نسخة الفيديو النصية
إذا كان مقدار المتجه 𝐮 يساوي خمسة، ومقدار المتجه 𝐯 يساوي اثنين، فما أصغر قيمة ممكنة للمقدار 𝐮 زائد 𝐯؟
في هذا السؤال، لدينا مقدارا متجهين مختلفان. مقدار 𝐮 يساوي خمسة، ومقدار 𝐯 يساوي اثنين. علينا استخدام هذه المعطيات لتحديد أصغر قيمة ممكنة لمقدار مجموع المتجهين 𝐮، 𝐯.
قبل البدء في الإجابة عن هذا السؤال، سنفترض أن المتجهين 𝐮، 𝐯 ثنائيا الأبعاد. في الواقع، هذا ليس افتراضًا ضروريًّا. ستكون النتيجة صحيحة لأي متجهين لهما البعد نفسه. لكن هذا الافتراض سيسهل جميع الأشكال التي سنستخدمها. على الرغم من أنه من الممكن الإجابة عن هذا السؤال جبريًّا، فإن ذلك صعب جدًّا. لذا، سنجيب عنه بيانيًّا. وسنفعل ذلك بتذكر أمرين. أولًا: لجمع متجهين معًا بيانيًّا، علينا أن نرسمهما رأسًا إلى ذيل. بعد ذلك، يمكننا جمع المتجهين معًا باستخدام ذيل المتجه الأول ورأس المتجه الثاني. بعبارة أخرى: نتبع المتجهين. 𝐮 زائد 𝐯 معطى في الشكل التالي.
بعد ذلك، يمكننا تذكر أن مقدار المتجه الممثل بيانيًّا هو طول القطعة المستقيمة. ومن ثم، بما أن مقدار المتجه 𝐮 يساوي خمسة، ومقدار المتجه 𝐯 يساوي اثنين، يمكننا استنتاج أن طول الضلع الأزرق في هذا المثلث خمسة، وطول الضلع البرتقالي في هذا المثلث يساوي اثنين. ويطلب منا السؤال تحديد أصغر قيمة لمقدار 𝐮 زائد 𝐯. وهو أصغر طول ممكن للقطعة المستقيمة 𝐮 زائد 𝐯. في هذا الشكل، تظهر القطعة المستقيمة باللون الوردي. يمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن طول أي ضلع في المثلث مرتبط بقياس الزاوية المقابلة للضلع.
في الواقع، إذا عرفنا قانون جيب التمام، يمكننا إيجاد علاقة مباشرة بين هذه القيم الأربع كلها. لكن هذا ليس ضروريًّا للإجابة عن هذا السؤال. بدلًا من ذلك، نلاحظ أنه كلما زاد قياس هذه الزاوية، زاد طول الضلع. وهذا بدوره يعني أن مقدار المتجه 𝐮 زائد 𝐯 سيكون أكبر. ويمكننا الاستمرار هكذا. يمكننا جعل 𝐮، 𝐯 يشيران إلى الاتجاه نفسه.
عندما نستخدم طريقة الرأس للذيل لجمع المتجهين معًا، يمكننا أن نلاحظ أن مقدار المتجه 𝐮 زائد المتجه 𝐯 يساوي مقدار المتجه 𝐮 زائد مقدار المتجه 𝐯. وهذا هو أكبر مقدار ممكن لمجموع هذين المتجهين. وهذا يحدث عندما يشير المتجهان إلى الاتجاه نفسه.
الآن لنلق نظرة على أصغر قيمة يمكننا الحصول عليها. وبالطريقة نفسها بالضبط، إذا جعلنا الزاوية في هذا المثلث أصغر، فسيكون طول الضلع 𝐮 زائد 𝐯 أصغر. ويمكننا الاستمرار في اتباع هذه العملية لجعل طول هذا الضلع أصغر. بعبارة أخرى، هذا سيجعل مقدار 𝐮 زائد 𝐯 أصغر فأصغر. وبالطريقة التي وضحنا بها أننا نحصل على أكبر مقدار ممكن لمجموع هذين المتجهين عندما يشيران إلى الاتجاه نفسه، يمكننا أن نثبت أننا نحصل على أصغر مقدار ممكن لمجموع هذين المتجهين عندما يشيران في اتجاهين متضادين.
باستخدام طريقة الرأس للذيل، يمكننا جمع المتجهين 𝐮، 𝐯 بيانيًّا. على وجه التحديد، نعلم أن مقدار المتجه 𝐮 يساوي خمسة. ومن ثم، فإن طول القطعة المستقيمة التي تمثل المتجه 𝐮 هو الطول خمسة. وبالمثل، فإن مقدار المتجه 𝐯 يساوي اثنين. يمكننا بعد ذلك حساب مقدار المتجه 𝐮 زائد 𝐯 مباشرة من هذا الشكل. فهو يضاف إلى اثنين لتكوين خمسة. إذن مقداره ثلاثة. وهذا يعطينا خاصيتين مفيدتين. إذا كان 𝐮، 𝐯 يشيران إلى الاتجاه نفسه، فسيكون مقدار مجموع هذين المتجهين هو مجموع مقداريهما. وهذا هو أكبر مقدار ممكن لمجموع هذين المتجهين. وإذا كان 𝐮، 𝐯 يشيران إلى اتجاهين متضادين تمامًا، فإن مقدار مجموع هذين المتجهين يساوي القيمة المطلقة لفرق مقداريهما. وهو في هذه الحالة أصغر مقدار ممكن لمجموع هذين المتجهين.
بذلك نكون قد أوضحنا أنه إذا كان مقدار 𝐮 يساوي خمسة، ومقدار 𝐯 يساوي اثنين، فإن أصغر مقدار ممكن للمتجه 𝐮 زائد المتجه 𝐯 هو خمسة ناقص اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة.
