نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل قتا اثنين ﺱ مضروبًا في ٥٧ جا تربيع اثنين ﺱ زائد ٣٣ ظتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد تكامل دالة مثلثية. ويبدو أن هذه الدالة يصعب إيجاد تكاملها. لذا دعونا نبدأ بتبسيط الدالة التي سيتم تكاملها. أولًا، يمكننا ملاحظة أننا نضرب في قتا اثنين ﺱ، ونعلم أن هذا يساوي واحدًا مقسومًا على جا اثنين ﺱ. عندما نوزع واحدًا مقسومًا على جا اثنين ﺱ على القوسين، سنقسم الحدين الأول والثاني داخل القوسين على جا اثنين ﺱ. لكننا سنكتب الحد الثاني مضروبًا في قتا اثنين ﺱ. بتبسيط الحد الأول، نحصل على تكامل ٥٧ في جا اثنين ﺱ زائد ٣٣ قتا اثنين ﺱ مضروبًا في ظتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
والآن، أصبح كل من الحدين في الدالة التي سيتم تكاملها في الصورة القياسية التي نعرف كيف نوجد تكاملها باستخدام قواعد التكامل. ومن ثم، يمكننا إيجاد تكامل كل حد على حدة ببساطة. هيا نبدأ بالحد الأول. لعلنا نتذكر أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ مضروبًا في جتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. في هذا السؤال، قيمة ﺃ هي اثنان. إذن، نحصل على سالب ٥٧ على اثنين مضروبًا في جتا اثنين ﺱ. وتذكر أنه بما أننا نوجد التكامل غير المحدد لحدين، فيمكننا ببساطة إضافة ثابت التكامل لدينا في النهاية.
علينا بعد ذلك إيجاد تكامل ٣٣ قتا اثنين ﺱ مضروبًا في ظتا اثنين ﺱ. ويمكننا فعل ذلك من خلال بضع طرق مختلفة. على سبيل المثال، نعلم أن مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب قتا ﺱ مضروبًا في ظتا ﺱ. وهذا يعطينا نتيجة تكامل قياسية. فتكامل قتا ﺱ في ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب قتا ﺱ زائد ﺙ. ويمكننا الاستعانة بطريقة التعويض باستخدام ﻉ لإعادة كتابة الدالة التي سيتم تكاملها على هذه الصورة، ثم تطبيق هذه القاعدة. ولكن، يمكننا استخدام العملية نفسها لتحديد قاعدة عامة بدلالة أي زاوية.
لأي ثابت حقيقي ﻙ وﺃ، حيث ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل ﻙ مضروبًا في قتا ﺃﺱ مضروبًا في ظتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ﻙ على ﺃ في قتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وتطبيق هذه النتيجة أسهل بكثير. لدينا ﻙ يساوي ٣٣ وﺃ يساوي اثنين. وهذا يعطينا سالب ٥٧ على اثنين في جتا اثنين ﺱ ناقص ٣٣ على اثنين في قتا اثنين ﺱ زائد ﺙ، وهي الإجابة النهائية. ومن ثم، بتبسيط الدالة بعد التكامل وتطبيق نتائج التكامل، تمكنا من إيجاد أن تكامل قتا اثنين ﺱ في ٥٧ جا تربيع اثنين ﺱ زائد ٣٣ ظتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ٥٧ على اثنين جتا اثنين ﺱ ناقص ٣٣ على اثنين قتا اثنين ﺱ زائد ﺙ.
