نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺱ يساوي ظتا ﻥ وﺹ يساوي قتا ﻥ، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لكن ﺹ ليس معطى باعتباره دالة في ﺱ. بدلًا من ذلك، لدينا زوج من المعادلات البارامترية بدلالة المتغير ﻥ. وبما أن ﺹ ليس معطى باعتباره دالة في ﺱ، فلا يمكننا مجرد اشتقاق مقدار يعبر عن ﺹ بالنسبة إلى ﺱ مرتين لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ تربيع. لذا بدلًا من ذلك، سوف نستخدم الاشتقاق البارامتري.
ولعلنا نتذكر أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. وثمة أمر جدير بالملاحظة هنا في هذه الصيغة. وهو أننا نحتاج إلى ﺩﺹ على ﺩﺱ. لكن ﺹ غير معطى على صورة دالة في ﺱ، إذن لا يمكننا مجرد اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إيجاد ذلك باستخدام الاشتقاق البارامتري مرة أخرى. أو بدلًا من ذلك، هذا تطبيق لقاعدة السلسلة. ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ.
ومن ثم، لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، علينا أولًا إيجاد مقدارين يعبران عن ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ. لنبدأ بإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. أي نوجد مشتقة قتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا فعل ذلك بتذكر أن مشتقة قتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب ظتا 𝜃 مضروبًا في قتا 𝜃. إذن، مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ تساوي سالب ظتا ﻥ مضروبًا في قتا ﻥ.
ويمكننا اتباع طريقة مشابهة تمامًا لإيجاد مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. أي مشتقة ظتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وفي هذه الحالة، نتذكر أن مشتقة ظتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب قتا تربيع 𝜃. ومن ثم، فإن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي سالب قتا تربيع ﻥ. والآن يمكننا التعويض بالمقدارين اللذين يعبران عن ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ في الصيغة لدينا لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ظتا ﻥ في قتا ﻥ مقسومًا على سالب قتا تربيع ﻥ.
ويمكننا تبسيط ذلك. لنبدأ بحذف العامل المشترك سالب واحد من البسط والمقام. كما يمكننا أيضًا حذف العامل المشترك قتا ﻥ من البسط والمقام. وعليه يتبقى لنا ظتا ﻥ مقسومًا على قتا ﻥ. وتذكر أنه لإيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ. إذن، من الجيد أن نحاول جعل هذا المقدار في أبسط صورة ممكنة. ويمكننا ترك هذا المقدار على هذه الصورة: ظتا ﻥ مقسوم على قتا ﻥ، ثم نشتقه باستخدام قاعدة القسمة، لكننا سوف نبسطه باستخدام المتطابقات المثلثية.
سوف نستخدم حقيقة أن ظتا ﻥ يساوي جتا ﻥ مقسومًا على جا ﻥ. وواحد على قتا ﻥ يساوي جا ﻥ. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة البسط على الصورة: جتا ﻥ مقسوم على جا ﻥ. ثم نضرب هذا في واحد على قتا ﻥ. ويمكننا أيضًا ضربه في جا ﻥ بدلًا من ذلك. وهذا يعطينا جتا ﻥ مقسومًا على جا ﻥ مضروبًا في جا ﻥ. ويمكننا تبسيط ذلك بحذف العامل المشترك جا ﻥ من البسط والمقام.
إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جتا ﻥ. والآن نحن جاهزون لاستخدام الصيغة التي لدينا لإيجاد مقدار يعبر عن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ولنبدأ بإفراغ بعض المساحة. بالتعويض بالمقدارين اللذين يعبران عن ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩﺱ على ﺩﻥ في الصيغة التي لدينا لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، نجد أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة جتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على سالب قتا تربيع ﻥ.
هيا نبدأ بحساب البسط. نتذكر أن مشتقة جتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب جا 𝜃. إذن، مشتقة جتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي سالب جا ﻥ. ونتذكر أيضًا أن القسمة على قتا ﻥ تكافئ الضرب في جا ﻥ. من ثم، فإن القسمة على قتا تربيع ﻥ تكافئ الضرب في جا تربيع ﻥ. ويمكننا أيضًا نقل سالب واحد من المقام إلى البسط. ومع ذلك، فإن هذا سيترتب عليه حذفه مع العامل سالب واحد الآخر. وبذلك يتبقى لدينا جا ﻥ في جا تربيع ﻥ، وهو ما يساوي جا تكعيب ﻥ، وهذه هي الإجابة النهائية.
ومن ثم، فقد استطعنا توضيح أنه إذا كان ﺱ يساوي ظتا ﻥ وﺹ يساوي قتا ﻥ، فإن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ هي جا تكعيب ﻥ.
