نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفك مربع الفرق بين وحيدتي الحد أو مجموعهما. وحيدة الحد عبارة عن مقدار يحتوي على حد جبري واحد، مثل 𝑥، أو اثنين، أو 𝑦. الفرق بين وحيدتي الحد أو مجموعهما يعطينا مقدارًا مثل 𝑥 زائد اثنين، أو 𝑎 ناقص 𝑏، ويشار إليه باسم المقدار ذي الحدين. كما يتضح من الاسم، وحيدة الحد بها حد واحد، والمقدار ذو الحدين به حدان تفصلهما علامة جمع أو طرح. إذن ذات الحدين عبارة عن مقدار جبري له حدان.
تربيع مقدار ذي حدين يعني ضربه في نفسه. فعلى سبيل المثال، نبحث عن ناتج 𝑥 زائد اثنين مضروبًا في 𝑥 زائد اثنين، وهو ما يمكننا كتابته في صورة 𝑥 زائد اثنين الكل تربيع. هذه مهارة جبرية مهمة، لأنها تتيح لنا التعامل مع المقادير الجبرية الأكثر تعقيدًا، وغالبًا ما تكون مطلوبة لحل مسائل أخرى في الرياضيات، مثل المسائل التي تتضمن مساحة الأشكال الثنائية الأبعاد. في هذا الفيديو، سنلقي نظرة على مجموعة متنوعة من الطرق المختلفة المستخدمة لتربيع المقادير ذات الحدين، بحيث يمكنك اختيار الطريقة الأكثر منطقية بالنسبة إليك.
لنبدأ بتناول المثال الأول.
أوجد مفكوك 𝑚 زائد أربعة تربيع.
لدينا مقدار ذو حدين، وهو 𝑚 زائد أربعة. أول أمر مهم يجب أن نلاحظه هو أننا نوجد تربيع المقدار ذي الحدين بالكامل. هذا يعني أننا نأخذ المقدار 𝑚 زائد أربعة ونضربه في نفسه. إذن يمكن كتابة ذلك بطريقة أخرى، وهي 𝑚 زائد أربعة مضروبًا في 𝑚 زائد أربعة. كلمة «فك» تعني كلمة «توزيع» أيضًا. نريد فك الأقواس أو توزيعها. إذن علينا ضرب كل من حدي ذات الحدين الأولى في حدي ذات الحدين الثانية.
لنلق نظرة على تفسير مادي لهذا باستخدام المساحة أولًا. نفترض أن لدينا طولًا يساوي 𝑚 زائد أربع وحدات. يمكننا تقسيم ذلك إلى طول 𝑚 وحدة، وطول أربع وحدات. عند ضرب 𝑚 زائد أربعة في نفسه، فهذا يكافئ إيجاد مقدار يعبر عن مساحة مربع طول ضلعه 𝑚 زائد أربع وحدات. يمكننا تقسيم هذه المساحة إلى أربع مناطق أصغر وإيجاد مساحة كل منطقة على حدة. فكل منها عبارة عن مستطيل أو مربع، لذا نوجد مساحتها بضرب أبعادها معًا.
المنطقة الأولى مساحتها تساوي 𝑚 مضروبًا في 𝑚، وهو ما يساوي 𝑚 تربيع. المنطقة الثانية مساحتها تساوي 𝑚 مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي أربعة 𝑚. المنطقة الثالثة مساحتها تساوي أربعة مضروبًا في 𝑚، وهو ما يساوي أربعة 𝑚 أيضًا. المنطقة الأخيرة مساحتها تساوي أربعة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي 16. يمكن إيجاد المساحة الكلية عن طريق جمع المساحات الأربع المنفردة، فنحصل على 𝑚 تربيع زائد أربعة 𝑚 زائد أربعة 𝑚 زائد 16. علينا الآن أن نتذكر تبسيط هذا المقدار بتجميع الحدود المتشابهة. الحدان المتشابهان الوحيدان هما الحدان الموجودان في منتصف المفكوك، موجب أربعة 𝑚 زائد أربعة 𝑚، وهو ما يعطينا موجب ثمانية 𝑚. إذن يمكننا تبسيط المقدار إلى 𝑚 تربيع زائد ثمانية 𝑚 زائد 16. هذه هي الصورة التحليلية لـ 𝑚 زائد أربعة الكل تربيع.
علينا أن نلاحظ الآن أنه في هذه المرحلة، لدينا أربعة حدود في المفكوك، والحدان الأوسطان متماثلان تمامًا. بمجرد تجميع الحدين المتشابهين، يصبح لدينا ثلاثة حدود في المفكوك. سيكون هذا هو الحال دائمًا عند تربيع مقدار ذي حدين. إذا وجدنا عددًا مختلفًا من الحدود أو لم يكن لدينا حدان متماثلان تمامًا، فثمة خطأ ما. إذن علينا أن نتحقق مما لدينا. هذه إحدى الطرق المستخدمة للتفكير في هذا المفكوك باعتباره مساحة مربع طول أضلاعه 𝑚 زائد أربع وحدات. يشار إلى هذه الطريقة أحيانًا باسم طريقة الشبكة؛ لأنها تتبع نفس مبادئ طريقة الضرب باستخدام الشبكة.
الطريقة الثانية التي يمكننا التفكير فيها هي استخدام خاصية التوزيع لعملية الضرب. إذا ضربنا 𝑚 زائد أربعة في 𝑚 زائد أربعة، يمكننا أن نكتب ذلك على صورة 𝑚 مضروبًا في 𝑚 زائد أربعة زائد أربعة مضروبًا في 𝑚 زائد أربعة. إذن نوزع الحدين في المقدار ذي الحدين الأول على المقدار ذي الحدين الثاني. علينا بعد ذلك ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو فك الأقواس، أو توزيعها. 𝑚 مضروبًا في 𝑚 يعطينا 𝑚 تربيع. 𝑚 مضروبًا في أربعة يعطينا أربعة 𝑚. لدينا بعد ذلك أربعة مضروبًا في 𝑚، وهو ما يعطينا أربعة 𝑚 أيضًا، وأخيرًا أربعة مضروبًا في أربعة، وهو ما يعطينا 16.
المقدار الذي حصلنا عليه مطابق للمقدار الذي كان لدينا في هذه المرحلة في الطريقة الأولى. والخطوة الوحيدة المتبقية هي تجميع الحدين المتشابهين في منتصف المفكوك. كما هي الحال في الطريقة السابقة، نجد أن 𝑚 زائد أربعة الكل تربيع يساوي 𝑚 تربيع زائد ثمانية 𝑚 زائد 16. إذن هاتان طريقتان ممكنتان، لكن توجد طريقة ثالثة. وربما تكون الطريقة الأكثر استخدامًا. تسمى هذه الطريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو طريقة FOIL. كلمة FOIL عبارة عن اختصار، يعني أن كل حرف منها يشير إلى شيء ما. هذه طريقة للتأكد من أننا نضرب جميع الحدود الصحيحة معًا، ولا ننسى أي حد.
يرمز الحرف F في كلمة FOIL إلى الحدين الأولين. هذا يعني أننا نضرب الحد الأول في المقدار ذي الحدين الأول في الحد الأول في المقدار ذي الحدين الثاني. وهذا يساوي 𝑚 مضروبًا في 𝑚، وهو ما يساوي بالطبع 𝑚 تربيع. يرمز الحرف O إلى الحدين الخارجيين. إذن نضرب الحدين الموجودين خارج المفكوك. وهما 𝑚 في المقدار ذي الحدين الأول وأربعة في المقدار ذي الحدين الثاني، أي 𝑚 مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي أربعة 𝑚. من المحتمل أن نتوقع أن الحرف I يرمز إلى الحدين الداخليين، إذن نضرب الحدين الموجودين داخل المفكوك معًا. وهما أربعة في المقدار ذي الحدين الأول و𝑚 في المقدار ذي الحدين الثاني، أي أربعة مضروبًا في 𝑚، وهو ما يعطينا أربعة 𝑚. وأخيرًا: الحرف L الذي يرمز إلى الحدين الأخيرين. نضرب الحد الأخير في كل مقدار من المقدارين ذي الحدين. وهو أربعة في المقدار ذي الحدين الأول وأربعة في المقدار ذي الحدين الثاني، أي أربعة في أربعة، وهو ما يساوي 16.
كما هي الحال في السابق، لا بد أن يوجد أربعة حدود في المفكوك في هذه المرحلة. ولدينا حدان متشابهان في منتصف المفكوك يمكن جمعهما معًا. باستخدام الطرق الثلاث، توصلنا إلى النتيجة نفسها. عند فك 𝑚 زائد أربعة الكل تربيع، وهو ما يعني أننا سنضرب المقدار ذا الحدين 𝑚 زائد أربعة في نفسه، نحصل على الإجابة 𝑚 تربيع زائد ثمانية 𝑚 زائد 16. من المعتاد، وإن لم يكن ضروريًّا، أن نكتب الحدود في المفكوك بهذا الترتيب؛ أي من أكبر قوة إلى أصغر قوة لـ 𝑚. إذن لدينا الحد 𝑚 تربيع أولًا، ثم الحد 𝑚، وأخيرًا الحد الثابت.
قبل أن ننتقل إلى أمثلة أخرى، دعونا نتناول خطأ شائعًا. أوجدنا في المثال الأول أن مفكوك 𝑚 زائد أربعة الكل تربيع هو 𝑚 تربيع زائد ثمانية 𝑚 زائد 16. لسوء الحظ، الخطأ الذي يحدث غالبًا هو التفكير في أنه عند تربيع مقدار ذي حدين مثل 𝑚 زائد أربعة، فإننا ببساطة نربع كل حد، وهو ما يعطينا 𝑚 تربيع زائد أربعة تربيع. هذا بالطبع يمكن تبسيطه إلى 𝑚 تربيع زائد 16. لكن كما نرى، هذه الإجابة ليست هي نفسها الإجابة التي توصلنا إليها بالفعل. إذ ينقصنا هذا الحد الذي يساوي موجب ثمانية 𝑚.
هذا يعني أننا أغفلنا منطقتين من المساحة في الطريقة الأولى التي استخدمناها. لدينا 𝑚 تربيع والعدد 16. لكن ليس لدينا المساحتان اللتان تقابلان ضرب 𝑚 في أربعة في كل مرة. هذا خطأ شائع يحدث حتى من قبل طلاب الرياضيات المتقدمة عندما لا يفكرون بشكل صحيح. إذن علينا أن نتأكد من عدم حدوثه. ثمة خطأ شائع آخر جدير بالذكر، وهو الاعتقاد بأن 𝑚 مضروبًا في 𝑚 يعطينا اثنين 𝑚. لكن علينا أن نتذكر أننا نضرب الحدين ولا نجمعهما، إذن الإجابة الصحيحة هي 𝑚 تربيع.
دعونا نتابع الآن ونتناول بعض الأمثلة الأخرى.
فك المقدار سالب 𝑥 زائد اثنين 𝑦 الكل تربيع.
في هذا السؤال، لدينا مقدار ذو حدين، وهو سالب 𝑥 زائد اثنين 𝑦. ونربعه. هذا يعني أننا نضرب المقدار ذا الحدين في نفسه. إذن نحن نبحث عن ناتج ضرب سالب 𝑥 زائد اثنين 𝑦 في سالب 𝑥 زائد اثنين 𝑦. توجد عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها. في هذا السؤال، سنختار استخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. علينا الآن أن ننتبه قليلًا لأن أحد الحدين في المقدار ذي الحدين قيمته سالبة. ولا نريد أن يربكنا هذا الأمر. فعلينا أن ننتبه جيدًا إلى الإشارات عند ضرب كل زوج من الحدود معًا.
علينا أن نتذكر أن الحرف F يرمز إلى الحدين الأولين. نضرب الحدين الأولين في كل مقدار ذي حدين معًا. لدينا سالب 𝑥 مضروبًا في سالب 𝑥، وهو ما يعطينا 𝑥 تربيع. وعلينا أن نتذكر أن ضرب قيمة سالبة في قيمة سالبة يعطينا قيمة موجبة. بعد ذلك، الحرف O يرمز إلى الحدين الخارجيين. نضرب الحدين الموجودين خارج المفكوك معًا. وهذا يساوي سالب 𝑥 في المقدار ذي الحدين الأول في موجب اثنين 𝑦 في المقدار ذي الحدين الثاني، وهو ما يعطينا سالب اثنين 𝑥𝑦. يرمز الحرف I إلى الحدين الداخليين. إذن نضرب الحدين الموجودين في منتصف المفكوك معًا. وهما اثنان 𝑦 في المقدار ذي الحدين الأول وسالب 𝑥 في المقدار ذي الحدين الثاني، فنحصل على سالب اثنين 𝑥𝑦 مرة أخرى. أخيرًا: يرمز الحرف L إلى الحدين الأخيرين، ومن ثم نضرب الحد الأخير في كل مقدار من المقدارين ذوي الحدين معًا. هذا يساوي موجب اثنين 𝑦 مضروبًا في موجب اثنين 𝑦، وهو ما يساوي أربعة 𝑦 تربيع.
إذن بعد إكمال عمليات الضرب الأربع، أصبح لدينا الآن أربعة حدود في المفكوك، هي 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥𝑦 ناقص اثنين 𝑥𝑦 زائد أربعة تربيع. علينا أن نتذكر أنه لا بد أن يوجد دائمًا حدان متماثلان في منتصف المفكوك. وبالفعل نجد ذلك في هذا المثال. فلدينا أيضًا سالب اثنين 𝑥𝑦 ناقص اثنين 𝑥𝑦. إذن يمكننا تبسيط المفكوك عن طريق تجميع الحدود المتشابهة، فنحصل على الإجابة النهائية للمسألة. المفكوك المبسط لسالب 𝑥 زائد اثنين 𝑦 الكل تربيع هو 𝑥 تربيع ناقص أربعة 𝑥𝑦 زائد أربعة تربيع.
رائع، يمكننا الآن تطبيق هذه الطرق بعد أن تأكدنا منها. دعونا نتناول مثالًا آخر أكثر تعقيدًا بعض الشيء، وذلك لأن الحدين في المقدار ذي الحدين الذي نربعه ليسا مباشرين تمامًا فقط.
فك المقدار أربعة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع الكل تربيع.
للوهلة الأولى، يبدو هذا السؤال معقدًا نسبيًّا. لكن في الواقع، ما لدينا هو مقدار ذو حدين. هذا مجموع حدين جبريين. وبعد ذلك، نربعه. هذا يعني أننا نضرب المقدار ذا الحدين هذا في نفسه. إذن نحن نبحث عن مقدار جبري لناتج ضرب أربعة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع في أربعة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع. على الرغم من أن هذا قد يبدو معقدًا، فإن العمليات القياسية التي نتبعها هي نفسها بالضبط. دعونا نستخدم طريقة التوزيع. نأخذ الحدين في المقدار ذي الحدين الأول ونوزعهما على المقدار ذي الحدين الثاني، فنحصل على أربعة 𝑥 تربيع مضروبًا في أربعة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع مضروبًا في أربعة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع.
لدينا الآن قوسان علينا توزيعهما. أربعة 𝑥 تربيع مضروبًا في أربعة 𝑥 تربيع يعطينا 16𝑥 أس أربعة؛ لأن أربعة في أربعة يساوي 16. و𝑥 تربيع مضروبًا في 𝑥 تربيع يساوي 𝑥 أس أربعة. علينا أن نتذكر هنا أننا نجمع الأسس. بعد ذلك نحصل على أربعة 𝑥 تربيع مضروبًا في ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع. ويمكننا تبسيط المعامل هنا بعد قليل. لدينا الآن أربعة مضروبًا في ثلاثة على اثنين 𝑥 تربيع 𝑦 تربيع.
هذه هي المجموعة الأولى من الأقواس المفكوكة. دعونا ننتقل الآن إلى المجموعة الثانية. لدينا موجب ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع مضروبًا في أربعة 𝑥 تربيع. مرة أخرى، سنبسط المعامل هنا بعد قليل. سنكتبه الآن على صورة ثلاثة على اثنين مضروبًا في أربعة 𝑥 تربيع 𝑦 تربيع. وأخيرًا: لدينا ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع مضروبًا في ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع، وهو ما سنكتبه في صورة ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة على اثنين 𝑦 أس أربعة. مرة أخرى، علينا أن نتذكر هنا أننا نجمع الأسس.
علينا أن نلاحظ أن لدينا أربعة حدود في المفكوك في هذه المرحلة، وأن الحدين الموجودين في المنتصف متماثلان، على الرغم من أن أربعة وثلاثة على اثنين مكتوبان بالترتيب المعاكس. يمكننا الآن التبسيط. 16𝑥 أس أربعة لا يتطلب أن نبسطه. في الحد الثاني لدينا أربعة مضروبًا في ثلاثة على اثنين. إذن يمكننا حذف العامل اثنين من البسط والمقام فنحصل على اثنين مضروبًا في ثلاثة على واحد، وهو ما يساوي ستة.
إذن الحد الثاني هو ستة 𝑥 تربيع 𝑦 تربيع. باستخدام المنطق نفسه، يكون الحد الثالث أيضًا ستة 𝑥 تربيع 𝑦 تربيع. لتبسيط المعامل في الحد الأخير، نضرب البسطين معًا، فنحصل على تسعة، ثم نضرب المقامين معًا، فنحصل على أربعة. إذن الحد الأخير هو تسعة على أربعة 𝑦 أس أربعة.
يتبقى لنا الآن خطوة تبسيط المفكوك عن طريق تجميع الحدين المتماثلين في المنتصف. ستة 𝑥 تربيع 𝑦 تربيع زائد ستة 𝑥 تربيع 𝑦 تربيع يساوي 12𝑥 تربيع 𝑦 تربيع. إذن لدينا مفكوك مبسط هو: أربعة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة على اثنين 𝑦 تربيع الكل تربيع يساوي 16𝑥 أس أربعة زائد 12𝑥 تربيع 𝑦 تربيع زائد تسعة على أربعة 𝑦 أس أربعة.
على الرغم من أن هذا المثال قد يبدو أكثر تعقيدًا، تعد الطرق التي نستخدمها فيه هي نفسها تمامًا. في المثال الأخير سنرى كيف نطبق هذه الطرق على سؤال يتضمن حل مسائل.
إذا كان 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع يساوي 100، 𝑥𝑦 يساوي 20، فما قيمة 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع؟
لدينا معلومتان عن هذين العددين 𝑥 و𝑦، ومطلوب منا استخدامهما لتحديد قيمة 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع. يمكن أن يكون أول ما نفكر فيه الآن هو أن 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع يساوي 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع. في هذه الحالة، القيمة التي نبحث عنها هي القيمة المعطاة في السؤال، وهي 100. لكن إذا كان الأمر كذلك، لماذا حصلنا أيضًا على قيمة 𝑥𝑦؟
في الواقع، إذا أجبنا عن السؤال بهذه الطريقة، فسنكون قد ارتكبنا أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في الرياضيات، لأننا فككنا المقدار ذا الحدين بشكل خطأ. علينا أن نتذكر أن 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع يساوي 𝑥 زائد 𝑦 مضروبًا في 𝑥 زائد 𝑦. لذلك فنحن في الواقع نضرب المقدار ذا الحدين في نفسه، ولا نربع كل حد من الحدين فحسب.
دعونا نر ما سيحدث إذا فككنا 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع بشكل صحيح. باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني (FOIL)، التي ترمز إلى الحدين الأولين والخارجيين والداخليين والأخيرين، نحصل على 𝑥 تربيع زائد 𝑥𝑦 زائد 𝑥𝑦 زائد 𝑦 تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه إلى 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥𝑦 زائد 𝑦 تربيع. ما لدينا الآن هو معادلة تربط بين 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع، الذي نعرف قيمته، و𝑥𝑦، الذي نعرف قيمته، و𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع، الذي نريد حساب قيمته.
بالتعويض عن 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع بـ 100 وعن 𝑥𝑦 بـ 20، يصبح لدينا 100 يساوي 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع زائد اثنين مضروبًا في 20. يمكن تبسيط ذلك إلى 100 يساوي 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع زائد 40. وبطرح 40 من كلا الطرفين، نجد أن 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع يساوي 60. إذن نكون قد حللنا المسألة. بفك المقدار ذي الحدين 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع بشكل صحيح، ثم التعويض بالقيم المعطاة في السؤال، وجدنا أن 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع يساوي 60.
دعونا الآن نراجع النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. إحدى الطرق المفيدة جدًّا لتربيع المقادير ذات الحدين هي طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو طريقة FOIL، حيث يرمز كل حرف إلى زوج مختلف من الحدود التي علينا ضربها: الحدان الأولان، والخارجيان، والداخليان، والأخيران. يمكن أن تساعدنا طريقة الشبكة أو المساحة في تصور سبب ضرب كل حد في المقدار ذي الحدين الأول في كل حد في المقدار ذي الحدين الثاني. فهذا بمثابة إيجاد مقدار يعبر عن مساحة المربع الذي طول كل ضلع من أضلاعه يساوي المقدار ذا الحدين الذي نربعه. سيكون لدينا دائمًا أربعة حدود في المفكوك الابتدائي. وسيكون الحدان الموجودان في المنتصف متماثلين. بعد ذلك يمكننا التبسيط عن طريق تجميع الحدود المتشابهة لنحصل على مقدار جبري مكون من ثلاثة حدود.
الصورة العامة عند فك مقدار ذي حدين على الصورة 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع هي 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥𝑦 زائد 𝑦 تربيع. أخيرًا: ثمة مفهوم خطأ شائع للغاية يجب أن نبذل كل ما في وسعنا لنتجنبه: عند تربيع مقدار ذي حدين، لا نربع الحدين الفرديين ببساطة. ذلك لأن 𝑥 زائد 𝑦 الكل تربيع لا يساوي 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع. بدلًا من ذلك، علينا استخدام إحدى الطرق المنهجية لتربيع مقدار ذي حدين، مثل طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو طريقة الشبكة أو المساحة، أو خاصية التوزيع.
