فيديو الدرس: التعامل مع الأعداد بالصيغة العلمية (أو الصورة القياسية) الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعامل مع الأعداد بالصيغة العلمية. وربما يعرفها البعض بالصورة القياسية. إننا نتحدث في الأساس عن الأعداد المكتوبة بحيث يكون لدينا عدد مضروب في ١٠ أس عدد آخر. وهي في الأساس طريقة لكتابة الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا بصورة مختصرة أكثر.

إذن، الصيغة العلمية هي عندما نكتب الأعداد بهذه الصورة با q لتحديد: عدد مضروب في ١٠ أس عدد آخر. والآن، العدد الأول الممثل بالحرف ﺃ في هذه الصيغة العامة، لا بد أن يكون بين واحد و١٠. وبالتحديد يمكن أن يساوي واحدًا، لذا فهو أكبر من أو يساوي واحدًا، ولكن لا يمكن أن يصل إلى ١٠. قد يكون ٩٫٩٩٩ دوري، ولكن لا يمكن أن يصل إلى ١٠. إذن، فهو عدد يقع بين واحد و٩٫٩ دوري.

والعدد الآخر الممثل بهذا الحرف ﺏ، هو عدد صحيح موجب أو سالب يمثل أسًا للعدد ١٠. حسنًا، إن أفضل طريقة لفهم ذلك هي استعراض بعض الأمثلة. لنتناول مثالًا إذن.

‏‏١٫٥ في ١٠ أس ثلاثة، أو ١٠ مرفوعًا للقوة ثلاثة.

الضرب في ١٠ أس ثلاثة، أو ١٠ تكعيب هو نفسه الضرب في ١٠، ثم الضرب في ١٠، ثم الضرب في ١٠ مرة أخرى. إذن، هذا يساوي ١٫٥ في ١٠ في ١٠ في ١٠. والآن، هناك طريقة مختصرة للتفكير في الأمر، وتجعل من السهل للغاية التعامل مع الصيغة العلمية. هذه الطريقة المختصرة ليست طريقة رياضية تمامًا، ولكنها تجعل الأمر أسهل كثيرًا.

إن الضرب في ١٠ يماثل تحريك هذه العلامة العشرية خانة واحدة إلى اليمين. إذن، ١٫٥ يصبح ١٥ ثم علامة عشرية، أي ١٥٫٠. والآن، إذا ضربنا في ١٠ مرة أخرى، فسنحرك هذه العلامة العشرية خانة واحدة إلى اليمين. حسنًا، لم يكن لدينا عدد هنا، لكن تذكر أن ١٥ هو نفسه ١٥٫٠. إذن، في هذا الموضع هنا، سنضع صفرًا، ويمكننا وضع علامة عشرية هنا. والآن، ضربنا في ١٠ مرتين، وأصبح لدينا واحد خمسة صفر علامة عشرية، أي ١٥٠.

كل ما علينا فعله هو الضرب في ١٠ مرة أخرى. وبذلك، تتحرك العلامة العشرية خانة أخرى إلى اليمين. إذن، تتحرك إلى هنا، ونضع صفرًا لحفظ القيمة المكانية للرقم. إذن، ١٫٥ في ١٠ في ١٠ في ١٠ يساوي ١٥٠٠. والآن، من المهم ألا تترك العدد بهذه الصورة؛ لأن ذلك يبدو فوضويًا للغاية. هذا جيد وواضح. ‏‏١٫٥ في ١٠ أس ثلاثة يساوي ١٥٠٠. تذكر أن ١٫٥ في ١٠ يساوي ١٥، و١٥ في ١٠ يساوي ١٥٠، و١٥٠ في ١٠ يساوي ١٥٠٠. حسنًا، لنتناول مثالًا آخر.

‏‏٩٫٠٩ في ١٠ أس خمسة.

حسنًا، الضرب في ١٠ أس خمسة يعني أننا نضرب في ١٠ ثم في ١٠ ثم في ١٠ ثم في ١٠ ثم في ١٠ مرة أخرى. إذن، نحن نضرب في ١٠ خمس مرات. لنلق نظرة على الطريقة المختصرة لحل ذلك. عندما ضربنا ١٫٥ في ١٠ أس ثلاثة، كانت لدينا ثلاثة من هذه الأسهم الصغيرة هنا. إذن، عند الضرب في ١٠ أس خمسة، ستصبح لدينا خمسة أسهم صغيرة هنا.

هذا يعني أن هذه العلامة العشرية ستتحرك واحدة، اثنتين، ثلاثًا، أربعًا، خمس خانات إلى اليمين. وعلينا وضع بعض الأصفار. نحتاج صفرًا هنا، وصفرًا هنا، وصفرًا هنا. يمكننا أن نضع صفرًا بعد العلامة العشرية أيضًا، إذا أردت. إذن، الإجابة هي ٩٠٩٠٠٠.

والآن، عندما تحل لا تكون مضطرًا عادة لكتابة هذه الخطوة أو تلك. يمكنك فقط استخدام هذه الطريقة المختصرة هنا، وهي طريقة بسيطة، ومن ثم تكتب إجابتك بطريقة صحيحة وبصورة واضحة وسهلة ومرتبة. حسنًا، نأمل أن يكون ذلك واضحًا تمامًا. لنلق نظرة الآن على مثالين يتضمنان قوى سالبة للعدد ١٠.

على سبيل المثال، ٧٫٢ في ١٠ أس سالب أربعة.

والآن، يخبرنا العدد أربعة، في هذا الأس سالب أربعة، بأننا نضرب في ١٠ أربع مرات، وتخبرنا الإشارة السالبة بأن علينا قلب هذا الكسر. إذن، بدلًا من ١٠، يصبح لدينا واحد على ١٠. إذن، ٧٫٢ في ١٠ أس سالب أربعة يعني ٧٫٢ في عشر في عشر في عشر في عشر. والآن، الضرب في عشر هو نفسه القسمة على ١٠. إذن، هذا يعني أننا نبدأ بـ ٧٫٢ ثم نقسم على ١٠، ثم نقسم على ١٠ مرة أخرى، ونقسم على ١٠ مرة أخرى، ونقسم على ١٠ مرة أخرى.

لننتقل مباشرة إلى الطريقة المختصرة لإجراء ذلك. ‏‏٧٫٢ مقسومًا على ١٠ يساوي ٠٫٧٢، ومن ثم فإن العلامة العشرية تتحرك فعليًا خانة واحدة إلى اليسار هنا. الآن، علينا أن نحركها أربع مرات؛ إذن: واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع. إذن، تتحرك العلامة العشرية إلى هنا. علينا أن نضع بعض الأصفار هنا لحفظ القيم المكانية للأرقام، ونضع صفرًا كذلك قبل العلامة العشرية، لذلك نعرف أنه ٠٫٠٠٠٧٢.

حسنًا، إن هذه الأصفار مهمة للغاية؛ لأنها حافظة للقيم المكانية للأرقام، فهي تخبرنا بأن العدد سبعة يجب أن يكون في خانة الأجزاء من عشرة آلاف، وبأن العدد اثنين يجب أن يكون في خانة الأجزاء من مائة ألف. ومرة أخرى، من المهم أن نكتب الإجابة بوضوح دون كل هذه الخربشات المحيطة بها، إذن الإجابة هي: ٠٫٠٠٠٧٢. والآن، تذكر أن جميع تحركات العلامة العشرية تلك قد ترى أنها ليست بالضرورة طريقة رياضية، ولكنها طريقة جيدة ومختصرة لحل هذه الأسئلة. حسنًا لنتناول مثالًا آخر.

‏‏٣٫٠٥ في ١٠ أس سالب ستة.

حسنًا، الضرب في ١٠ أس سالب ستة يعني أننا نقسم عددًا من المرات يساوي الأس السالب، ما يعني أننا نقسم على ١٠ ست مرات. إذن، نحن نبدأ بـ ٣٫٠٥ ونقسم على ١٠، ثم نقسم على ١٠، ثم نقسم على ١٠، ثم نقسم على ١٠، ثم نقسم على ١٠، ثم نقسم على ١٠ مرة أخرى. إذن، نقسم على ١٠ مرات عديدة. علي أن أترك مسافة يسار هذا العدد هنا.

حسنًا، بالقسمة على ١٠ مرة واحدة، تتحرك العلامة العشرية إلى هنا، مرتين، ثلاث مرات، أربع مرات، خمس مرات، ست مرات، وهو ما يعني أن العلامة العشرية تحركت إلى هنا. والآن يمكنني أن أضع الأصفار. يوجد واحد هنا. ويوجد واحد هنا. ويوجد واحد هنا، وواحد هنا، وواحد هنا. وسأضع صفرًا قبل العلامة العشرية أيضًا. ومن ثم نحصل على ٠٫٠٠٠٠٠٣٠٥. وهذه هي الإجابة مكتوبة بطريقة مرتبة وواضحة.

حسنًا، إذن، ما الهدف من هذه الصيغة العلمية؟ في الأمثلة التي عرضناها، لا يوجد فرق كبير بين كتابة هذا وكتابة ذاك. ويرجع ذلك إلى أن الأمثلة التي تناولناها كانت سهلة نسبيًا، فقط لتوصيل الفكرة. ماذا لو كان السؤال: ما المسافة بين كوكب الأرض ونجم بروكسيما سنتوري، النجم الأقرب إلى الأرض بخلاف الشمس؟

حسنًا، إنها تزيد عن ٤٠ كوادريليون متر بعيدًا عن الأرض. إن هذا عدد أكبر كثيرًا من أن نكتبه. وعندما نبدأ الحديث عن القياسات الفلكية، سنجد أننا نتعامل مع أعداد أكبر من ذلك. والآن، بدأ يتضح مدى فائدة أن نكتب شيئًا مثل ٤٫٠٢٠٨ في ١٠ أس عدد ما متر. لكن ما هذا العدد؟

حسنًا، إذا وضعنا علامة عشرية هنا، فلكي نحركها إلى نهاية هذا العدد هنا، فسيكون عليها أن تتحرك خانة، خانتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ستًا، سبعًا، ثمانيًا، تسعًا، ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥، ١٦ خانة. إذن، هذا هو ٤٫٠٢٠٨ في ١٠ أس ١٦ مترًا. وعند إجراء ذلك، تذكر أن هذا العدد هنا يجب أن يكون أكبر من أو يساوي واحدًا، ولكن يجب أن يكون أقل من ١٠. لذا، جعلنا العدد: أربعة، علامة عشرية، أعدادًا أخرى. وفي هذه الحالة، تبقى لدينا ١٠ أس ١٦.

وعلى الجانب الآخر، لدينا أشياء صغيرة للغاية. على سبيل المثال، قطر البروتون يساوي حوالي واحد على المليون من النانومتر، أو ٠٫٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠١ متر. ولكن، لا بد من أن هناك طريقة أسرع وأسهل لكتابة ذلك. حسنًا، الرقم في النهاية هنا هو واحد، إذن يمكننا كتابته على صورة واحد في ١٠ أس سالب عدد ما متر. ما هذا العدد إذن؟

حسنًا، إذا كتبنا واحدًا تليه علامة عشرية، هكذا، فعلينا تحريك العلامة العشرية واحدة، اثنتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ستًا، سبعًا، ثمانيًا، تسعًا، ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥ خانة إلى اليسار. إذن، يمكننا كتابة العدد على صورة واحد في ١٠ أس سالب ١٥ مترًا. حسنًا، لنلق نظرة على بعض الأسئلة المعتادة التي قد تطرح عليك في الاختبار.

اكتب العدد ٣٫١٤١٥٧٩٢٦٥ في ١٠ أس أربعة بالصورة المعتادة.

إذا كنت تعيش في مكان يسمي ذلك الصورة القياسية، فإن العدد غير المكتوب بالصورة القياسية يسمى عددًا بالصورة المعتادة. ولكن، إذا كنت تعيش في مكان يسمي هذه الصورة الصيغة العلمية، فإن الصورة المعتادة تسمى الصورة القياسية. كم هذا محير! على أية حال، لا داعي لأن نشغل أنفسنا بهذا الآن. فأنت تعرف أين تعيش. وآمل أنك تعرف التسمية المستخدمة عندك.

إذن، لدينا ٣٫١٤١٥٧٩٢٦٥ في ١٠ أس أربعة، في هذا السؤال، نضرب في ١٠ أربع مرات موجبة. إننا نضرب في ١٠ أربع مرات، وبذلك تتحرك العلامة العشرية خانة، اثنتين، ثلاثًا، أربع خانات إلى اليمين. وبعد أن ضربنا هذا العدد في ١٠ أربع مرات، حصلنا على ٣١٤١٥٫٧٩٢٦٥.

ماذا عن السؤال التالي إذن؟

اكتب ٦٫٢ في ١٠ أس سبعة بالصورة المعتادة.

حسنًا، سنكتب ٦٫٢ بالأسفل، ثم نضربه في ١٠ سبع مرات. إذن، نتحرك واحدة، اثنتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ستًا، سبعًا. وعليه، نحصل على ٦٢٠٠٠٠٠٠٫٠. حسنًا، من الواضح أنه في هذه الحالة، يمكننا حذف العلامة العشرية والصفر بعدها، وبذلك نحصل على إجابة هي: ٦٢ مليونًا.

والآن، اكتب ٩٫٦٠٣ في ١٠ أس سالب ثلاثة بالصورة المعتادة.

إذن، سنكتب ٩٫٦٠٣ بالأسفل، ونضربه في واحد على ١٠، ثلاث مرات، أي نقسم على ١٠ ثلاث مرات. إذن، ستتحرك هذه العلامة العشرية إلى اليسار. الأمر الذي سيجعل هذا العدد أصغر. بالقسمة على ١٠ مرة واحدة، مرتين، ثلاث مرات، تتحرك العلامة العشرية إلى هنا. يمكنني إذن وضع الأصفار الحافظة للقيم المكانية، وسنجد أن الإجابة هي: ٠٫٠٠٩٦٠٣.

والآن، لنلق نظرة على سؤال أو سؤالين أكثر صعوبة بقليل.

أوجد قيمة ثلاثة في ١٠ أس أربعة مضروبًا في ١٫٢ في ١٠ أس سبعة، واكتب إجابتك بالصيغة العلمية.

حسنًا، عند الضرب لا يهم ترتيب ضرب هذه الأعداد معًا داخل الأقواس، لذا يمكنني التخلص من هذه الأقواس على الفور. إذن، هذا يساوي ثلاثة في ١٠ أس أربعة في ١٫٢ في ١٠ أس سبعة. والآن، يمكننا ضرب ١٠ أس أربعة و١٠ أس سبعة معًا، ويمكننا ضرب ثلاثة و١٫٢. ثلاثة في ١٫٢ يساوي ٣٫٦. وإذا ضربنا في ١٠ أربع مرات ثم سبع مرات أخرى، نكون بذلك ضربنا ١١ مرة في ١٠. وذلك يساوي ١٠ أس ١١. إذن، ذلك يساوي ٣٫٦ في ١٠ أس ١١.

والآن، تذكر أنه لكي يكتب العدد بالصيغة العلمية الصحيحة، يجب أن يكون بهذه الصورة: ﺃ في ١٠ أس ﺏ؛ حيث ﺃ هو عدد بين واحد و١٠. يمكنه أن يساوي واحدًا، ولكن لا يمكنه أن يساوي ١٠. وﺏ هو القوة أو الأس الموجب أو السالب للعدد ١٠. والآن، في السؤال الذي لدينا، قيمة ﺃ وهي ٣٫٦ تقع في النطاق الصحيح. فهي أكبر من أو تساوي واحدًا، ولكنها أقل من ١٠. ولدينا هنا قوة أو أس موجب للعدد ١٠. إذن، الإجابة هي ٣٫٦ في ١٠ أس ١١.

حسنًا إذن، سنتناول سؤالًا أخيرًا قبل أن نذهب.

أوجد قيمة خمسة في ١٠ أس خمسة مضروبًا في ٨٫٢ في ١٠ أس ١١، واكتب إجابتك بالصيغة العلمية.

حسنًا، مرة أخرى، نعرف أن الضرب عملية إبدالية، لذا لا يهم وجود الأقواس ولا يهم ترتيب كتابة الأعداد التي بداخلها. إذن، سأضرب خمسة في ٨٫٢ في ١٠ أس خمسة في ١٠ أس ١١، بهذا الترتيب. خمسة في ٨٫٢ يساوي ٤١. وإذا ضربنا في ١٠ أس خمسة، فإننا نضرب في ١٠ خمس مرات، ثم نضرب في ١٠ أس ١١، أي نضرب ١١ مرة أخرى في ١٠، وهذا يساوي إجمالًا ١٦ مرة. إذن، نضرب في ١٠ أس ١٦. إذن، ناتج ذلك يساوي ٤١ في ١٠ أس ١٦.

ولكن، مهلًا! هذه ليست الإجابة المطلوبة! فهذا العدد هنا لا بد أن يكون بين واحد و١٠. والعدد ٤١ لا يقع بين واحد و١٠. ولكن، انظر، يمكنني كتابته على الصورة ٤٫١ في ١٠ أس عدد ما. حسنًا، في واقع الأمر، في هذه الحالة، سيكون مضروبًا في ١٠ أس واحد، لأنني أريد أن أضرب ٤٫١ في ١٠ مرة واحدة لأحصل على ٤١. إذن، ٤١ يساوي ٤٫١ في ١٠ أس واحد.

وهذا هو العدد الذي سنضربه في ١٠ أس ١٦. حسنًا، يمكننا أن نرى أن لدينا ٤٫١ مضروبًا في ١٠ مرة واحدة ومضروبًا ١٦ مرة أخرى في ١٠، ما يعني أنه مضروب في ١٠ بإجمالي ١٧ مرة. ها قد حللنا المسألة. لقد كتبنا العدد بصيغة علمية صحيحة. الجزء الأول هو ٤٫١. وهو يقع بين واحد و١٠. ثم نضرب في ١٠ أس ١٧.