فيديو السؤال: إيجاد الفرق بين إزاحة جسمين الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

تقلع طائرتان من نفس المطار؛ إحداهما تصعد بزاوية 45 درجة من سطح الأرض، والأخرى بزاوية 20 درجة من سطح الأرض، كما هو موضح في الشكل. عندما تكون الطائرتان على بعد 2500 متر أفقيًّا من المطار، تكون الطائرة التي صعدت بزاوية أقل انحدارًا على ارتفاع ‪ℎ‬‏ واحد متر رأسيًّا فوق سطح الأرض، والطائرة التي صعدت بزاوية أكثر انحدارًا على ارتفاع ‪ℎ‬‏ اثنين متر رأسيًّا فوق سطح الأرض. كم يرتفع ‪ℎ‬‏ اثنان رأسيًّا عن ‪ℎ‬‏ واحد، لأقرب متر؟ ما مقدار الزيادة في إزاحة الطائرة ذات الانحدار الشديد من المطار عن الطائرة ذات الانحدار المنخفض، عندما تكون الطائرة ذات الانحدار الشديد على ارتفاع ‪ℎ‬‏ اثنين متر من سطح الأرض؟ أجب لأقرب متر.

علمنا من معطيات السؤال أن لدينا طائرتين، تصعد كل منهما بزاوية مختلفة بالنسبة إلى سطح الأرض أثناء إقلاعها من المطار. هذا موضح في الشكل الذي نلاحظ فيه أن إحدى الطائرتين تصعد بزاوية 45 درجة من سطح الأرض، والأخرى بزاوية 20 درجة. يتضح من الشكل أيضًا أنه عندما قطعت الطائرتان مسافة 2500 متر أفقيًّا، وصلت الطائرة الصاعدة الأكثر انحدارًا إلى ارتفاع ‪ℎ‬‏ اثنين متر فوق سطح الأرض، ووصلت الطائرة الأقل انحدارًا إلى ارتفاع ‪ℎ‬‏ واحد متر.

إذن، يوضح الشكل كل المعلومات المعطاة في الجزء الرئيسي من نص السؤال. هذا يعني أنه يمكننا حذف هذا الجزء من النص لإفراغ بعض المساحة. دعونا نبدأ بالجزء الأول من السؤال. وهو: كم يرتفع ‪ℎ‬‏ اثنان رأسيًّا عن ‪ℎ‬‏ واحد، لأقرب متر؟ نعلم أن ‪ℎ‬‏ اثنين هو الارتفاع الذي وصلت إليه الطائرة التي صعدت بزاوية أكثر انحدارًا بعد أن قطعت مسافة أفقية مقدارها 2500 متر من المطار. نعلم كذلك أن ‪ℎ‬‏ واحدًا هو الارتفاع الذي وصلت إليه الطائرة التي صعدت بزاوية أقل انحدارًا بعد أن قطعت هذه المسافة الأفقية نفسها.

مطلوب منا معرفة كم يرتفع ‪ℎ‬‏ اثنان رأسيًّا عن ‪ℎ‬‏ واحد. وهي هذه المسافة الموضحة هنا في الشكل، ولا بد أن تساوي هذه المسافة هنا، وهي ‪ℎ‬‏ اثنان متر، ناقص هذه المسافة هنا، التي تساوي ‪ℎ‬‏ واحد متر. بعبارة أخرى، يطلب منا السؤال حساب قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين ناقص ‪ℎ‬‏ واحد. هذا يعني أن علينا البدء بحساب قيمتي ‪ℎ‬‏ اثنين و‪ℎ‬‏ واحد. دعونا نبدأ بالكمية ‪ℎ‬‏ اثنين، أي ارتفاع الطائرة التي صعدت بزاوية أكثر انحدارًا.

يمكننا تحديد مثلث قائم الزاوية في الشكل، ووتر هذا المثلث هو المسار الذي تحركت فيه الطائرة الأكثر انحدارًا. بعد ذلك، يوجد هنا ضلع أفقي طوله 2500 متر، وهو المسافة الأفقية التي تحركتها الطائرة، وضلع رأسي طوله ‪ℎ‬‏ اثنان. وهو الارتفاع الذي صعدته هذه الطائرة عندما قطعت مسافة 2500 متر أفقيًّا. نعلم أن قياس الزاوية التي صعدتها الطائرة الأكثر انحدارًا هو 45 درجة من سطح الأرض. هذه إذن قيمة هذه الزاوية في أسفل يسار المثلث.

لإيجاد قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين، علينا تذكر معادلة مثلثية مفيدة. دعونا نتناول مثلثًا عامًّا قائم الزاوية، ونفترض أن قيمة هذه الزاوية ‪𝜃‬‏. وسنرمز إلى طول الضلع المقابل لهذه الزاوية بالرمز ‪𝑜‬‏، وطول الضلع المجاور لها بالرمز ‪𝑎‬‏. في هذا المثلث العام القائم الزاوية، تنص المعادلة المثلثية المفيدة لنا على أن ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ‪𝑜‬‏ مقسومًا على ‪𝑎‬‏. إذا قارنا هذا المثلث العام القائم الزاوية بالمثلث الذي حددناه في الشكل، فسنلاحظ سبب كون هذه المعادلة مفيدة لنا.

تربط المعادلة بين الزاوية ‪𝜃‬‏، وطول الضلع المجاور للزاوية، وطول الضلع المقابل لها. هذا يعني أننا إذا عرفنا أي قيمتين من هذه الكميات، يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب القيمة الثالثة. في المثلث الموضح في هذا الشكل، نعلم قيمة إحدى زواياه. وهي 45 درجة. إذن، هذه هي قيمة الكمية ‪𝜃‬‏. نعلم أيضًا أن طول الضلع المجاور لهذه الزاوية في المثلث يساوي 2500 متر. إذن، هذه هي قيمة الضلع المجاور ‪𝑎‬‏.

طول هذا الضلع الرأسي في المثلث يساوي ‪ℎ‬‏ اثنين. وهذا ما نحاول إيجاد قيمته هنا. هذا ضلع المثلث المقابل للزاوية ‪𝜃‬‏. وبذلك، فإن ‪ℎ‬‏ اثنين هي قيمة الكمية ‪𝑜‬‏. إذن، لدينا قيمة كل من ‪𝜃‬‏ و‪𝑎‬‏، ونريد إيجاد قيمة ‪𝑜‬‏. هذا يعني أن علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ‪𝑜‬‏ في طرف بمفرده. لفعل ذلك، نضرب طرفي المعادلة في ‪𝑎‬‏. في الطرف الأيمن، يلغى ‪𝑎‬‏ في البسط مع ‪𝑎‬‏ في المقام. وإذا عكسنا المعادلة، فسنجد أن ‪𝑜‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مضروبًا في ‪tan 𝜃‬‏.

والآن، دعونا نأخذ قيمتي ‪𝑎‬‏ و‪𝜃‬‏ ونعوض بهما في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. بدلًا من ‪𝑜‬‏، كتبنا ‪ℎ‬‏ اثنين؛ لأن هذا هو الضلع المقابل في هذا المثلث، ويساوي 2500 متر، وهو ما يمثل قيمة ‪𝑎‬‏، مضروبًا في tan 45 درجة، وهي الزاوية ‪𝜃‬‏. قيمة tan 45 درجة تساوي واحدًا. إذن، فإن ‪ℎ‬‏ اثنين يساوي 2500 متر مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي 2500 متر. بذلك نكون قد أوجدنا قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين، وهو الارتفاع الذي وصلت إليه الطائرة التي صعدت بزاوية أكثر انحدارًا.

يمكننا ملاحظة أن هذا الارتفاع يساوي المسافة الأفقية التي تساوي 2500 متر التي قطعتها الطائرة. وبما أن هذه الطائرة صعدت بزاوية 45 درجة من سطح الأرض، التي تقع في منتصف المسافة بين الصعود أفقيًّا ورأسيًّا، فمن المنطقي أن المسافة الرأسية التي صعدتها تساوي المسافة الأفقية التي قطعتها. والآن، بعد أن حصلنا على قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين، ننتقل إلى إيجاد قيمة ‪ℎ‬‏ واحد.

لفعل ذلك، علينا أن نحدد مثلثًا آخر قائم الزاوية في الشكل، تحديدًا هذا المثلث الموضح باللون الوردي. يمثل وتر هذا المثلث مسار الطائرة التي صعدت بزاوية أقل انحدارًا. قياس الزاوية أسفل يسار المثلث يساوي 20 درجة؛ إذ إنها الزاوية التي يصنعها مسار الطائرة مع سطح الأرض. تقطع كلتا هاتين الطائرتين المسافة الأفقية نفسها. ولذا، فإن هذا المثلث له ضلع أفقي طوله 2500 متر، تمامًا مثل المثلث الأول. وطول الضلع الرأسي في هذا المثلث هو الارتفاع ‪ℎ‬‏ واحد، الذي تصل إليه الطائرة التي صعدت بزاوية أقل انحدارًا.

بالطريقة نفسها التي اتبعناها من قبل، يمكننا تحديد أن قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي 20 درجة، وطول الضلع المجاور ‪𝑎‬‏ يساوي 2500 متر، والضلع المقابل ‪𝑜‬‏ يساوي ‪ℎ‬‏ واحدًا. مرة أخرى، كما فعلنا سابقًا، يمكننا أخذ قيمتي ‪𝜃‬‏ و‪𝑎‬‏ والتعويض بهما في هذه المعادلة. عندما نفعل ذلك، نجد أن طول الضلع المقابل ‪ℎ‬‏ واحد يساوي 2500 متر، أي الضلع المجاور ‪𝑎‬‏، مضروبًا في tan 20 درجة، وهي الزاوية ‪𝜃‬‏. ناتج حساب tan 20 درجة يساوي 0.36397 مع توالي المنازل العشرية. وبإيجاد قيمة هذا المقدار، نجد أن ‪ℎ‬‏ واحد يساوي 909.9256 أمتار، مع توالي المنازل العشرية أيضًا.

والآن، بعد أن توصلنا إلى قيمة كل من ‪ℎ‬‏ اثنين و‪ℎ‬‏ واحد، كل ما علينا فعله لحساب هذه المسافة هنا، وهي الارتفاع الرأسي لـ ‪ℎ‬‏ اثنين فوق ‪ℎ‬‏ واحد، هو طرح قيمة ‪ℎ‬‏ واحد من قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين. وذلك لأننا رأينا أن هذه المسافة تساوي ‪ℎ‬‏ اثنين ناقص ‪ℎ‬‏ واحد. و‪ℎ‬‏ اثنان ناقص ‪ℎ‬‏ واحد يساوي 2500 متر ناقص 909.9256 أمتار، وهو ما يساوي 1590.074 مترًا. المطلوب منا هو تقريب الإجابة لأقرب متر. إذن، بتقريب الناتج لأقرب متر، نحصل على إجابة الجزء الأول من السؤال، وهي 1590 مترًا.

والآن، دعونا نفرغ بعض المساحة كي نتناول الجزء الثاني من السؤال.

ما مقدار الزيادة في إزاحة الطائرة ذات الانحدار الشديد من المطار عن الطائرة ذات الانحدار المنخفض، عندما تكون الطائرة ذات الانحدار الشديد على ارتفاع ‪ℎ‬‏ اثنين متر من سطح الأرض؟ أجب لأقرب متر.

مقدار إزاحة كل طائرة من المطار هو مسافة الخط المستقيم من المطار إلى موقع الطائرة الحالي. إذن، عندما تكون الطائرة ذات الانحدار الشديد على ارتفاع ‪ℎ‬‏ اثنين متر عن سطح الأرض، وهو ما يوضحه الشكل، فإن إزاحة هذه الطائرة ذات الانحدار الشديد من المطار ممثلة بهذا السهم الأزرق من المطار إلى الطائرة. وإزاحة الطائرة ذات الانحدار المنخفض من المطار ممثلة بالسهم الأزرق من المطار إلى هذه الطائرة.

مطلوب منا معرفة مقدار الزيادة في إزاحة الطائرة ذات الانحدار الشديد عن الطائرة ذات الانحدار المنخفض. إذن، مطلوب منا إيجاد مقدار زيادة طول هذا السهم الأزرق عن هذا السهم. لفعل ذلك، سنحتاج إلى الرجوع إلى المثلثين القائمي الزاوية اللذين حددناهما في الشكل عند الإجابة عن الجزء الأول من السؤال. ولكن علينا الآن إيجاد الفرق بين طولي هذا الوتر وهذا الوتر. دعونا نرمز إلى طول الوتر الذي يمثل إزاحة الطائرة ذات الانحدار الشديد بالرمز ‪𝑑‬‏ واحد، ونرمز للوتر الذي يمثل ارتفاع الطائرة ذات الانحدار المنخفض بالرمز ‪𝑑‬‏ اثنين. إذن، ما نحاول إيجاده في الجزء الثاني من السؤال هو ‪𝑑‬‏ واحد ناقص ‪𝑑‬‏ اثنين.

الخطوة الأولى لفعل ذلك هي إيجاد قيمة كل من ‪𝑑‬‏ واحد و‪𝑑‬‏ اثنين. ثمة طريقتان يمكننا استخدامهما. الطريقة الأولى هي استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية حيث طول الوتر ‪𝑐‬‏ وطولا الضلعان الآخران ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، فإن ‪𝑐‬‏ تربيع يساوي ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع.

في المثلثين الموضحين في الشكل، نعلم أن طول أحد الضلعين غير الوتر يساوي 2500 متر في كلا المثلثين. نعلم كذلك أن الضلع الرأسي للمثلث الأزرق طوله ‪ℎ‬‏ اثنان، وأن الضلع الرأسي للمثلث الوردي طوله ‪ℎ‬‏ واحد. وفي الجزء الأول من السؤال، أوجدنا قيمتي ‪ℎ‬‏ واحد و‪ℎ‬‏ اثنين. إذن، يمكننا استخدام قيمتي ‪ℎ‬‏ واحد و‪ℎ‬‏ اثنين، وكذلك طول الضلع الآخر الذي يبلغ 2500 متر، لحساب طول وتر كل من المثلثين باستخدام هذه المعادلة من نظرية فيثاغورس.

الطريقة الثانية هي استخدام معادلة مثلثية تنص على أنه عند وجود مثلث قائم الزاوية فيه الزاوية ‪𝜃‬‏، وضلع مجاور للزاوية ‪𝜃‬‏ طوله ‪𝑎‬‏، ووتر طوله ‪ℎ‬‏، فإن ‪cos 𝜃‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪ℎ‬‏. في المثلثين الموضحين في هذا الشكل، نعرف قيمة الزاوية ‪𝜃‬‏، ونعرف طول الضلع المجاور ‪𝑎‬‏. إذن، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل طول الوتر ‪ℎ‬‏ في طرف بمفرده، واستخدام هذه القيم لحساب طول وتر كل من المثلثين.

في هذا الفيديو، سنستخدم الطريقة الثانية. على الرغم من أن هذه الطريقة قد تكون أكثر تعقيدًا بعض الشيء من الطريقة الأولى التي تعتمد على نظرية فيثاغورس، فإن ميزتها تتمثل في عدم الاعتماد على أي من المعلومات التي حسبناها خلال الجزء الأول من السؤال. لذا، حتى إذا لم تكن إجابة الجزء الأول صحيحة، فلن تؤثر على نتيجة هذا الجزء الثاني. قلنا إنه يجب إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ‪ℎ‬‏ في طرف بمفرده.

لفعل ذلك، نضرب طرفي المعادلة في ‪ℎ‬‏ أولًا. يلغى الحدان ‪ℎ‬‏ في الطرف الأيمن. وبعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على ‪cos 𝜃‬‏ بحيث يلغى الحدان ‪cos 𝜃‬‏ في الطرف الأيسر. وهذا يعطينا معادلة تنص على أن طول الوتر ‪ℎ‬‏ يساوي الضلع المجاور ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪cos 𝜃‬‏.

يمكننا الآن تطبيق هذه المعادلة على كل من مثلثي الشكل. دعونا نبدأ بالمثلث الأزرق الذي يتضمن الزاوية ‪𝜃‬‏ التي يبلغ قياسها 45 درجة، وفيه ضلع مجاور للزاوية طوله 2500 متر، أي أن هذه قيمة ‪𝑎‬‏، وطول الوتر ‪𝑑‬‏ واحد هو قيمة ‪ℎ‬‏. بالتعويض بهذه القيم في هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑑‬‏ واحد يساوي 2500 متر مقسومًا على cos 45 درجة. وناتج ذلك يساوي 3535.53 مترًا؛ حيث تشير النقاط إلى وجود المزيد من المنازل العشرية.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا قيمة ‪𝑑‬‏ واحد، أي مقدار إزاحة الطائرة ذات الانحدار الشديد، نكرر الخطوات نفسها لإيجاد قيمة ‪𝑑‬‏ اثنين. في هذه الحالة، ‪𝑑‬‏ اثنان هي قيمة الوتر ‪ℎ‬‏. طول الضلع المجاور ‪𝑎‬‏ له الطول نفسه الذي يبلغ 2500 متر. والزاوية ‪𝜃‬‏ قيمتها 20 درجة. باستخدام هاتين القيمتين في هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑑‬‏ اثنين يساوي 2500 متر مقسومًا على cos 20 درجة. وناتج هذا يساوي 2660.44 مترًا. وكما أشرنا من قبل، لهذه النتيجة منازل عشرية أخرى.

أوجدنا الآن قيمة كل من ‪𝑑‬‏ واحد و‪𝑑‬‏ اثنين. وذكرنا أن إجابة هذا الجزء من السؤال هي ‪𝑑‬‏ واحد ناقص ‪𝑑‬‏ اثنين؛ لذا دعونا نفرغ بعض المساحة ونحسب ناتج عملية الطرح. باستخدام القيمتين اللتين حسبناهما، نجد أن ‪𝑑‬‏ واحدًا ناقص ‪𝑑‬‏ اثنين يساوي 3535.53 مترًا ناقص 2660.44 مترًا. وهذا يساوي 875.09 مترًا. وأخيرًا، بتقريب هذا الناتج إلى أقرب متر، كما طلب منا، فإننا نحصل على الإجابة، وهي 875 مترًا.