فيديو الدرس: مدى مجموعة البيانات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مدى مجموعة بيانات. سنبدأ بإلقاء نظرة على تعريف المدى، ثم الإجابة عن مجموعة متنوعة من الأسئلة.

المدى لمجموعة من البيانات هو الفرق بين القيمتين العظمى والصغرى. يمكننا إذن حساب المدى بطرح أصغر قيمة للبيانات من أكبر قيمة للبيانات. وتتمثل أهمية حساب المدى في أنه يطلعنا على مقدار انتشار البيانات. سنتناول الآن بعض الأمثلة لنتدرب على إيجاد المدى واستخدامه.

عدد الأهداف التي أحرزها ١٢ لاعبًا في موسم هي ١٣ و١١ و١٢ وخمسة وخمسة وتسعة وستة و١١ وثمانية وخمسة وستة و١٩. بين إذا ما كانت العبارة الآتية صوابًا أم خطأ. مدى البيانات هو ١٤ هدفًا.

يمكننا حساب مدى أي مجموعة من البيانات بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة. ورغم أنه يمكننا إيجاد هاتين القيمتين من القائمة بمجرد النظر، سنجد أنه من الأفضل غالبًا البدء بإعادة كتابة مجموعة البيانات بترتيبها على حسب قيمتها العددية. أصغر قيمة في مجموعة البيانات هي خمسة. ولدينا ثلاثة من هذه القيمة. كما يتكرر العدد ستة مرتين في مجموعة البيانات. القيمة الأصغر التالية هي ثمانية. وباستكمال القائمة من الأصغر إلى الأكبر، يصبح لدينا ٩ و١١ و١١ و١٢ و١٣ و١٩. من ثم، أصغر قيمة تساوي خمسة، وأكبر قيمة تساوي ١٩. يمكننا إذن حساب المدى بطرح خمسة من ١٩. وهذا يساوي ١٤. تقول العبارة المذكورة في السؤال إن مدى البيانات هو ١٤ هدفًا، وهذا صواب.

يتضمن السؤال التالي إيجاد المدى من مجموعة بيانات ممثلة بواسطة التمثيل بالنقاط.

يوضح الرسم البياني أوزان طيور البطريق بالكيلوجرام في إحدى حدائق الحيوان. هل مدى الأوزان ٢٤ كيلوجرامًا؟

يمكن حساب مدى أي مجموعة من البيانات بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة. ونظرًا لأن الأوزان الموضحة بواسطة التمثيل بالنقاط مرتبة بالفعل، يمكننا ملاحظة أن أصغر قيمة هي ٢٣ كيلوجرامًا. وأكبر قيمة هي ٤٩ كيلوجرامًا. يمكننا إذن حساب المدى بطرح ٢٣ من ٤٩. ٤٠ ناقص ٢٠ يساوي ٢٠، وتسعة ناقص ثلاثة يساوي ستة. إذن، ٤٩ ناقص ٢٣ يساوي ٢٦. مدى قيم أوزان طيور البطريق هو ٢٦ كيلوجرامًا. هذا يعني أن الإجابة عن السؤال حول ما إذا كان مدى الأوزان ٢٤ كيلوجرامًا، هي لا.

افترض أن ٤٤٥ هو العنصر الأكبر في مجموعة مداها ٢٥٤. ما العنصر الأصغر في هذه المجموعة؟

نعلم أنه لحساب مدى أي مجموعة، نطرح العنصر الأصغر من العنصر الأكبر. في هذا السؤال، لدينا العنصر الأكبر أو الأعظم ومدى المجموعة، وعلينا حساب العنصر الأصغر. يمكننا فعل ذلك باستخدام الصيغة أو باستخدام خط الأعداد. وبالتعويض بهذه القيم، نحصل على ٢٥٤ يساوي ٤٤٥ ناقص ‪ﺱ‬‏، حيث ‪ﺱ‬‏ هو العنصر الأصغر في المجموعة. بإضافة ‪ﺱ‬‏ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ‪ﺱ‬‏ زائد ٢٥٤ يساوي ٤٤٥. يمكننا بعد ذلك طرح ٢٥٤ من كلا طرفي هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪ﺱ‬‏. ‏‪ﺱ‬‏ يساوي ١٩١، حيث ٤٤٥ ناقص ٢٥٤ يساوي ١٩١. يمكننا إذن استنتاج أن العنصر الأصغر في هذه المجموعة هو ١٩١.

وكما ذكرنا من قبل، يمكننا أيضًا حساب ذلك باستخدام خط الأعداد. نعلم أن أكبر قيمة هي ٤٤٥. والمدى هو الفرق بين أكبر أو أعظم قيمة، وأصغر قيمة. في هذا المثال، علمنا أنه ٢٥٤. أي إن الفرق بين القيمتين الأصغر والأكبر هو ٢٥٤، وهو ما يعني أنه يمكننا طرح هذه القيمة من ٤٤٥ لحساب أصغر قيمة. ومرة أخرى، نحصل على الناتج ١٩١.

سنستعرض الآن مسألتين أكثر تعقيدًا قبل إنهاء هذا الفيديو.

يوضح الشكل التالي عدد أكواب المياه التي تستهلكها مجموعة من الأشخاص في اليوم الواحد. صف كيفية تغير المدى إذا أضفنا بيانات إضافية قيمتها واحد إلى مجموعة البيانات.

يخبرنا التمثيل البياني أن ثمانية أشخاص يستهلكون صفرًا من أكواب المياه في اليوم الواحد. وخمسة أشخاص يستهلكون كوبًا واحدًا؛ وشخصان يستهلكان كوبين؛ وستة أشخاص يستهلكون ثلاثة أكواب؛ وشخص واحد يستهلك أربعة أكواب؛ وأخيرًا، سبعة أشخاص يستهلكون خمسة أكواب من المياه في اليوم الواحد.

نحن نعلم أنه لحساب مدى أي مجموعة من البيانات، نطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة. في هذا السؤال، سيكون المدى هو عدد الأكواب. ولا يهم اختلاف عدد الأشخاص الذين يستهلكون هذا العدد من الأكواب. أصغر قيمة هي صفر. أي يوجد بعض الأشخاص، في هذه الحالة، وهم ثمانية، لا يستهلكون أي أكواب من المياه. وأكبر قيمة هي خمسة؛ حيث هذا هو أكبر عدد يستهلكه أي شخص من أكواب المياه. يمكننا إذن حساب مدى البيانات الأصلية بطرح صفر من خمسة. وهذا يساوي خمسة.

تخبرنا المسألة بعد ذلك أنه توجد بيانات إضافية قيمتها واحد تضاف إلى مجموعة البيانات. هذا يعني أن لدينا الآن ستة أشخاص يستهلكون كوبًا واحدًا من المياه يوميًّا. لكن هذا لا يؤثر على أصغر قيمة أو أكبر قيمة. لذا، ما زال المدى الجديد يساوي خمسة ناقص صفر. فإضافة قيمة البيانات الإضافية لا يغير المدى. إذن، يمكننا استنتاج أن المدى سيظل كما هو دون تغيير ليساوي خمسة.

لدى باسم مجموعة البيانات الآتية: ستة، ثمانية، ﻙ، ثمانية، ثمانية، تسعة. إذا كان المدى يساوي ثلاثة، فما العدد الذي يمكن أن يمثله ﻙ؟ هل هو (أ) ثلاثة، أم (ب) أربعة، أم (ج) خمسة، أم (د) ستة، أم (هـ) ١٣؟

نتذكر أنه يمكننا حساب المدى بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة. في هذا السؤال، سننظر في أكبر قيمة وأصغر قيمة عندما يساوي ﻙ كل خيار من هذه الخيارات الخمسة. أحد هذه الخيارات سيكون مداه ثلاثة وسيمثل الإجابة الصحيحة. عندما يساوي ﻙ ثلاثة، فإن قائمة القيم بالترتيب التصاعدي تكون ثلاثة وستة وثمانية وثمانية وثمانية وتسعة. وبما أن أكبر قيمة هي تسعة وأصغر قيمة هي ثلاثة، فسيساوي المدى تسعة ناقص ثلاثة. ونظرًا لأن الناتج يساوي ستة، فإن الخيار (أ) غير صحيح.

عندما يساوي ﻙ أربعة، فإن أصغر قيمة تساوي أربعة، وأكبر قيمة تساوي تسعة. المدى هذه المرة سيساوي تسعة ناقص أربعة، وهو ما يساوي خمسة. ومرة أخرى، هذا ليس صحيحًا. عندما يساوي ﻙ خمسة، فإن أصغر عدد يساوي خمسة. ويظل أكبر عدد هو تسعة. إذن، المدى في هذه الحالة يساوي أربعة، وهو مرة أخرى غير صحيح. عندما يساوي ﻙ ستة، يصبح لدينا العدد ستة مكررًا مرتين. يمكننا كتابة ذلك بأي ترتيب. وتصبح القائمة الآن هي ستة وستة وثمانية وثمانية وثمانية وتسعة. بما أن العدد الأصغر في هذه المجموعة من البيانات هو ستة والعدد الأكبر هو تسعة، فإن المدى يساوي تسعة ناقص ستة. وهذا يساوي ثلاثة، مما يشير إلى أن الخيار (د) صحيح.

سنتحقق من الخيار (هـ) للتأكد فقط. هذه المرة، ﻙ يساوي ١٣. هذا يعني أن العدد الأصغر هو ستة والعدد الأكبر هو ١٣. والمدى هو الفرق بين هاتين القيمتين. ١٣ ناقص ستة يساوي سبعة. إذن، هذه الإجابة غير صحيحة أيضًا. وهذا يعني أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (د). من ثم، إذا كان المدى يساوي ثلاثة، فإن العدد الذي يمكن أن يساوي ﻙ من القائمة هو ستة.

توجد بعض الأعداد الأخرى التي يمكن أن يمثلها ﻙ ولم تكن ضمن الخيارات. وطالما أن العدد ستة يظل العدد الأصغر والعدد تسعة يظل العدد الأكبر، فالمدى دائمًا سيكون ثلاثة. وهذا يعني أن ﻙ يمكن أن يمثل أي عدد من الأعداد الصحيحة الأربعة: ستة أو سبعة أو ثمانية أو تسعة. في هذا السؤال، كان العدد الوحيد المذكور منها باعتباره أحد الخيارات هو ستة، ولهذا السبب هو الإجابة الصحيحة الوحيدة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. المدى لأي مجموعة من البيانات هو الفرق بين القيمتين الأكبر والأصغر. لذا، يمكننا حساب المدى لأي مجموعة من البيانات بطرح القيمة الأصغر من القيمة الأكبر. يطلعنا مدى أي مجموعة من البيانات على مقدار انتشار البيانات. هذا يعني أن إضافة أي قيم إضافية إلى مجموعة من البيانات لا يغير دائمًا من المدى.

على سبيل المثال، لننظر إلى مجموعة البيانات: أربعة وسبعة و١٠ و١٠ و١٣. القيمة الأصغر هنا هي أربعة، والقيمة الأكبر هي ١٣. هذا يعني أن المدى يساوي تسعة؛ حيث ١٣ ناقص أربعة يساوي تسعة. ولن يؤثر إضافة أي قيم إضافية تقع ما بين أربعة و١٣، بما في ذلك العددان، على المدى. على سبيل المثال، إذا أضفنا العدد ثمانية، يظل العدد الأصغر هو أربعة والعدد الأكبر هو ١٣. وهو ما يعني أن المدى سيظل تسعة.

والجدير بالملاحظة أيضًا أنه لا يهم عدد مرات تكرار كل قيمة لدينا. أي إذا أضفنا العددين أربعة أو ١٣ عدة مرات إلى هذه القائمة، فسيظل المدى تسعة. بالإضافة إلى أنه باستخدام قائمة قيم البيانات، يمكننا أيضًا حساب المدى من خلال جدول تكراري أو تمثيل بياني.