نسخة الفيديو النصية
أوجد جميع الحلول للمعادلتين الآنيتين ﺱ ناقص ﺹ يساوي ستة وﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱﺹ زائد ﺹ تربيع يساوي ٣٦.
في هذا السؤال، نريد حل زوج من المعادلات الآتية. يمكننا تسميتهما بالمعادلة رقم واحد والمعادلة رقم اثنين. وعندما نسمي المعادلات، سوف يساعدنا ذلك على توضيح الخطوات المحددة التي نتبعها في الحل.
لحل هاتين المعادلتين الآنيتين، سنستخدم طريقة تسمى التعويض. ولكي نستخدم هذه الطريقة، علينا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين بحيث نجعل إما ﺱ وإما ﺹ متغيرًا تابعًا، ثم نعوض بذلك في المعادلة الأخرى.
المعادلة التي سنستخدمها في هذه المسألة هي المعادلة رقم واحد. وقد اخترنا أن نجعل ﺱ متغيرًا تابعًا، مع العلم أنه يمكننا جعل ﺱ أو ﺹ متغيرًا تابعًا. لكن كما ذكرنا، فإننا سنختار ﺱ في هذه المسألة. ما سنفعله الآن هو إضافة ﺹ إلى طرفي المعادلة. ومن ثم، نحصل على ﺱ يساوي ستة زائد ﺹ. وهذه هي المعادلة رقم ثلاثة.
والآن علينا التعويض بالمعادلة رقم ثلاثة في المعادلة رقم اثنين. عندما نقول إننا سنعوض بالمعادلة، فما نعنيه هو أننا سنعوض بستة زائد ﺹ عن جميع قيم ﺱ في المعادلة رقم اثنين. ونحن نفعل ذلك لكي يصبح لدينا متغير واحد فقط. وفي هذه الحالة، يكون المتغير هو ﺹ. وهكذا، يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة أو قيم ﺹ.
حسنًا، الخطوة الأولى هي فك الأقواس؛ لأن لدينا ستة زائد ﺹ الكل تربيع. وهذا يعني ستة زائد ﺹ مضروبًا في ستة زائد ﺹ. أولًا، سيكون لدينا ستة مضروبًا في ستة، وهذا يساوي ٣٦، ثم ستة مضروبًا في موجب ﺹ، وهذا يساوي موجب ستة ﺹ، ثم موجب ﺹ مضروبًا في ستة، وهذا يساوي موجب ستة ﺹ أيضًا، وأخيرًا ﺹ مضروبًا في ﺹ، وهذا يساوي ﺹ تربيع.
رائع. الآن ما علينا فعله هو تبسيط ذلك. ويمكننا التبسيط من خلال تجميع الحدود المتشابهة. الحدان المتشابهان هما موجب ستة ﺹ وموجب ستة ﺹ؛ لأن كليهما يحتوي على ﺹ أس واحد. ومن ثم يمكننا القول إن ٣٦ زائد ١٢ﺹ زائد ﺹ تربيع هو ناتج ستة زائد ﺹ مضروبًا في ستة زائد ﺹ. ثم لدينا سالب ٥٤ﺹ ؛ لأن لدينا سالب تسعة ﺹ مضروبًا في ستة؛ وهنا علينا الانتباه! لأننا قد نقع في خطأ شائع وهو عدم كتابة الإشارة السالبة؛ لذا علينا أن ننتبه جيدًا عندما تكون لدينا قيم سالبة، ثم لدينا ناقص تسعة ﺹ تربيع؛ لأن لدينا سالب تسعة ﺹ مضروبًا في ﺹ، وهذا يعطينا سالب تسعة ﺹ تربيع. ثم نضيف ﺹ تربيع، وهذا كله يساوي ٣٦.
الآن بعد أن وصلنا إلى هذه المرحلة، فما علينا فعله هو تجميع الحدود المتشابهة من أجل التبسيط. أولًا، لدينا سالب سبعة ﺹ تربيع، وذلك لأن لدينا موجب ﺹ تربيع ناقص تسعة ﺹ تربيع، وهو ما يساوي سالب ثمانية ﺹ تربيع، زائد ﺹ تربيع، وهذا يعطينا سالب سبعة ﺹ تربيع. بعد ذلك، لدينا سالب ٤٢ﺹ. وهذا لأن لدينا موجب ١٢ﺹ ناقص ٥٤ﺹ، وهو ما يساوي سالب ٤٢ﺹ، ثم زائد ٣٦ يساوي ٣٦.
ما سنفعله الآن هو طرح ٣٦ من طرفي المعادلة، وبذلك نحصل على سالب سبعة ﺹ تربيع ناقص ٤٢ﺹ يساوي صفرًا. رائع، الآن ما يمكننا فعله هو الحل لإيجاد قيمتي ﺹ. ولكي نتمكن من فعل ذلك، سنحلل هذه المعادلة. عند تحليل سالب سبعة ﺹ تربيع ناقص ٤٢ﺹ، فإن أول ما سنأخذه خارج القوسين هو سالب سبعة ﺹ. وذلك لأن لدينا سالب سبعة في كل حد من هذين الحدين، كما لدينا أيضًا ﺹ في كل حد منهما.
إذن، الحد الأول في داخل القوسين سيكون ﺹ. هذا لأن سالب سبعة ﺹ مضروبًا في ﺹ يساوي سالب سبعة ﺹ تربيع. وبالنسبة إلى الحد الثاني في داخل القوسين، سيكون موجب ستة. وذلك لأن سالب سبعة ﺹ مضروبًا في موجب ستة يساوي سالب ٤٢ﺹ.
مرة أخرى، علينا هنا أن ننتبه جيدًا للإشارة السالبة؛ لأنه من الخطأ وضع الإشارة السالبة داخل القوسين عندما يكون لدينا قيمة سالبة، أي سالب ٤٢ﺹ في هذه الحالة؛ لكن في الواقع عند ضرب قيمة سالبة في أخرى موجبة، فإننا نحصل على قيمة سالبة. رائع، لقد وصلنا الآن إلى المرحلة التي يمكننا فيها الحل لإيجاد قيمتي ﺹ.
إذن، ﺹ يساوي صفرًا أو سالب ستة. سنوضح كيف حصلنا على هاتين القيمتين، أولًا، حصلنا على قيمة الصفر؛ لأن علينا ضرب سالب سبعة ﺹ في ﺹ زائد ستة للحصول على الناتج صفر. وإذا كان ﺹ يساوي صفرًا، فسيصبح لدينا صفر خارج القوسين مضروبًا في ستة الذي يوجد داخل القوسين. حسنًا، صفر مضروبًا في أي عدد يساوي صفرًا. وهكذا حصلنا على ﺹ يساوي صفرًا. وحصلنا على سالب ستة؛ لأنه يجب أن يساوي المقدار داخل القوسين صفرًا. ومن ثم، نجعل ﺹ زائد ستة يساوي صفرًا ونطرح ستة من كلا الطرفين، فنحصل على ﺹ يساوي سالب ستة.
الآن، أصبح لدينا قيمتا ﺹ، دعونا نتابع ونوجد قيمتي ﺱ. لإيجاد قيمتي ﺱ، علينا التعويض بـ ﺹ يساوي صفرًا وﺹ يساوي سالب ستة في المعادلة رقم ثلاثة. أولًا، إذا عوضنا بـ ﺹ يساوي صفرًا، فسنحصل على ﺱ يساوي ستة زائد صفر. وبذلك، نحصل على ﺱ يساوي ستة. وإذا عوضنا بـ ﺹ يساوي سالب ستة، فسنحصل على ﺱ يساوي ستة زائد سالب ستة. وإذا أضفنا الإشارة السالبة، فستصبح العملية هي الطرح. ومن ثم، يصبح لدينا ﺱ يساوي ستة ناقص ستة. ونجد أن ﺱ يساوي صفرًا.
إذن، يمكننا القول إن حلول المعادلتين الآنيتين ﺱ ناقص ﺹ يساوي ستة وﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱﺹ زائد ﺹ تربيع يساوي ٣٦ هي ﺱ يساوي ستة عند ﺹ يساوي صفرًا وﺱ يساوي صفرًا عند ﺹ يساوي سالب ستة.
