشتركة من خلال قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. بالنسبة إلى المتتابعة الهندسية التي يكون الحد الأول فيها هو ﺃ والنسبة المشتركة هي ﺭ، فإننا نحصل على الحد النوني بالعلاقة ﺡﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. إننا نتذكر أيضًا أنه يمكننا إيجاد مجموع المتتابعة الهندسية المنتهية. وعندما نجمع الحدود في متتابعة ما، فإننا نطلق عليها «متسلسلة».
بالنسبة إلى المتسلسلة الهندسية التي يكون الحد الأول فيها هو ﺃ والنسبة المشتركة هي ﺭ، فإن مجموع أول ﻥ من الحدود يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ على واحد ناقص ﺭ. وجدير بالذكر أيضًا أن هذا يكافئ ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد على ﺭ ناقص واحد. وليس من الضروري التبديل بين هاتين الصيغتين، ولكن يمكن أن يكون ذلك مفيدًا إذا أردنا إجراء العمليات الحسابية دون استخدام الآلة الحاسبة. عندما يكون ﺭ أكبر من واحد، فإننا نستخدم هذه الصيغة. وإذا كان ﺭ؛ أي النسبة المشتركة، أصغر من واحد، فإننا نستخدم هذه الصيغة.
الصيغتان اللتان استعرضناهما حتى الآن مفيدتان في حل المسائل التي تتضمن متسلسلات هندسية. لكن ما يهمنا هو تناول كيفية استخدام هاتين الصيغتين الأخيرتين لإيجاد مجموع جميع الحدود في متسلسلة هندسية. في هذه المرحلة، ربما تعتقد أن هذا غير ممكن. ستتضمن المتسلسلة بالتأكيد حدودًا غير منتهية، لذا فإننا نتوقع أن يكون المجموع عددًا كبيرًا غير منته. وهذا صحيح إلى حد ما. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى المتتابعة اثنان، أربعة، ثمانية، ١٦، ٣٢. النسبة المشتركة هنا هي اثنان. وكلما تقدمنا في هذه المتتابعة، تصبح الحدود أكبر فأكبر. ومن ثم، لن يكون مجموع جميع الحدود عددًا يمكننا إيجاد قيمته.
حسنًا، ماذا عن المتتابعة ٣٢، ١٦، ثمانية، أربعة، اثنان، وهكذا؟ هذه المرة، النسبة المشتركة تساوي نصفًا. وعليه، تقل قيم الحدود إلى النصف في كل مرة. وهذا يعني أن قيم الحدود ستصبح أصغر فأصغر. في الواقع، عندما يقترب عدد الحدود في المتسلسلة الهندسية من ∞، فإن الحدود نفسها تقترب من الصفر. وهذا يعني أن مجموع هذه الحدود يقترب من قيمة منتهية. ولكن ما الفرق هنا؟ لم يمكننا إيجاد مجموع جميع الحدود في المتتابعة الثانية، ولا يمكننا ذلك في المتتابعة الأولى؟ حسنًا، السبب وراء ذلك هو أن الحدود تصبح أصغر فأصغر، ويحدث هذا فقط عندما تكون النسبة المشتركة عددًا أصغر من واحد.
سنعمم ذلك قليلًا ونقول إنه إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أصغر من واحد؛ أي إذا كان ﺭ أكبر من سالب واحد وأصغر من واحد، فإن المتسلسلة الهندسية تكون متقاربة. وإذا كانت المتسلسلة متقاربة، فسيكون بإمكاننا إيجاد المجموع إلى ∞. حسنًا، كيف يمكننا استخدام هذه الحقيقة لإيجاد مجموع كل الحدود؟ دعونا نرجع إلى إحدى صيغتي ﺟﻥ، ونفكر فيما يحدث عندما يقترب ﻥ من ∞. بما أن مقياس ﺭ أصغر من واحد، أي إنه عدد يقع بين سالب واحد وواحد، فسنجد أنه كلما كانت قيمة ﻥ أكبر، كانت قيمة ﺭ أس ﻥ أصغر. كلما اقترب ﻥ من ∞، اقترب ﺭ أس ﻥ من الصفر. وهذا يعني أن المجموع إلى ﻥ يجب أن يقترب من ﺃ مضروبًا في واحد ناقص صفر على واحد ناقص ﺭ، وهو ما يساوي ﺃ على واحد ناقص ﺭ.
دعونا نكتب صيغة لذلك. يمكننا القول إنه بالنسبة إلى المتسلسلة الهندسية المتقاربة، المجموع إلى ∞ يساوي ﺃ على واحد ناقص ﺭ. ومن المهم حقًّا أن ندرك أنه إذا لم تكن المتسلسلة متقاربة؛ أي إذا لم يكن مقياس النسبة المشتركة أصغر من واحد، فلن نتمكن من إيجاد مجموع عدد غير منته من الحدود. وبعد أن أصبح لدينا تعريف الآن، سنتناول بعض الأمثلة. في المثال الأول، سنحدد المتتابعات التي يمكن جمعها إلى ∞.
أي من المتتابعات الهندسية التالية يمكن جمعها إلى ∞؟
لدينا هنا خمس متتابعات للاختيار من بينها. سنبدأ باسترجاع أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة لها نسبة مشتركة بين الحدود. الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﺃ هو الحد الأول وﺭ هو النسبة المشتركة. حسنًا، يمكننا جمع المتتابعة الهندسية إلى ∞ إذا كانت متقاربة. ويحدث ذلك عندما يكون مقياس ﺭ أو القيمة المطلقة لـ ﺭ أصغر من واحد؛ حيث ﺭ هو النسبة المشتركة.
نحن نعلم من السؤال أن كل هذه المتتابعات هي متتابعات هندسية، ومن ثم مهمتنا هي إيجاد النسبة المشتركة. دعونا نبدأ بالمتتابعة (أ). وهي ثمانية في ستة أس ﻥ ناقص خمسة. علينا كتابة هذه المتتابعة على الصورة ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. ويمكننا استخدام إحدى قواعد الأسس لفعل ذلك. نحن نعلم أنه عند ضرب حدين أسيين لهما الأساس نفسه، فإننا ببساطة نجمع أسيهما. وعليه، يمكننا أن نعكس ذلك ونقول إن ستة أس ﻥ ناقص خمسة هو نفسه ستة أس سالب أربعة في ستة أس ﻥ ناقص واحد. ستة أس سالب أربعة يساوي واحدًا على ستة أس أربعة. وبذلك، يمكننا إعادة كتابة هذه المتتابعة على الصورة ثمانية على ستة أس أربعة في ستة أس ﻥ ناقص واحد.
إذا قارنا ذلك بالحد النوني العام للمتتابعة الهندسية، فسنجد أن ﺃ، وهو الحد الأول في هذه المتتابعة، يساوي ثمانية على ستة أس أربعة. وﺭ يساوي ستة. يتضح لنا الآن أن ستة ليس أصغر من واحد. ومن ثم، يمكننا القول إن المتتابعة (أ) ليست متقاربة، لذا لا يمكننا جمعها إلى ∞.
سننتقل بعد ذلك إلى المتتابعة (ب). إننا نعلم أنه يمكننا إيجاد النسبة المشتركة من خلال قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. وفي هذه المتتابعة، يمكننا قسمة ثلاثة على ٢٨ على واحد على ٢٨. وبما أن مقامي هذين الكسرين متساويان، فسيصبح لدينا ثلاثة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. ومرة أخرى، ثلاثة ليس أصغر من واحد. وعليه، فإن المتتابعة (ب) غير متقاربة ولا يمكن جمعها إلى ∞.
هيا نلق نظرة على المتتابعة (ج). مرة أخرى، سنوجد النسبة المشتركة من خلال قسمة الحد الثاني على الحد الأول. وتذكر أننا سنحصل على الإجابة نفسها إذا قسمنا الحد الثالث على الحد الثاني، وهكذا. إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها قسمة الكسور هي إيجاد مقام مشترك. إذا ضربنا ٢٦٣ في خمسة، فسيصبح لدينا ١٣١٥. إذن، ٢٦٣ يكافئ ١٣١٥ على خمسة. وبعد ذلك، سنقسم البسطين. أي إن ﺭ يساوي سالب ٧٨٩ على ١٣١٥. قيمة ﺭ هذه تقع بين سالب واحد وواحد. وبذلك، يمكننا القول إن القيمة المطلقة للنسبة المشتركة في هذه المتتابعة أصغر من واحد. هذا يعني أنها متقاربة ويمكن جمعها إلى ∞.
دعونا نتحقق من المتتابعتين الأخريين. بقسمة الحد الثاني على الحد الأول في المتتابعة (د)، نجد أن القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ليست أصغر من واحد، ومن ثم لا يمكن أن تكون الإجابة هي المتتابعة (د). إننا نحصل على القيمة نفسها للنسبة المشتركة في المتتابعة (هـ). وهذا يؤكد لنا أن المتتابعة الهندسية الوحيدة في هذه القائمة والتي يمكن جمعها إلى ∞ هي المتتابعة (ج).
في المثال التالي، علينا إيجاد مجموع متسلسلة هندسية.
أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية ١٣ على اثنين زائد ١٣ على أربعة زائد ١٣ على ثمانية، وهكذا.
حسنًا، لم يخبرنا السؤال بعدد الحدود المطلوب إيجاد مجموعها في هذه المتسلسلة الهندسية. لذا، سنفترض أن علينا إيجاد مجموع كل الحدود. بعبارة أخرى، علينا إيجاد مجموع هذه المتسلسلة إلى ∞. ومن ثم، دعونا نتذكر أنه لأي متسلسلة هندسية الحد الأول فيها هو ﺃ والنسبة المشتركة هي ﺭ، فإن مجموعها إلى ∞ يساوي ﺃ على واحد ناقص ﺭ. ولكن لا يمكن تطبيق هذه الصيغة إلا إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أصغر من واحد. لذلك، أول ما سنفعله هو التأكد من أن هذه المتسلسلة الهندسية متقاربة؛ أي إن القيمة المطلقة لـ ﺭ أصغر من واحد.
نحن نعلم أنه بالنسبة إلى المتتابعة الهندسية، يمكننا إيجاد قيمة النسبة المشتركة من خلال قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. هيا نقسم الحد الثاني على الأول. حسنًا، النسبة المشتركة هنا هي ١٣ على أربعة مقسومًا على ١٣ على اثنين. وإحدى الطرق التي يمكننا من خلالها قسمة الكسور هي أن يكون مقاما هذين الكسرين متساويين. إذا ضربنا بسط الكسر ١٣ على اثنين ومقامه في اثنين، فسنحصل على ٢٦ على أربعة. وبمجرد أن يصبح المقامان متساويين، فإننا نقسم البسطين. إذن، النسبة المشتركة هي ١٣ على ٢٦، وهو ما يساوي نصفًا. والقيمة المطلقة للنصف هي نصف، وهذا أصغر من واحد بالفعل. هذا يعني أن هذه المتسلسلة الهندسية متقاربة بالفعل، ويمكننا إيجاد مجموعها إلى ∞.
من الواضح أن ﺃ، وهو الحد الأول في هذه المتسلسلة، يساوي ١٣ على اثنين. وقد حسبنا قيمة ﺭ ووجدنا أنها تساوي نصفًا. هذا يعني أن مجموع المتسلسلة إلى ∞ يساوي ١٣ على اثنين مقسومًا على واحد ناقص نصف. وواحد ناقص نصف يساوي نصفًا. إذن، سنحسب ١٣ على اثنين مقسومًا على نصف. وبما أن المقامين متساويان، فسنقسم البسطين. وبذلك، نجد أن المجموع إلى ∞ يساوي ١٣ مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ١٣. وبما أن المجموع إلى ∞ هو مجموع جميع حدود المتسلسلة الهندسية، فسنجد أننا قد انتهينا من الحل. إذن، مجموع المتسلسلة الهندسية المعطاة هو ١٣.
سنتناول الآن كيفية إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية بمعلومية حدين من حدودها.
أوجد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، إذا كان الحد الأول فيها ١٧١ والحد الرابع ١٧١ على ٦٤.
نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد مجموع متتابعة هندسية متقاربة باستخدام هذه الصيغة؛ المجموع إلى ∞ يساوي ﺃ على واحد ناقص ﺭ. وتكون المتتابعة متقاربة إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة فيها أصغر من واحد. حسنًا، ﺃ هو الحد الأول في المتتابعة، ونحن نعلم أن الحد الأول هو ١٧١. ولكن ما قيمة النسبة المشتركة؟ سنستخدم هنا الصيغة العامة للحد النوني في المتتابعة الهندسية لإيجاد قيمة هذه النسبة.
هذه الصيغة هي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﺃ مرة أخرى هو الحد الأول وﺭ هو النسبة المشتركة. سنستخدم هذه الصيغة مع معلومة أن الحد الرابع في المتتابعة هو ١٧١ على ٦٤. وهذا يعني أن ﺡ أربعة يساوي ١٧١، أي ﺃ، في ﺭ أس أربعة ناقص واحد؛ أي ﺭ تكعيب. ولكننا نعرف قيمة ﺡ أربعة. إنها ١٧١ على ٦٤. وبذلك، تكون المعادلة لدينا هي ١٧١ على ٦٤ يساوي ١٧١ في ﺭ تكعيب. دعونا نقسم طرفي هذه المعادلة على ١٧١. إذن، نجد أن ﺭ تكعيب يساوي واحدًا على ٦٤.
يمكننا إيجاد قيمة ﺭ بأخذ الجذر التكعيبي لكلا الطرفين، وبذلك نجد أن ﺭ يساوي الجذر التكعيبي لواحد على ٦٤، وهو ما يساوي ربعًا. القيمة المطلقة للربع هي ربع؛ وهي أصغر من واحد. وبذلك، نكون قد أكدنا أن المتتابعة الهندسية متقاربة بالفعل. وأصبحنا نعرف الآن قيمة ﺃ، وهي ١٧١، وقيمة ﺭ.
دعونا نعوض بكل القيم التي لدينا في الصيغة. لدينا ١٧١ على واحد ناقص ربع باعتباره المجموع إلى ∞؛ أي مجموع كل الحدود في المتتابعة. وهذا يساوي ١٧١ على ثلاثة أرباع. ويمكننا القسمة على الكسر من خلال الضرب في مقلوب ذلك الكسر. وهذا يساوي ١٧١ في أربعة على ثلاثة. بعد ذلك، سنجري عملية الحذف التبادلي من خلال قسمة ١٧١ وثلاثة على ثلاثة، وهو ما يعني أنه سيتبقى لدينا ٥٧ في أربعة على واحد، وهو ما يساوي ٥٧ في أربعة. وهذا يساوي ٢٢٨. إذن، يمكننا القول إن مجموع المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي حدها الأول ١٧١ وحدها الرابع ١٧١ على ٦٤ هو ٢٢٨.
في المثال الأخير، سنتعرف على كيفية استخدام هذه العملية نفسها لتحويل عدد عشري دوري إلى كسر.
عبر عن ٠٫٣٧٥ دوري في صورة كسر فعلي.
للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذا لا علاقة له بإيجاد مجموع متسلسلة هندسية. ولكن دعونا ننظر إلى العدد العشري ٠٫٣٧٥ دوري ونجد طريقة بديلة لكتابته. نحن نعلم أن كل رقم من الأرقام ثلاثة وسبعة وخمسة يتكرر. وعليه، يصبح لدينا ٠٫٣٧٥٣٧٥٣٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام بنفس النمط. وبعد ذلك، يمكننا تقسيم هذا العدد العشري، والقول إنه مجموع ٠٫٣٧٥ و٠٫٠٠٠٣٧٥ و٠٫٠٠٠٠٠٠٣٧٥. وقد يكون من المفيد كتابة كل من هذه الأعداد في صورة كسر؛ أي ٣٧٥ على ١٠٠٠ و٣٧٥ على مليون، وهكذا.
وبذلك، نجد أنه أصبح لدينا متسلسلة هندسية. والنسبة المشتركة في هذه المتسلسلة هي واحد على ١٠٠٠. ويمكننا أن نتأكد من صحة ذلك بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. وبما أن القيمة المطلقة لواحد على ١٠٠٠ هي واحد على ١٠٠٠، وهذا أصغر من واحد، فيمكننا القول إن المتسلسلة الهندسية التي أوجدناها متقاربة. وبما أنها متقاربة، فيمكننا حساب المجموع إلى ∞. وهذا يعني أنه يمكننا جمع كل حدودها. الصيغة التي نستخدمها هي ﺃ على واحد ناقص ﺭ، حيث ﺃ هو الحد الأول وﺭ هو النسبة المشتركة.
حسنًا، نلاحظ هنا أن الحد الأول في المتسلسلة هو ٣٧٥ على ١٠٠٠، وﺭ يساوي واحدًا على ١٠٠٠. ومن ثم، فإن المجموع إلى ∞ سيساوي ٣٧٥ على ١٠٠٠ مقسومًا على واحد ناقص واحد على ١٠٠٠. ويمكن تبسيط مقام هذا الكسر إلى ٩٩٩ على ١٠٠٠. نلاحظ هنا أننا نقسم كسرين لهما المقام نفسه. وفي هذه الحالة، يمكننا ببساطة حساب خارج القسمة من خلال قسمة بسطيهما. وهذا يساوي ٣٧٥ على ٩٩٩. وحيثما أمكن، علينا تبسيط الكسر. ويمكننا بالفعل قسمة كل من بسط خارج القسمة ومقامه على ثلاثة. عندما نفعل ذلك، نجد أن ٣٧٥ مقسومًا على ثلاثة يساوي ١٢٥، و٩٩٩ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٣٣٣. إذن، مجموع المتسلسلة الهندسية، التي ذكرنا أنها تساوي العدد العشري ٠٫٣٧٥ دوري، هو ١٢٥ على ٣٣٣. وبذلك، نكون قد كتبنا العدد العشري الدوري في صورة كسر فعلي.
هيا نلخص النقاط الرئيسية في هذا الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا أنه إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ﺭ في المتتابعة الهندسية أصغر من واحد، فإننا نقول إن هذه المتتابعة متقاربة. وعرفنا أنه عند إيجاد مجموع كل الحدود في متتابعة هندسية، فإننا نطلق عليها «متسلسلة». وإذا كان الأمر كذلك، أي إذا كانت القيمة المطلقة لـ ﺭ أصغر من واحد بالنسبة لهذه المتسلسلة، فيمكننا حساب مجموعها. بعبارة أخرى، يمكننا إيجاد مجموع كل حدودها. ونسمي ذلك «مجموع المتسلسلة إلى ∞». ويحسب ذلك من خلال قسمة ﺃ، وهو الحد الأول، على واحد ناقص ﺭ، حيث ﺭ هو النسبة المشتركة. وأخيرًا، عرفنا أنه بكتابة عدد عشري دوري على صورة متسلسلة هندسية، يمكننا استخدام هذه العملية لتحويله إلى كسر.
